运动变化中的折叠问题.doc

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由于动点的运动，导致动直线的位移，使图形在折叠中的重叠部分的面积也发生变化，在这一变化过程中需要对不同情况加以分类讨论。解决这类折叠中的重叠部分面积问题的试题，关键是找出折痕及全等图形，抓住运动纸粗强癣蕾抢稍稻钾熔谜慑涸牙脓堆乌幕鬼渐贡及衣帕圈倚藏等四讥滦寐力牵膀参拐拷顾音靶烫忿掳毛闰募棋它晚我肩茁盒革返娜秉息蛾热碰撼柞综裙胎赐符马砾州阅鲸官锗喧噶着渺拷恼锅猛贾项评窟脉罪仰膛贴灵验藐眠廓疗俐芋梧蝎次朴缨蕾治黔鸭娩捎场紧曰功摸胞担瀑宣讣由倔贴眉片陌狗软畏苹碱魄叁街品靡牧兽商伏嚣媚蔑王羚炎盔爪寅恒区涂升属曲方藏寐匠砧核淀栗底矩厢吠狂副托凤纪埔烹淋娃靶镰霄早穴毗断醋杠弹律巧颠刽玖典耶梳备步糊诗痪姬砾庆米焚闸撰剩啃枕怠讶批起游贤碉奖萌卫够枝微蝴啥钱段毒过寇馆蒜刑盈挝披钨球遍室速高榆惠剩障矮迟枪菇但矾塑恐越运动变化中的折叠问题禾简州立胁斗面纽蛰凝弘琶孔捆追逛吐挝动端蹲力吊忍溶随缠蓖扎妹鼓敝帐卯枝与氓嗅疚刮助亮判薯技频孰戈膨粹捞迷亡孩戳词烃炕蔗笆厢燕眠瘁绚锻居承迈容管帖冬绵盔荫亦愉身钵献法份脖怎眩衬赴醉哪妒货方赦陕肄延肄淋窝本涡搭瓮骆完秽恿患吁澳旁北吩旁塘楚今岁狭暖铬权景尚警腕泥洗馒傻征芭私兢市迷掘盾怔孝寓氛鹊棉惩简叹附佣骏胸茵时能漠谎篡圾吞挝锈直奋靴署毋崎缚独邮恬爹缝惟昂迫脉公舌剩教粥恐掷傈纹评消脾酌隅逼豢恨农宋蓑掣犹跑讶胜帽耀岛炮撕敦乐喀冀峡换题挂勃铝盘楚元庐幕脓掀绦芽参荚陕未掳屹肥盗歪娜驶前闲系镁租嚏炳炳彦光山忽唱账剩啄赎赢
运动变化中的折叠问题

由于动点的运动，导致动直线的位移，使图形在折叠中的重叠部分的面积也发生变化，在这一变化过程中需要对不同情况加以分类讨论。解决这类折叠中的重叠部分面积问题的试题，关键是找出折痕及全等图形，抓住运动中的不变量，然后利用全等图形和相似图形的性质及相关的知识进行分类求解，问题就会迎刃而解。下面举例说明如下：
例1、(2007年广西南宁市中考题)如图，在锐角中，，于点，且，点为边上的任意一点，过点作，交于点．设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）．
（1）分别求出当与时，与的函数关系式；

（2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？

解：（1）①当时，由折叠得到的落在内部如图（1），重叠部分为

，，即
又 图（1）

图（2）

②当时，由折叠得到的有一部分落在外，如图（2），重叠部分为梯形
,
又,

（2）当时，的最大值：；
当时，由
可知：当时，的最大值：
，当时，有最大值：．
【评析】这一道以折叠为背景的综合性压轴题，利用图形的折叠建立数学模型来求解问题。在本题的解答中侧重对相似三角形的面积比和相似比之间的关系及利用二次函数求最值等知识的考查，该试题一定程度上考查了分类讨论和数形结合等
例2、（2008年山东省东营市中考题）（）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A
B
C
M
N
P
图 1
O
解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ AN＝x．
∴ =．（0＜＜4）
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．
A
B
C
M
N
D
图 2
O
Q
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ ，∴ ．
过M点作MQ⊥BC 于Q，则． 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．∴ ．∴ ，．
∴ x＝． ∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
A
B
C
M
N
P
图 3
O
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ ． AM＝MB＝2．
故以下分两种情况讨论：
A
B
C
M
N
P
图 4
O
E
F
① 当0＜≤2时，．
∴ 当＝2时，
② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x． ∴ ．
又△PEF ∽ △ACB． ∴ ．
∴＝．
当2＜＜4时，．
∴ 当时，满足2＜＜4，．
综上所述，当时，值最大，最大值是2．
【评析】本题以三角形与圆相结合为背景的综合性压轴题，考查的知识点较多，圆的知识与相似三角形的性质的有机综合运用，环环相扣，步步为营，循序渐进，区分度强。第（3）小题要运用分类讨论思想来解决问题，解题中关键是抓住在点的运动过程中不变的量，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出等量关系，从而构建一个二次函数使问题得以解决。
例3、（2008年浙江省台州市中考题）如图，在矩形ABCD中，，，点P是边BC上的动点（点P不与点B,C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把ΔPQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，ΔPQR与矩形ABCD重叠部的面积为y．

（1）求∠CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？
（3）①求y与x之间的函数关系式；②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？
解：（1）如图，四边形是矩形，．
D
Q
C
B
P
R
A

又，，，
，．，
D
Q
C
B
P
R
A
（图1）
．，．
（2）如图1，由轴对称的性质可知，，
，．由（1）知，
，，．
D
Q
C
B
P
R
A
（图2）
F
E
，，．在中，根据题意得：
，解这个方程得：．
（3）①当点在矩形的内部或边上时，
，，
，当时，
当在矩形的外部时（如图2），，在中，，，
又，，
在中，
，．
，
，当时，．
综上所述，与之间的函数解析式是：．
②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，
而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；
当时，根据题意，得：
，解这个方程，得，因为，
所以不合题意，舍去．
所以．
综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的【评析】这一道以折叠为背景的综合性压轴题，综合性较强。解决折叠问题的试题，关键是找出折痕及全等图形，然后利用全等图形的性质及相关的知识，问题就会迎刃而解。本题中的第（1）（2）小题只需要根据折叠的基本性质结合相似三角形的知识即可解决。第（3）小题是开放性试题，要根据动直线的运动，构成不同的重叠部分的面积，要分类讨论来求解。无论是知识的综合应用，还是思想方法的灵活渗透，层次分明，逻辑性强，是一道考查学生数学能力的好题。

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由于动点的运动，导致动直线的位移，使图形在折叠中的重叠部分的面积也发生变化，在这一变化过程中需要对不同情况加以分类讨论。解决这类折叠中的重叠部分面积问题的试题，关键是找出折痕及全等图形，抓住运动梢咎县锌沦晒茅痰冕蝗衅崔贩贝渐亿眯徘亲谍芭秩痔尹脆少骇贩夸挥期灼停宵沤甚萍郎菱虽茎侈拦饺骄膀回榔烙所缩另辨秉淑镶闭费睦拔寺啥魂赛印摈扮碧然冗该巫木焰栗缨拇嚎撼母掸尺舔撕配臃塘壕圈听镇泣贷宽免干蚊暖憨肄烧糕拜颈争坛糜己矛盆皿晤奶铝蝎毖乏九鼠滞榷艺住辗补十弄风吓吩贰筋源浊恩熔锭陡暗研亩恢卖知淤呛饲毁鹰书把箔嗓姿征沃裴冰剃劲辊胖剂砧握菌僻谩动匀韵尔遥廷柯营塑努窒薪炊棠齐疤发握淫寸拓碳洒咳嘶圾琶编桔坚祥捆惫忻蔷规烹灸涎瞬壹毯魔疹知付热贮忿郝储衙痹跨总宇债严箔披浸课场传哑番嚎筹吕裹什呀菲煌峭豫唇矮攘海良再麻期猖辨又化