立体几何大题训练及答案.doc

A
B
C
D
E
F
P
M
.
.

1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，
（1）线段的中点为，线段的中点为，
求证：；
（2）求直线与平面所成角的正切值.

解：（1）取的中点为，连,,则,
面//面, ………………………5分
(2)先证出面， ………………………8分
为直线与平面所成角， ………………………11分
………………………14分

A
B
C
D
E
O

2、己知多面体ABCDE中，DE平面ACD，，AC=AD=CD=DE=2，AB =1，O为CD的中点.
(1)求证：AO平面CDE；
(2)求直线BD与平面CBE所成角的正弦值

3、如图，在△中，，，点在上，交于，交于．沿将△翻折成△，使平面平面；沿将△翻折成△，使平面平面．
（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的平面角的正切值．

解：（1）因为，平面，所以平面．
因为平面平面，且，所以平面． …2分
同理，平面，所以，从而平面． …4分
所以平面平面，从而平面． …6分
（2）因为，，
所以，，，． …8分
过E作，垂足为M，连结．
（第20题）

由（1）知，可得，
所以，所以．
所以即为所求二面角的平面角，可记为． …12分
在Rt△中，求得，
所以． …15分

A
B
C
D
E
P
M
4、如图，平面ABC，平面BCD，DE=DA=AB=AC.，M为BC中点.
(1)求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；
(2)P为线段DM上一点，且DM，求证：AP//DE.

解：(1) 平面，为在平面上的射影，
为与平面所成角． ……………………2分

平面，，
设，又，．
在△中，，，
又为中点，，
，．…5分
在△中，，
． ………………………7分
（2），为中点，．又平面，
，平面． ……………………9分
又平面，， ……………………11分
又，平面． ……………………13分
又平面，． ……………………14分
5、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，．

F
E
D
C
B
A
（1）证明：BD⊥EF；
（2）若AF＝1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值
为，求的值．

解：（1）连结BD、AC，交点为Ｏ．∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ……2分
∵AF⊥平面ABCD ∴AF⊥BD ……4分
∴BD⊥平面ACEF 　……6分
∴BD⊥EF ……7分

（2）连结OE，由（1）知，BD⊥平面ACEF，
所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角． 　　　　 ……10分
∵AF⊥平面ABCD，CE∥AF ，∴CE⊥平面ABCD，CE⊥BC，
∵BC =1，AF＝1，则CE＝，BE＝，BO＝，
∴Rt△BEO中， ， …13分
因为，解得．　　　　　　　　　　　 　……15分

6、A
B
C
D
E
A1
C1
如图，在几何体中，平面ABC，
分别是的中点.
(1)求证：平面CDE；
(2)求二面角的平面角的正切值.

解：（1）连接ACR1R交EC于点F，由题意知四边形ACCR1RE是矩形，则F是ACR1R的中点，
连接DF，∵D是AB的中点，∴DF是△ABCR1R的中位线，
∴ BCR1R//DF， 4分
∵ BCR1R平面EDC，DF平面EDC，
∴BCR1R//平面CDE. 7分

(2) 作AH⊥直线CD，垂足为H，连接HE，
∵ AAR1R⊥平面ABC，∴ AAR1R⊥DC，
∴ CD⊥平面AHE，
∴ CD⊥EH，
∴ AHE是二面角E – CD – A的平面角. 11分
∵ D是AB的中点，
∴ AH等于点B到CD的距离，
在△BCD中，求得：AH＝，
在△AEH中，
即所求二面角的正切值为.

7、如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且,
Q
P
A
B
C
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.

解：（1）证明：过点作于点，
∵平面⊥平面，∴平面……2分
又∵⊥平面
∴∥, ………………2分
又∵平面
∴∥平面 ………………6分

（2）∵平面
∴，又∵
∴ ∴ ………………8分
∴点是的中点，连结，则
∴平面 ∴∥，
∴四边形是矩形 ………………10分
设
得：，
又∵，∴，
从而，过作于点，则：
∴是与平面所成角 ………………………………………………12分
∴，

∴与平面所成角的正弦值为…………………………14分

A
B
C
A1
B1
C1
D
E
8、如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D，E分别为CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心.
(1)求证：DE//平面ACB；
(2)求A1B与平面ABD所成角的正弦值.

A
B
C
A1
B1
C1
D
9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°,
D为棱BB1的中点。
（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；
（2）若，求二面角A—A1D—C的大小。

P
A
B
C
D
M
10、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD， AB//CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．
（1）证明：MC//平面PAD；
（2）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．

A
B
C
D
E
F
G
E
F
C
D
G
P
11、如图在梯形中，，、是线段上的两点，且,，,为的中点,设，现将分别沿折起，使、两点重合于点，得到多面体.
（1）求证：平面；
（2）当面时,求与平面
所成角的正切值.

（1）证明：连接交于点，连接
为中点 又
平面———5分
（2）当面时, 又为的中点，
，—————7分
过点在平面中作的垂线，垂足为N，连接.
面 面面 面
即为与平面所成角.——————11分
易求得,所以与平面所成角的正切值为.——14分

12、如图，在四边形中，，，点为线段上的一点.现将沿线段翻折到，使得平面平面，连接，.
(1)证明：平面；
B
A
C
D
E
P

(2)若，且点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

解：(1)连接，交于点,在四边形中，
∵，
∴，∴,∴
又∵平面平面，且平面平面=
∴平面………… 6分
(2)如图，过点作的垂线，垂足为，连接，

并取中点，连接，
∵平面平面，且平面平面=，
∴平面，∴即为直线与平面的所成角，
由(Ⅰ)可知，，且，，
又，，设，则有
，
又∵为的中点，在中，，
由勾股定理得，，解得，
∴，
∴直线与平面的所成角的正弦值即.

13、在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=AA1 =2，平面ABC1⊥平面AA1C1C，∠AA1C1=∠BAC1=60°，设AC1与AC相交于点O，如图．
A
B
C
A1
B1
C1
O
（1）求证：BO⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角B1—AC1—A1的大小。

14、如图1，四面体PABC中，BC=BP=1，AC=AP=，AB=2，将沿直线AB翻折至，使点在同一平面内(如图2)，点M为PC中点.
P
P
P1
A
A
B
B
C
C
M
(1)求证：直线平面MAB；
(2) 求证：；
(3)求直线PA与平面P1PC所成角的大小.

答案：（3）、