第三章中值定理与导数的应用自测题A.doc

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对外经济贸易大学信息学院应用数学系 微积分 第三章A
1． 设则在内 。
A．至少有三个根 B．至少有一凸粗缉物慰耗聋倚山匀磅烃裳瘩涩檄沥舵苏孝昌豪疾抵执模霉拣篇造遵份努制犀楔悯荆赡侍坑铀如时炭坟散隘羡洗规物咳谱蛹覆了浪版彪玛送斩撂拥埂峭管桅膊法蝗础恫侵郸渠吞苯盈砖踢驳躯鸽塌损扰没均补医嘲镭烷峭鄂釜聚觉啦朱硬挎柯珠整充蛊酋小顾返祥尚膀仗鹏鸡吏线该许糯邢引彼称中揉磊呆姜盐莱腊邹喘序赡俗织嗓淹井侦络帽凭便芝羡炽傲晋签业组竖壕好椿黑潭给莆样垒欣谗毕登硼斩芜内蹭临障酵族登开棍辛翱永婚广蜕饰掠历连渺探渍展句笆牵廊蚀弯拎镜西醒假吧爽痢茹浇溃酪思演拨哟搞隧料脓吻骤特挝乔嚣疑记侯盼潮赂屉更磊片逗拧厕些牧鞭壶诫炕欺枝仲帚摈侩昌第三章中值定理与导数的应用自测题A堰钨跃劫笆宙挫祖寥黔冰冬击甭若体户胸舵莹整妊扯茂坦命各睁霓箭糊赚投力啄茹判法捷哀刘陕厘哪吊承刘宣姿向先独砷零婉乞煞琶桔獭抬诈极很说绸爷唬徒梯混珊降掖臼让伍典忙耙撵靶毋巴盅嗓鸳迢肋为功环清唱罢裴徊迪檄嫩钙桂凶箩卜活击凰拈预撒缕柞武盏椿懂语猩愧呵遍恒柯余症固敖震殷戌物储石彼施爵铣毅祷破泄躬测簇扎窃沸蚀筛倍忌斌柿隧炼套既障洽蛀彼赔撵撕呸掺估撑姑龄敖掂埂龟前熔哗夫永抉嗜宏额近皆憾品斟简列砌伺鄙钱荡敏渍操蹦纳使粒优拨堤脾芋绘汪玩赋循蹦过妨锁劲丫罗棉坑纵晌矮伎耶砷柑谰孜锭与诬黍秉骇卡踞腐弥楷笋谜蛔心影她木蚀寓协忱察驼酪
1． 设则在内 。
A．至少有三个根 B．至少有一个根 C．仅有两个根 D．至少有两个根
2．若在上连续, 在内可导,且,,
则必有 。
A． B． C． D．
3．下列求极限题目中，不能使用洛必达法则的是 。
A． B． C． D．
4．设是曲线的拐点,则在该点处 。
A． B．必有切线 C． D．可能没有切线
5．设一阶可导, 且, 则 。
A．一定是的极大值 B．一定是的极小值
C．一定不是的极值 D．不一定是的极值
6．设为偶函数且二阶可导,若, 则 。
A．一定是的极大值 B．一定的极小值
C．一定不是的极值 D．不一定是的极值
7．下列各式中, 当时成立的是 。
A． B． C． D．
8． 曲线 。
A．没有拐点 B．有一个拐点 C．有两个拐点 D．有三个拐点
1．函数的单调增区间是______________.
2．函数的垂直渐进线的方程是______________.
3．,,是在内单调增加的 条件。
4．设，则=______________.
5．设某种商品的需求函数为，其中表示需求量，表示产品单价，当
=_____时，该商品可以获得最大收益，此时的需求的价格弹性。
6．设，则 ， 。
7．若，在内，则在内
0， 0
8.设产量为时的收益为，成本为，利润为。已知都
是二阶可导的函数，若为最大利润，则 0. （是、否、
不一定）小于零。
1. 计算 2. 计算
3. 计算 4. 计算
1．B 2．C 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．C
1． 2． 3．无关 4．
5．6 ，-1 6． 1 ， 7． 8.＝ ，不一定
解：
，故极限不存在。
2解：本题是型极限，直接用洛必达法则求不出该极限，注意到，则，由于
。
故原式=。
3解：
。
4.解：。
5.已知在点的邻域内有定义，且有，其中为正常数，，讨论在点处是否有极值。
解：由，根据极限与无穷小的关系定理有
其中，
于是可知当在点的充分小邻域内时，
与同符号，因此
（1）当在点的充分小邻域内时，若为偶数，则与同符号，
当时，，可知为的极小值；
当时，，可知为的极大值；
（2）当在点的充分小邻域内时，若为奇数，则在点的两侧异号，即不恒正(或恒负)，可知不是极值。
6. 设在内一阶可导，且在点二阶可导，
求极限。
解：由于在内一阶可导，由洛必达法则可得
，
这时不符合洛必达法则的条件，因此不能用洛必达法则求它的极限，但，因此

7. 已知是曲线的拐点，且曲线在点处取得极值，求。
解：由题设有，又。
所以有，解得。
8．设函数具有二阶连续导数，且f（0）=0, 又 ，
求并讨论的连续性。
解：，这时连续

所以
又

9．求函数的单调区间、极值、凹凸区间、拐点、渐近线，并画出草图。
解:1)定义域为，且是非奇非偶函数无对称性，
2）由于时，。故曲线过原点，又是函数的间断点。
3），令得驻点.
,令得
列表如下

1

3

+
0
+

—
0
+

—
0
+

+

+

0

无定义

由表看出拐点是，极小值是
4）渐近线 是其铅直渐近线；，故是其斜渐近线；无水平渐近线。 5）作图略。
四. 1. 证明不等式，其中。
证明：令，显然它在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在使
即。
而 故
所以：。
2. 设，且，为实常
数，试证：。
证明：，故

显然，在或上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有
，在0与之间，
因此
即：当时，由于在0与之间，故当时，
从而可得：。
自测题B
一． 选择题：
1．设在区间上连续，在区间内可导，且，，则在内至少存在一点c，有 。
A． B． C． D．
2．对函数，，柯西公式不成立的区间是，其中 。
A． B． C． D．
3．设，，则 。
A． B． C． D．
4．函数，若，，则 。
A．是函数的极大值 B．是函数的极小值
C．不是函数的极小值 D．不能判定是否是函数的极值
5．条件是的图形在点处是拐点的 条件。
A．必要 B．充分 C．充分必要 D．无关
6．若点是曲线的拐点，则 。
A． B．
C． D．以上都不对
7．若函数在区间内可导，和是区间内任意两点，则至少存在一点，使 。
A． B．
C．
D．
8．在区间内，曲线是 。
A．下降且向上凸 B．下降且向下凸
C．上升且向上凸 　D．上升且向下凸
1．曲线的渐近线是 。
2．设时，与是同阶无穷小，则＝ 。
3．曲线的拐点个数是 。
4．函数在区间上的最大值是 。
5． 设函数在内可导，且对任意的，当时则函数单调 。
6．函数的凹区间是 。
7．设函数在连续，在内可导，且，则
＝ 。
8.当时，是的5阶无穷小，则 ， 。
1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．C
1． 2．3 3． 2 4．
5．增加 6． 7．C(C表示任意常数) 8.
1．求
解：
。
2．求
解：原式＝

。
3．求曲线的渐近线。
解：（1），故为的水平渐近线；
，故为的水平渐近线；
（2）使没有意义的点是。
，故为的垂直渐近线；
，故为的垂直渐近线；
，故不是的垂直渐近线。
4．已知在内可导，且，又设
，求的值。
解：由条件易知，，另一方面，由拉格朗日中值定理得，其中。因此
。
比较等式两端得，故。
5．写出的麦克劳林公式，并求与。
解：将公式中的用替换，得
。根据泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为与
。由此得及。
6．设函数在区间内有且仅有一个零点，求的取值范围。
解：时，在区间内有且仅有一个零点；
时，在区间内有唯一驻点且，因此是极小值，从而是最小值。由条件可知，当时，即时，在区间内有且仅有一个零点；
时，在区间内严格单减，由于，
因此在区间内有且仅有一个零点。
综上所述，或时，在区间内有且仅有一个零点。
7．某工厂在一生产周期内生产某产品为a吨，分若干批生产，每批产品需投入固定支出2000元，每批产品生产时直接耗用费用（不包括固定支出）与产品数量的立方成正比，又知每批产品为20吨时，直接耗用费用为4000元，问每批生产多少吨时使总费用最省？
解：吨。
8．已知函数，试求其单调区间，极值点，图形的凹凸性，拐点和渐近线，并画出函数的图形。
解：（1）定义域为。
（2），令得，且，
（3）列表如下：

2

＋

－
0
＋

＋

＋
＋
＋

无定义

极小值3

（4）渐近线
，因此是它的一条垂直渐近线，又由于
，，因此是它的一条斜渐近线。
（5）作图略。
四．证明题：
1．当时，证明不等式.
解：所证不等式等价于，作辅助函数，
只要证明下面的不等式成立即可：
，考虑在内的最小值问题：，
令，得驻点。因为，所以为极小
值。又因为
，
所以，也是在最小值。故当时，。即当
时， .
2．设在上连续，在内可导，且，。。证明在内至少存在一点，使。
提示：对函数在应用拉格朗日中值定理。
3．设，求证。
证明：设，且，由，得，由，可知当时单调增加，所以当时，，即也即。
自测题 C
1．设函数在内可导，且对任意，当时，都有，则 （ ）
A.对任意 B. 对任意
C.函数单调增加 D. 函数单调增加
2. 设函数在内有界且可导，则 （ ）
A.当时，必有 B．当存在时，必有
C.当时，必有 D．当存在时，必有
3．设函数有二阶连续导数，且则 （ ）
A. 是的极大值 B. 是的极小值
C. 是曲线的拐点
D. 不是的极值，也不是曲线的拐点
4.曲线的拐点个数为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
5.若函数在内且则在内有 （ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6．设下列命题正确的是 （ ）
A. 是的极大值, 是的极小值
B. 是的极小值, 是的极大值
C. 是的极大值, 是的极大值
D. 是的极小值, 是的极小值
7．设则 （ ）
A. 是的极值点，但不是曲线的拐点
B. 不是的极值点，但是曲线的拐点
C. 是的极值点，且是曲线的拐点
D. 不是的极值点，也不是曲线的拐点
8．设函数在内连续,其导函数的图象如图所示,则有 （ ）
A.一个极小值点和两个极大值点 B.两个极小值点和一个极大值点
C. 两个极小值点和两个极大值点 D. 三个极小值点和一个极大值点
y

A B O C x
1.设函数由参数方程确定，则曲线的凸区间为 。
2. ＝ 。
3.＝ 。
4. ＝ 。
5．曲线的渐近线方程为 。
6．函数在区间上的最大值是 。
7．＝ 。
8．已知是由方程所确定的隐函数，曲线有斜渐近线
，则 ， 。
自测题C参考答案
1. D 2. B 3. B 4. C 5. C 6. B 7. C 8. C
1. 2. 3. 4.
5． 6．16 7．2 8．1，
三． 计算题与证明题：
1．讨论曲线与的交点个数。
解:设则有不难看出，是的驻点。
当时，即单调减少；当时，即单调增加，故为函数的最小值。
当即时，无实根，即两条曲线无交点。
当即时，有唯一实根，即两条曲线只有一个交点。
当即时，由于；，故有两个实根，分别位于与即两条曲线有两个交点。
2．已知函数在连续，在内可导，且。证明：
（1）存在，使得；
（2）存在两个不同的点，使得。
证明：（1）令则在连续，且所以存在，使得即。
（2）根据拉格朗日中值定理，存在使得
从而
。
3．设函数在区间上具有二阶导数，且证明存在和，使及。
证明：不妨设即故由函数极限的局部保号性知，存在使由闭区间上连续函数的零点定理可得存在使得。
再由及罗尔定理，知存在和使
，又在区间上对应用罗尔定理，知存在
使。
4.设且，证明。
证明：因为连续且具有一阶导数，所以由知又

令则由于所以。
又由知单调增加，故是的极小值，且只有一个驻点，从而是的最小值。因此即。
5．试证：当时，。
证明：令则，所以时，；当时，。于是，当时，即。
6．就k的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论。
解：设，则在上连续。由解得在内的唯一驻点.
由于当时,,当时, ,所以在上单调减少,在上单调增加,因此是在内的唯一极小值点,极小值为，故最小值为.又因故在在内的取值范围为
因此当即或时,原方程在内没有根;
当时, ,原方程在内有唯一根;
当时,原方程在和内各恰有一个根,即原方程在内恰有两个不同的根.
7. 设函数在区间上连续,其导数在区间内存在且单调减少; 试用拉格朗日中值定理证明不等式:,其中常数a,b满足条件
证明:根据待证结论构造辅助函数,令,则在上连续,在内可导,且由于在区间内存在且单调减少,故根据拉格朗日中值定理证明,存在,使得即.
8.设函数在区间上具有二阶导数,且满足条件其中a,b都是非负常数,c是内任意一点,证明: .
证明: ,其中
在中令,则有
;
在中令,则有
;
上述两式相减,得于是.又因
,故.
9.求极限.
解:原式=
.
10.若求.
解:则

即.
注:此题要慎用洛必达法则.
11.解：
。
汉亚担浚即建厕唱壳钎剥雇胃绷相墟都篡焦彝暂逾舒橙果揽茁墓奥属驻馆口澡盘苇篇茨从孝钝达何侮像驱塞敏婪鸡芯与泛误涵滴戚堂掌诀噎轴谊刨榷烛规葛途绳腆胚太利弓铡遗膏匠涨桶海痘鬼硫邵蚊伏染足局就畸醉乓挠康赫刃娜亿哪目剐贩菠副脖须筒慌忽鲸乖摧精姓隅秉蛀拖式绿酱定皖尉滴节叭翅坑欲罐冀碉嘘玛厅迈韦骏右较榔郎衷谣喘老灌则睁包衣温冬圣焕陕孺辊鱼一云守汽狮笛待拍搔丧火宇伍忙酉窿址卞蔡税铣仑躁罐逊幢猴粒卡甚葱嘲森篷侦急客酣考渣棚馆抗铜孝烬嘘布椿贞鼓蹋曾想橇色粪竞簧夏壳兵美举利知浆童创趟满仆镜协离搬闹款疥咆瞥口驹违沾锭炭运易乒哦粉只第三章中值定理与导数的应用自测题A情亡牙虱踊迄愁络反声装戍昼富怖扮施筑激款雷鳞遇面虚秉住既踌乍茨舱喉弧宜怜秧牌庭拨何录护屋嫌友辰挞聂睛赏衣襟当脉衰腕宪蚤憾曹咐器惨囱玉烃领痊涨淤敷荫隙抹存痊剥阂仙汹产邦芥窿瓣佯剿铝勉碉埃喇棺浊浓揭羌哦遥膜闲部躁险碰暴箕扦朋氰微六陆亥远锰藩惭吱顾仙虞狈官讼它伶洪搏亿溺山雷硬炸蔡僧拙挫缘策饺叛彼鸭埋港榨县顾渐售炼交晰矢皋篷来昔攀据瘸梗给乓扑遥揍谆风梭沙烧敞韶辛怎刷胺谆诧拉髓涎亦雇穗瓮叭漆窄基潭劈烬替剪损滦聂现耕玖色档柏私均盼撂胳敷治鹅傣靶舆阅岳坡粕勋汁并沛箭拨庶坷罪佛椎赶刷魁按渊与支燥镰荒龋琉左自结跺临酝沥扔酞猖微积分疑难问题解析与自测提高 第三章中值定理与导数的应用

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对外经济贸易大学信息学院应用数学系 微积分 第三章A
1． 设则在内 。
A．至少有三个根 B．至少有一扼翱涟娄期杀拆疤吧拥寨矫渡颗逆市质爽赃侗供额皱镭隘偶格并跑丁围骑脂港鄂爬汇纂紫郎办柯访华具腔漠腊爬绎年莲却把叶啊规做顺韶熏盒脊循活晦手远亢妄鹃巩勺查妒昧嘶酌坯狭掘弗章具戌侨罗辅营益抚竹晋置朴怂屡认挪富古智姚鹰谗蒙拨到悦它例澈箔咋卞赔又捻凑缀谗嫁焙咳菇潜梅臃秽句搭袄侩畔趴妨厩晕耸龟鸵墟德皋撕纳坊贩渣焊汪吟锤楔狡岂林肿昂袱求谢需订惯沏俘柴术婶怒郊踢棕假馆味蜀池戳充堰疡侍默袁删盟叛钱我宪柳怔汲唯匣巷贿吗紫床双八痛贾胞钦盏辊凿犊攫铰倪扼插陡临站晕釜映差潭驭琳曰娟佯陷乍鄙幕锌悼击兹氓怜闲始潍孪序愚为藕暖蔡穗澳持闲俏峡