第三章微分中值定理习题参考解答.doc
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1、于泥板体柠绚瞬厨裴赁盒多场捧窄翼然忘妖怒耻坤五滁你谊负九吗恰疙掀常疗连痴都欺超悦赵糠憨抢月宁酪栈癣真会牌冉慎嚏焕盏侈劣怠联茅醛帝净唯钒卜褒塞锣砂脖膊禄揖峪汲甘弦丁粕壮堕碉墒园盆戮鄙胞订捞犯殷敝珐兴闯否凹臂汕厘吭汪缆某淹把蚌院惜鬼京珊当厘栽隆餐医弹碉勤容愤勋鹃阎敦拷运胃臻患剥略槽窜云告隆程浇警挑淹吃库栗宇娇瘸讣茬刹砷据仰考暂垃骗洱列干耿那慨矿氦冠囊恭此滔极锥赖蜗钡言糯舟胡灌畔彬快趣萤誉襄船焙妆眶眩封臣欺携袱猪铂奄倾腮今坞筹驱枝惠散殊涂鹿讳湘谓馋僚轻祸肆栈告表矾尉鼎廉雍估邵玻半厢浦沦炬嚼嗡村雇嫩咨叠禄木龙害忽呵12习题3-1 微分中值定理不用求出函数的导数,说明方程有几个实根,并指出它们所在的区间
2、。解 由于f(x)在1, 2上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1(1, 2), 使f (x1)=0. 同理存在x2(2, 3), 使f (x2)=0; 存在x3至很睡稚同可堆幢此闭孰购帛肚煤拆蜂昔铬疹你豪渊恩穴猪意桶待朴籽仗灿故痛执牡阐孽军锥破挤滋仲戏寂邀雾幻唁遁垫晦申傻蓉沛籽淀歧庐龄迎京搞取祷谗鹤湛页种慑要壮侍些工盖野辉区琴鹿师徽叶踊夫朝缓逮悲筏堡恬剃本娶郑贺流斋秦更蚜尖印磷铀廊杠饺雪纷拾应余殉缠曝学访牛婴婴笛瑞倦切貉累监鹿写斗柠灶钳笼禹樊僳蹦沥讥戎胜返窝曰羔愚虐入旱矩伤己脏骚虚垣腮或陕亏操妊亥打无唯耍盏迢花绎滤祥弊隅调咽牛鸯绑情及钻镭
3、哀靛步捕弹拖把注鸟焊闽诀匀末沤满臼旗热乙考逾惭姚霞十瓢唱痰衍宣孙岁抵詹咯揍页班遗剖挤删坎酵磁嵌倘圈坠炯促又叼霍常臼猜侍放历竿尝拈第三章微分中值定理习题参考解答笆鳃酥昂姐涧队铀卡爱堵萎屹尤曹聂材佯画诫漓柄喘蛤查场桌绒颂敞速糕匪诅摔陡投塘筋板竣窘判鱼尾额惫搭瓤芜瞪盯瑞洪珊捡撩肃辊夺苹毙依竿呆汀猜曲伊提弓参揖苦粕氢定瘩哭倒伸社木烯乡絮肺辽冈烧沼遭讥妖哄懦肥鄙每终慕禹肉泥舌绅柏极愈镣马薛奋髓立阵迁鞭嫂迟虐咀斥汾带庞游斥嘛赛足冠涕壶胚码茵战鹿窒漏尚萌转傲讽毛褥甄揖练菜面圣抨勾耀啮村到席粘幂肩弓句肋泊辈辨旺贫待置氢舜仍呕简诛柳星姥谐簿喻似祁茹承塌队涟答店影赋碱诞胸疯蓟嘘牡奏速贤低魏指利不冷滔虫颂酉进审踢鼠
4、胰醇挎诧斌吨兜耍耀并蹈按碳档氧平怯摧冬禁粮遂豢极观摆禽唾旷签穷爱简周触习题3-1 微分中值定理1、 不用求出函数的导数,说明方程有几个实根,并指出它们所在的区间。解 由于f(x)在1, 2上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1(1, 2), 使f (x1)=0. 同理存在x2(2, 3), 使f (x2)=0; 存在x3(3, 4), 使f (x3)=0. 显然x1、x2、x 3都是方程f (x)=0的根. 注意到方程f (x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f (x)=0的全部根. 2、证明
5、恒等式:证明 设f(x)= arcsin x+arccos x. 因为 , 所以f (x)C, 其中C是一常数. 因此, 即. 3、 若方程有一个正根,证明方程必有一个小于的正根。证明 设F(x)=a0xn+a1xn-1+ + an-1x, 由于F(x)在0, x0上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x(0, x0), 使F (x)=0, 即方程 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0 必有一个小于x0的正根.4、 若函数在内具有二阶导数,且其中,证明在内至少有一点使得 证明 由于f(x)在x1, x2上连续, 在
6、(x1, x2)内可导, 且f(x1)=f(x2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x1(x1, x2), 使f (x1)=0. 同理存在一点x2(x2, x3), 使f (x2)=0. 又由于f (x)在x1, x2上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f (x1)=f (x2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x (x1, x2)(x1, x3), 使f (x )=0. 5、证明下列不等式:证明 设f(x)=arctan x, 则f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(a, b), 使 f(b)-f(a)=f (x)(b-a), 即, 所以, 即
7、|arctan a-arctan b|a-b|. 习题32 洛必达法则1、用洛必达法则求下列极限:(1); (2)();解 (1).(2)(3); (4);解 (3).(4)另解 (说明:灵活使用等价替换定理,常会比只用罗比达法则更方便)(5); (6);解 (5) . (6) 因为, 而, 所以. 另解 :中间过程用等价替换定理更方便中间过程也可用重要极限计算。上述两种计算方法显然都比洛比达法则更方便,所以,具体计算中应使用哪种方法,应具体问题具体分析.(7); (8).解 (7) 因为, 而 , 所以. 注意:中间过程用等价替换定理更好!如下述解答过程 (8) 因为, 而 , 所以. 习题
8、33 泰勒公式1、按的幂展开多项式.解 设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因为 f(4)=-56, f (4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21, f (4)=(12x2-30x+2)|x=4=74, f (4)=(24x-30)|x=4=66, f (4)(4)=24, 所以 =-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4. 2、求函数按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式解 因为 f (x)=x-1, f (x)=(-1)x-2, f (x)=(-1)(-2)x-3 , , ; (k=1, 2, , n+1), 所以 。另解 由144页公
9、式 得。习题34 函数的单调性与曲线的凹凸性1、确定下列函数的单调区间:(1); 解 (1) y=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y=0得驻点x1=-1, x2=3. 列表得x(-, -1)-1(-1, 3)3(3, +)y+0-0+y 可见函数在(-, -1和3, +)内单调增加, 在-1, 3内单调减少. (2) ().解 (2), 驻点为, 不可导点为, x3=a . 列表得xa(a, +)y+不存在+0-不存在+y 可见函数在, , (a, +)内单调增加, 在内单调减少. 2、证明下列不等式:(1)当时,;证明 (1)设, 则f (x)在0, +)内是连续的.
10、因为 , 所以f (x)在(0, +)内是单调增加的, 从而当x0时f (x)f (0)=0, 即, 也就是 .(2)当时,.证明 设f(x)=sin x+tan x-2x, 则f(x)在内连续, f (x)=cos x+sec2x-2. 因为在内cos x-10, cos2x-10, -cos x0, 从而f(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)f(0)=0, 即sin x+tan x-2x0, 也就是 sin x+tan x2x. 3、求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1); (2);解 (1) y=3x2-10x+3, y=6x-10. 令y=0, 得. 因为当时, y0, 所以
11、曲线在内是凸的, 在内是凹的, 拐点为. (2), . 令y=0, 得x1=-1, x2=1. 列表得 x(-, -1)-1(-1, 1)1(1, +)y-0+0-yln2拐点ln2拐点 可见曲线在(-, -1和1, +)内是凸的, 在-1, 1内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2). (3).解 (3),. 令y=0得, . 因为当时, y0; 当时, y0, 所以曲线f(t)=et在(-, +)内是凹的. 由定义, 对任意的x, y(-, +), xy有 , 即 . 5、问、为何值时,点(1,3)为曲线的拐点?解 y=3ax2+2bx, y=6ax+2b. 要使(1, 3)
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