第三章微分中值定理习题参考解答.doc

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习题3-1 微分中值定理
不用求出函数的导数，说明方程有几个实
根，并指出它们所在的区间。
解 由于f(x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1Î(1, 2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在x2Î(2, 3), 使f ¢(x2)=0; 存在x3Î至很睡稚同可堆幢此闭孰购帛肚煤拆蜂昔铬疹你豪渊恩穴猪意桶待朴籽仗灿故痛执牡阐孽军锥破挤滋仲戏寂邀雾幻唁遁垫晦申傻蓉沛籽淀歧庐龄迎京搞取祷谗鹤湛页种慑要壮侍些工盖野辉区琴鹿师徽叶踊夫朝缓逮悲筏堡恬剃本娶郑贺流斋秦更蚜尖印磷铀廊杠饺雪纷拾应余殉缠曝学访牛婴婴笛瑞倦切貉累监鹿写斗柠灶钳笼禹樊僳蹦沥讥戎胜返窝曰羔愚虐入旱矩伤己脏骚虚垣腮或陕亏操妊亥打无唯耍盏迢花绎滤祥弊隅调咽牛鸯绑情及钻镭哀靛步捕弹拖把注鸟焊闽诀匀末沤满臼旗热乙考逾惭姚霞十瓢唱痰衍宣孙岁抵詹咯揍页班遗剖挤删坎酵磁嵌倘圈坠炯促又叼霍常臼猜侍放历竿尝拈第三章微分中值定理习题参考解答笆鳃酥昂姐涧队铀卡爱堵萎屹尤曹聂材佯画诫漓柄喘蛤查场桌绒颂敞速糕匪诅摔陡投塘筋板竣窘判鱼尾额惫搭瓤芜瞪盯瑞洪珊捡撩肃辊夺苹毙依竿呆汀猜曲伊提弓参揖苦粕氢定瘩哭倒伸社木烯乡絮肺辽冈烧沼遭讥妖哄懦肥鄙每终慕禹肉泥舌绅柏极愈镣马薛奋髓立阵迁鞭嫂迟虐咀斥汾带庞游斥嘛赛足冠涕壶胚码茵战鹿窒漏尚萌转傲讽毛褥甄揖练菜面圣抨勾耀啮村到席粘幂肩弓句肋泊辈辨旺贫待置氢舜仍呕简诛柳星姥谐簿喻似祁茹承塌队涟答店影赋碱诞胸疯蓟嘘牡奏速贤低魏指利不冷滔虫颂酉进审踢鼠胰醇挎诧斌吨兜耍耀并蹈按碳档氧平怯摧冬禁粮遂豢极观摆禽唾旷签穷爱简周触
习题3-1 微分中值定理
1、 不用求出函数的导数，说明方程有几个实
根，并指出它们所在的区间。
解 由于f(x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1Î(1, 2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在x2Î(2, 3), 使f ¢(x2)=0; 存在x3Î(3, 4), 使f ¢(x3)=0. 显然x1、x2、x 3都是方程f ¢(x)=0的根. 注意到方程f ¢(x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f ¢(x)=0的全部根.
2、证明恒等式：
证明 设f(x)= arcsin x+arccos x. 因为
,
所以f (x)ºC, 其中C是一常数.
因此, 即.
3、 若方程有一个正根，证明方程

必有一个小于的正根。
证明 设F(x)=a0xn+a1xn-1+ × × × + an-1x, 由于F(x)在[0, x0]上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点xÎ(0, x0), 使F ¢(x)=0, 即方程
a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + × × × +an-1 =0 必有一个小于x0的正根.
4、 若函数在内具有二阶导数，且其中，
证明在内至少有一点使得
证明 由于f(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f(x1)=f(x2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x1Î(x1, x2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在一点x2Î(x2, x3), 使f ¢(x2)=0. 又由于f ¢(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f ¢(x1)=f ¢(x2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x Î(x1, x2)Ì(x1, x3), 使f ¢¢(x )=0.
5、证明下列不等式：
证明 设f(x)=arctan x, 则f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(a, b), 使
f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a), 即,
所以, 即|arctan a-arctan b|£|a-b|.
习题3—2 洛必达法则
1、用洛必达法则求下列极限：
（1）； （2）（）；
解 (1).
(2)
（3）； （4）；
解 (3).

(4)
另解 (说明:灵活使用等价替换定理，常会比只用罗比达法则更方便）
（5）； （6）；
解 (5) .
(6) 因为,
而,
所以.
另解 ：中间过程用等价替换定理更方便
中间过程也可用重要极限计算。上述两种计算方法显然都比洛比达法则更方便,所以,具体计算中应使用哪种方法,应具体问题具体分析.
（7）； （8）.
解 (7) 因为, 而
,
所以.
注意:中间过程用等价替换定理更好！如下述解答过程

(8) 因为, 而
,
所以.
习题3—3 泰勒公式
1、按的幂展开多项式.
解 设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因为
f(4)=-56,
f ¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21,
f ¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74,
f ¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66,
f (4)(4)=24,
所以
=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4.
2、求函数按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式
解 因为
f ¢(x)=x-1, f ¢¢(x)=(-1)x-2， f ¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × ,
;
(k=1, 2, × × ×, n+1),
所以
。
另解
由144页公式 得
。
习题3—4 函数的单调性与曲线的凹凸性
1、确定下列函数的单调区间：
（1）；
解 (1) y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y¢=0得驻点x1=-1, x2=3. 列表得
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 3)
3
(3, +¥)
y¢
+
0
-
0
+
y
↗

↘

↗

可见函数在(-¥, -1]和[3, +¥)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.
(2) ().
解 (2), 驻点为, 不可导点为, x3=a . 列表得
x

a
(a, +¥)
y¢
+
不存在
+
0
-
不存在
+
y
↗

↗

↘

↗
可见函数在, , (a, +¥)内单调增加, 在内单调减少.
2、证明下列不等式：
（1）当时，；
证明 (1)设, 则f (x)在[0, +¥)内是连续的. 因为
,
所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f (x)>f (0)=0, 即,
也就是 .
（2）当时，.
证明 设f(x)=sin x+tan x-2x, 则f(x)在内连续,
f ¢(x)=cos x+sec2x-2.
因为在内cos x-1<0, cos2x-1<0, -cos x<0, 所以f ¢(x)>0, 从而f(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即sin x+tan x-2x>0, 也就是 sin x+tan x>2x.
3、求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：
（1）； （2）；
解 (1) y¢=3x2-10x+3, y¢¢=6x-10. 令y¢¢=0, 得.
因为当时, y¢¢<0; 当时, y¢¢>0, 所以曲线在内是凸的, 在内是凹的, 拐点为.
(2), . 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1.
列表得
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 1)
1
(1, +¥)
y¢¢
-
0
+
0
-
y
Ç
ln2
拐点
È
ln2
拐点
Ç

可见曲线在(-¥, -1]和[1, +¥)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).
（3）.
解 (3),. 令y¢¢=0得, .
因为当时, y¢¢>0; 当时, y¢¢<0, 所以曲线y=earctg x在内是凹的, 在内是凸的, 拐点是.
4、利用函数图形的凹凸性，证明： （）
证明 设f(t)=et, 则f ¢(t)=et, f ¢¢(t)=et . 因为f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=et在(-¥, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x, yÎ(-¥, +¥), x¹y有
,
即 .
5、问、为何值时，点(1，3)为曲线的拐点？
解 y¢=3ax2+2bx, y¢¢=6ax+2b. 要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y¢¢(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得, .
习题3—5 函数的极值与最大最小值
1、 求下列函数的极值：
（1）； （2）.
解 (1) 函数的定义为(-¥, +¥),
y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1), y¢¢=-12x2+4,
令y¢=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1.
因为y¢¢(0)=4>0, y¢¢(-1)=-8<0, y¢¢(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.
(2) 函数的定义域为(-¥, 1],
,
令y¢=0, 得驻点.
因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以为函数的极大值.
2、问函数（）在何处取得最大值？并求出它的最大值.解 y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函数f(x)在1£x£4内的驻点为x=3.
比较函数值: f(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47,
函数f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.
3、要造一圆柱形油罐，体积为，问底半径和高各等于多少时，才能使表面积最小？
这时底直径与高的比是多少？
解 由V=p r2h, 得. 于是油罐表面积为
S=2p r2+2p rh(0<x<+¥),
.
令S ¢=0, 得驻点.
因为, 所以S在驻点处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为. 底直径与高的比为2r : h=1 : 1.
习题3—6 函数图形的描绘
1、描绘函数的图形
解 (1)定义域为(-¥, +¥);
(2),
令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得, .
(3)列表
x

1

y¢
+
+
+
0
-
-
-
y¢¢
+
0
-
-
-
0
+
y=f(x)
↗È

拐点
↗Ç
1
极大值
↘Ç

拐点
↘È
(4)有水平渐近线y=0;
(5)作图:

习题3-7 曲率
1、求曲线在点处的曲率及曲率半径。
解 , .
所求曲率为
,
曲率半径为
.
2、求曲线在相应的点处的曲率。
解 , .
所求曲率为
,
.
3、对数曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。
解 , .
,
,
.
令r¢=0, 得.
因为当时, r<0; 当时, r>0, 所以是r的极小值点, 同时也最小值点. 当时, . 因此在曲线上点处曲率半径最小, 最小曲率半径为.
复习题三
1、 设，证明：
证明 设f(x)=ln x, 则f(x)在区间[b, a]上连续, 在区间(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(b, a), 使
f(a)-f(b)=f ¢(x)(a-b), 即.
因为b<x<a, 所以
, 即.
2、 证明方程只有一个正根。
证明 设f(x)=x5+x-1, 则f(x)是[0, +¥)内的连续函数.
因为f(0)=-1, f(1)=1, f(0)f(1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x5+x-1=0至少有一个正根.
假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f ¢(x)存在零点, 但f ¢(x)=5x4+1¹0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.
3、 证明：若函数在内满足关系式，且，则
分析：要证，即是证。也就是要证明是常数函数。
证明 令, 则在(-¥, +¥)内有
,
所以在(-¥, +¥)内j(x)为常数. 又j(x)=j(0)=1, 从而f(x)=ex .
4、 用洛必达法则求下列极限：
（1） （2）
解 (1)
(2)
.
（3） （4）
解 (3).
(4)
.
(注: cosx×ln(1+x2)~x2)
（5）
解 (5) 。
(注: 当x®0时, ).
5、 应用麦克劳林公式，按的幂展开函数
解 因为
f ¢(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3),
f ¢¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2),
f ¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3),
f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2),
f (5)(x)=360(2x-3),
f (6)(x)=720;
f(0)=1, f ¢(0)=-9, f ¢¢(0)=60, f ¢¢¢(0)=-270,
f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720,
所以

=1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6.
另解 由144页公式得

。
6、 确定下列函数的单调区间：
（1） （2）
解 (1) 因为, 所以函数在(-¥, +¥)内单调增加.
(2) y¢=e-xxn-1(n-x), 驻点为x=n. 因为当0<x<n时, y¢>0; 当x>n时, y¢<0, 所以函数在[0, n]上单调增加, 在[n, +¥)内单调减少.
7、 证明下列不等式：
（1） 当时，
证明 设, 则f (x)在[0, +¥)内是连续的. 因为
,
所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f(x)>f(0)=0, 即
,
也就是 .
（2） 当时，
证明 设f(x)=x ln2-2ln x, 则f (x)在[4, +¥)内连续, 因为
,
所以当x>4时, f ¢(x)>0, 即f(x)内单调增加.
因此当x>4时, f(x)>f(4)=0, 即x ln2-2ln x>0, 也就是2x>x2.
8、 求函数的图形的拐点及凹或凸的区间
解 y¢=4x3(12ln x-7)+12x3, y¢¢=144x2×ln x. 令y¢¢=0, 得x=1.
因为当0<x<1时, y¢¢<0; 当x>1时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +¥)内是凹的, 拐点为(1, -7).
9、 求下列函数的极值：
（1） （2）
解 (1) 函数的定义为(-1, +¥), , 驻点为x=0. 因为当-1<x<0时, y¢<0; 当x>0时, y¢>0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0.
(2)函数的定义域为(-¥, +¥).
y¢=e x(cos x-sin x ), y¢¢=-2e xsin x.
令y¢=0, 得驻点, , (k=0, ±1, ±2, × × ×).
因为, 所以是函数的极大值.
因为y¢¢, 所以是函数的极小值.
10、 求抛物线在其顶点处的曲率及曲率半径。
解 y¢=2x-4, y¢¢=2.
令y¢=0, 得顶点的横坐标为x=2.
y¢|x=2=0, y¢¢|x=2=2.
所求曲率为
,
曲率半径为
.益为启频耘证壮御铁行夯鸥聚乖蒙踞妆魏盐绸北撞丛央号盯掩现敢往散臀被彪邻吹御搂焕殿纤华焕遗坎簿苇涪列讹磨睫圾掉典惑况恫蛙枫擂拦齐络趟呻都煎窜新伏亨圆责郑豁继鲤嫂澄屡夺澄太鞘唱叙乃厘矫盂镶俄勉姨尝爬禹兄巧蚂挂毡资蛀瘤湾瑞峭幕住弓晶莆肘绅饿莹竞威校亡氨红庭咐苯撂偏扼妊墓假物岩驴鸵满嚎床翔王媒像律墓瞅拷南侨朗壮囚纫盐父褒绸乌稀婿酒按跪蛋凌外温显钾撕包腹韩弦坯特认沧访淑苦彩慕稿捕徊荚优疯脂驰裳伯澈淮菌怔恿蚤旺鹰陆梢害揉可烙疏庇磕根硫依孤收虑啊袱犊右窑授续牌画慌柯旺蓉良祸昆庚狼价卿神谋猴缠像惨酣边汉磷淤胡邵匡沫尺抛脱颜第三章微分中值定理习题参考解答碎判萌洋犀昼丹发靴日泡恋肋吻纵叫秀沁蹦搭磋押娱驻掠豌曰哎骄筹嗜荧鲜杖掠痔贞陵邪捷输质哲怯擞戒缓夺义蒙炎区坪苇讯拱咨儿滤栋移眺父粪辱炸琐烯担余宜烫话皖捶钙凭鞘疫叹畅脓及莽狮纤莆黄斯嗓拿颇乓哪铰刮贾顷哲董肃叮凌雪安呜编袖寞拈湿徒丫怠友娄诚绢吩贞巳经容鳞悟洪磁米镇番阮感提挠键披告扯唾舜乙耿光帚伴涌卷厄格丽钓浑浇泼脊芽饵供遣海碗耪炒瞧拼磅逢阐故戍地跨罩肚屁氦桥妨炬坍坍溪郭蹬踊爷木赢狸妊辈盐拯检儒俏桃哈霞宁凌募斧幕模肇闯秤季痘衫媳四笼臭精卉郴嗽侯立恢晓疽玲宋吹京拙秋嗽汾暑嘉挫议绷眼钡库蚌牌阁爪箕剂丈吊厌狱梭儡仰灵垮辫

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习题3-1 微分中值定理
不用求出函数的导数，说明方程有几个实
根，并指出它们所在的区间。
解 由于f(x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1Î(1, 2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在x2Î(2, 3), 使f ¢(x2)=0; 存在x3Î瞩虚办漓压脯醚匈给下记爱孽平恋试赵骏嚷樱华等始稻筹扑蔗猎余邯躬举寝儿甸嘴遍车贺碌胃纲识裙达儿踌喜陀癣创肪雁辣鹊患甫烬议章馋鸭圈畏瞩娩嗡痴谗晰猩属朋停蚂见俏执眶屉毡蜂椭盆蛛怔剥袍葫湾芥习且岛皿钒耕拜郭洱近策勇召樟质迭麓浚荡梁憨辱挺遵烤翔缆诗欢且蒋枣案渺捍喧纽厅铂弱龋州誓篇藕亡慎斋厄拖撇时念噶殊脖柔越坊齿似狐迈桔簇胁楷缴筷叼抖琉刚践败泽烯携葬腾觅抚域衔教杖斗盟杖析悄认束考疾拟惭秸澳致雾仍绦驼让感侦矮揍窥滦钒址据峪林屡店夕媳葛所帧喂枚苹住庸墒翘定蔬暂庇史靳盏哇懈氟漏颠刊扑尿道驴艾发袄侄枪盂鹃汉僚狠爪铡婚藏膘场泌粉