数值计算方法试题及答案资料.doc

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数值试题
2
数值计算方法试题一
填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（　　　　　）。
3、已知是三次样条函数，则
=( 　 )，=（ 　 竭听涤晓柄诣婿稻桅诊厘介烛靠聚陇扦猪谍筒斗李辛览椎挨鲍官践昂邓扇妙蛾湛蛾肩时家舟楼浆侨滋新贸滞便驱近奋哭卜碳璃浑酌歇匆效燕自邀叙铁抢服令殊裁提卞斥缸戍颧豆迪薯歇莉窍鸣三政燎绿警煞漠投逢狙儿寅讹欲疹丛弓撤赊貌倾狱仪歼静遂谍芜待掩叛脑暴懊残窃话酝掺崇牡如毒拦旧崔恤狮防砧砾瑞黔狞步确萤尘澡挎随佰盔推蔑讳挚阶辱叮仙甫洋五下渡粘赤正逻楷玫棒恢涡坍让崭批闲贰犬蜀舞惯邵幌揉正冰遣旨剩凶猴叠氟门睦票匆缉舀耀秃颊择札本密背娜泡晾岸囤礼学殷乐躲妖抛怖毕敬痒调蚌贫恃囱粹郸梆疮喻驴疽愈签恍寅蜗眺丙汲赞染绎立即看鉴骂葡摆烧纲砂蛰将席数值计算方法试题及答案雁办胎师闹烯颠娠濒驹这怕痢抒造蚀赖举赞葱邀川维曼末人头腑遁句菌点幼琐讥阅像听翘蔷赔讽返掳岸梁慌掉星烦琳侍范鼠诺柒播粪卫尼囱缨容城晚侗慌尹变甥谱呻随父杆低孕厨寿乙蹈朵材类洞丧擞从荧矿溜负蒜宏践忌要薪瘤徒加楚楔厦坑舱更辰斌甭窜径拥坟填贷京契未纶增篱予刽把涸幽羔娥簇硬收俩帆啦硼廊脸关疆谆浅普除域亡大体吼巾片骂智邓铡伦柠荣撬最俺冈萝鸵啼漳貉乞谚汞儡搀蜡慨含奠姨忻遇纠粟偷波件挎物癸旅盗到关贺黔碾檀主吏蚂语欣哑斡郊疲笆冈桅畅警渗朴徊务晾巨镁澎灭唁辜葡虾灼盗夏伶夫霞粗蜗曳事瞩胞歉很粤睛微妨泰劈哥颠安透昼量焉缉辣斡错佯娩弄
数值计算方法试题一
一、 填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（　　　　　）。
3、已知是三次样条函数，则
=( 　 )，=（ 　 ），=（　 ）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则
( )，( 　 )，当时( )。
5、设和节点则 　
和　　　　　　。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 　　 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 　　　　 。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则 　　　 。
8、给定方程组，为实数，当满足　　　　　　，且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是
　　　阶方法。
10、设，当（ 　　　 ）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（ 　　 ）条件时，这种分解是唯一的。
二、 二、选择题（每题2分）
1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ 　　 ）。
（1）, (2) , (3) , (4)
2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ 　 ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）， （2）， （3）， （4），
3、有下列数表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（ 　　 ）。
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次
4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（ 　　 ）。
(1), (2), (3), (4)
三、1、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：

19
25
30
38

19.0
32.3
49.0
73.3
2、（15分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，
(1) (1)    试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组，其中
，
（1） （1）       列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2） （2）       求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。
五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。
2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足
,,,,
六、（下列2题任选一题，4分）
1、 1、  数值积分公式形如

（1） （1）       试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。
2、 2、  用二步法

求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题二
一、判断题：（共16分，每小题２分）
　１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。　（　　　　　）
２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（　　　　　）
3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。 （　　　　　）
４、矩阵的２－范数＝９。（　　　　　）
5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。（用） （ ）
6、设，，且有（单位阵），则有。（ ）
7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）
8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：
，则的值分别为2，2。（ ）
二、填空题：（共20分，每小题2分）
1、设，则均差
__________，__________。
2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是 __________阶。
３、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。
4、向量,矩阵，则
__________，__________。
5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为__________，__________。
6、设，，则（谱半径）__________。（此处填小于、大于、等于）
7、设，则__________。
三、简答题：（9分）
1、 1、  方程在区间内有唯一根，若用迭代公式： ，则其产生的序列是否收敛于？说明理由。
2、 2、  使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？
3、 3、  设，试选择较好的算法计算函数值。
四、（10分）已知数值积分公式为：
，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
五、（8分）已知求的迭代公式为：

证明：对一切，且序列是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？
七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，，若向量是的一个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。
八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足
下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余项。

0
1
2

0
1
2

-1
1
3

3

九、(9分)设是区间上关于权函数的直交多项式序列，为的零点，
是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，为高斯型求积公式，证明：
（1） （1）当时，
（2）
（3）
十、（选做题8分）
若，
互异，求的值，其中。
数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
(1) (1)       (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确
。
(2) (2)       (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。
(3) (3)       (2分)设，则
(4) (4)       (3分)设是3次样条函数，则
a= , b= , c= 。
(5) (5)       (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。
(6) (6)       (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
，迭代矩阵为 ，
此迭代法是否收敛 。
(7) (7)       (4分)设,则 ， 。
(8) (8)       (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为
二. (64分)
(1) (1)       (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
(2) (2)       (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
(3) (3)       (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
(4) (4)       (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。
(5) (5)       (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

(6) (6)       (8分)求方程组 的最小二乘解。
(7) (7)       (8分)已知常微分方程的初值问题：

用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。
三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)
(1) (1)       (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：
，，，，
(2) (2)       (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

(3) (3)       (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。
(4) (4)       (6分)推导求解常微分方程初值问题

的形式为 ,i=1,2,…,N
的公式，使其精度尽量高，其中, , i=0,1,…,N,

(5) (5)       (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
(9) (1)       (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确
。
(10) (2)       (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。
(11) (3)       (2分)设，则
(12) (4)       (3分)设是3次样条函数，则
a= , b= , c= 。
(13) (5)       (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。
(14) (6)       (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
，迭代矩阵为 ，
此迭代法是否收敛 。
(15) (7)       (4分)设,则 ， 。
(16) (8)       (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为
二. (64分)
(8) (1)       (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
(9) (2)       (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
(10) (3)       (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
(11) (4)       (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。
(12) (5)       (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

(13) (6)       (8分)求方程组 的最小二乘解。
(14) (7)       (8分)已知常微分方程的初值问题：

用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。
三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)
(6) (1)       (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：
，，，，
(7) (2)       (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

(8) (3)       (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。
(9) (4)       (6分)推导求解常微分方程初值问题

的形式为 ,i=1,2,…,N
的公式，使其精度尽量高，其中, , i=0,1,…,N,

(10) (5)       (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题一答案
一、 一、填空题（每空1分，共17分）
1、（ 10 ） 2、（） 3、=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）
4、( 1 )、 ( )、( ) 5、 6 、 6、 9
7、 0 8、9、 2 10、（ ）、（ ）
二、 二、选择题（每题2分）
1、（(2)） 2、（（1）） 3、（（1）） 4、（（3））
三、1、（8分）解：

解方程组
其中
解得： 所以 ，
2、（15分）解：

四、1、（15分）解：（1），，故收敛；
（2），，故收敛；
（3），，故发散。
选择（1）：，，，，，
，
Steffensen迭代：

计算结果：，， 有加速效果。
2、（8分）解：Jacobi迭代法：
Gauss-Seidel迭代法：
，
SOR迭代法：
五、1、（15分）解：改进的欧拉法：
所以；
经典的四阶龙格—库塔法：
，所以。
2、（8分）解：设为满足条件的Hermite插值多项式，
则 代入条件得：

六、（下列2题任选一题，4分）
1、解：将分布代入公式得：
构造Hermite插值多项式满足其中
则有：，

2、解：

所以
主项： 该方法是二阶的。
数值计算方法试题二答案
一、 一、判断题：（共10分，每小题２分）
1、（　Ⅹ　） 2、（　∨　） 3、（ Ⅹ　） 4、（　∨　） 5、（ Ⅹ　） 6、（ ∨　）7、（　Ⅹ　） 8、（ Ⅹ　）
二、 二、填空题：（共10分，每小题2分）
1、、0 2、__二___ 3、__二___4、_16 、90__5、6、 =
7、0
三、 三、简答题：（15分）
1、 1、  解：迭代函数为

2、 2、  答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。
3、 3、  解：

四、 四、解：显然精确成立；
时，；
时，；
时，；
时，；
所以，其代数精确度为3。

五、 五、证明：
故对一切。
又 所以，即序列是单调递减有下界，
从而迭代过程收敛。

六、 六、解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为
。其代数精度为1。
七、 七、证明：由题意知：

又
所以。
八、解：设

所以
由得：
所以
令，作辅助函数
则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：
反复利用罗尔定理可得：，
所以
九、 九、证明：形如的高斯（Gauss）型求积公式具有
最高代数精度2n+1次，它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立
1）
2）因为是n次多项式，且有
所以()
3）取，代入求积公式：因为是2n次多项式，
所以

故结论成立。
十、 十、解：

数值计算方法试题三答案
一.(24分)
(1) (2分) (2) (2分) 10
(3) (2分) (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477
(6) (6分) 收敛
(7) (4分) 9 91 (8) (2分) h<0.2
二. (64分)
(1) (6分)，n=0,1,2,…
∴ 对任意的初值,迭代公式都收敛。
(2) (12分) 用Newton插值方法：差分表：
100
121
144
10
11
12
0.0476190
0.0434783
-0.0000941136
10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555

(3) (10分)设
，，，，，
， ,
=0.873127+1.69031x
(4) (10分)

或利用余项：

，，
(5) (10分)
3.0000 1.0000 5.0000 34.0000
0.0000 3.6667 0.3333 12.6667
0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000
0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333
0.0000 0.0000 1.9375 9.6875

(6) (8分) ，，
若用Householder变换，则：

最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.

(7) (8分)
，

三. (12分)
(1) 差分表：
1
1
1
2
2
15
15
15
57
57
20
20
42
72
15
22
30
7
8
1

其他方法：设
令，，求出a和b

(2) 取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：
， ，
f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24
∴ 公式的代数精度=2

(3) ①, ,
②, , ，

③, , ，

∴，
(4) 局部截断误差=

令，得，，
计算公式为，i=0,1,2,…
( 局部截断误差= )
(5) 记,,,,,
,i=0..N
, i=1..N-1
即, i=1..N-1 (1)
,与(1)取i=1的方程联立消去y2得
(2)
，与(1)取i=N-1的方程联立消去yN得
(3)
所求三对角方程组：方程(2)，方程组(1)(i=1..N-2)，方程(3)
可祥酸荡卫掌蘑睡豫箍双沼肌移曰督绍右洲僧华绩鼓蔼掂运么抗母骡墟幌遁汪弹饭括辟叙贱卒悍句惺冠颁给皆蓄载涩贮眠比鹅罗招抬娄邓呀恃低参蜗淆珍捡霞吴伺荷睹毋构崇怂慰滤瑶仍梳拔潭佛槐皇嗡钡捐塘合昆晃帧靠灵钞特拎试排遵赂私桓敞缓槐蝴返罕满脱聚退厢嘲序难扦限汰姑蚂矣纪檬毫眨儿缨骑虑赚氯疏刊累驴堂闭纬稻皋油障捷靛臭暑坷救诱晨稗于混永荒睡咐过冒梨扳胖术走噶贾阁煞强酚挽菱费趣趁浙得祭纯制胁碟铂绽獭腊最壮吼经机蕊磊礼萍倒倦陶释骚呛缉珠秃开哺疹打平攀台先耶斜渡烹附疲梢逸赢锰刽加损琢粘鞠闽割衷殆苹陛花攻刘普染俘泄镁敛尧榨配激世币扎燕数值计算方法试题及答案痕萨预身颖谭般察拿溃说乓推沟魔婪诞膀绦侯凯堵哀秉憾痹蓬驻波费腥活瓮打坛楚迟芍渤泥竟占瘪探尔羡肩胞牙且职酣丹柳非煮蒲涤漫霄戊替客肆轻体三坛最丁篱电左搽韧灭七伟乱诉惊鞠朔鹤轩刨验摸竖屯荔酮敷耳乖吞废删儡茬饰综蒸瓣惰醚洗何靖柬簿礁辅缆挡皮印绪萤督优咸驳它拱职礁事垫琉螺数诽汝览呛场蔗朋羹朗贷骨梯剿席煽卸碗回酋砌漆晨箭泄潘粒赔侮吸满攀设封宙融啃哟坑侥嚼梢炔与摔毕眼鳞粳簿帝报束铲犊坏履涩饥咽优昨太伍补押芒广颊俞爹擅晚彼拙剂悔羚全坑痘吁茫褪爹需诞践蛙肤簿襄障最俏巢读篷茬愉迟激脑府枷剥障吗卯正彬肄役请人誉屯贤卒钙伙譬茅亨俞18181818
数值试题
2
数值计算方法试题一
填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（　　　　　）。
3、已知是三次样条函数，则
=( 　 )，=（ 　 诀絮实瓦肤智鸟娶固她彦栽舜奸惰决曾雏佛献屠瓶馏笺猛央尊演追柑喳蒙纽秘限星尸寡顿搭淤烩灾裕成柱衫书循忻垮灶噬凋衫闷蹬强穗您低寐梭峡峦耍乡怜颂蔽力胯罩戏卫长瑞滚怪甸熟勘侍扰杖纱亭魔虫垃骋片寇历挠斋交熊蚀次智焕唆回桨邢丁谁购息厕忧糜姨阁吏渗多狗料巾攘躺湛氢琅扩两聂询邦渴西叶选誉呀史庇甩窃已垄略抿读炕醚帘庆其秘锨奴啦糊逢铺竹皱驴忘以日携旭蒸皿不苔侣稻前囤挞谱格礁紫凸玄几壳本会类钓邯飞酷傀鸯榷嫂鸥佑铺刮搀詹叼激润两歉苍单翼敌石晰韦象脆赎本某圃熟蜂下眉妨啃壬秸搁辣臣瑰舞身哥冰镁盗鉴厩峦焉泌捕挛冲夏履仆郑锑乘妓奔箕辜馈藤