4球和立体几何中与创新问题.doc
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1、 .球和立体几何中的创新问题【知识要点】1球定义:半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做球。2截面性质:球的截面都是圆,其中恰好经过球心的半径最大,叫做大圆。可类比圆被直线所截的有关问题。3球的表面积、体积公式:S=4R2,V=R34. 球中的切接问题:可以正方体,长方体,正四面体为例做推导。*5球面距离:球面上两点的大圆劣弧长,是球面上两点间的最短距离*6地球仪中的经纬度:纬度为线面角,经度为二面角【实战训练】【球的问题】1. 64个直径都为的球,记它们的体积之和为,表面积之和为;一个直径为的球,记其体积为,表面积为,则( C )(A) (B) (C) (D) 2.球的面
2、积膨胀为原来的两倍,膨胀后的球的体积变为原来的( C )倍。 (A) (B)2 (C) (D)4 3在球面上有四个点P,A,B,C,且满足PA=PB=PC=,PA,PB,PC两两垂直,则球的表面积为_;体积为_()4自球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC,球的半径为R,则 ( A ) (A) (B)3R (C)2R (D)5. 两球的表面积之差为,它们的大圆周长之和为,则这两球的直径之差为( D ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6半径为4的球面上有A,B,C,D四点,且满足,则的最大值为(为三角形的面积)_327与棱长为的正方体各条棱都相切的球的直径为_8正四面体的内
3、切球半径与其外接球半径的比为_9球的外切正四面体的高是球的直径的_倍210半径为R的球的内接正四面体的高为_11正四面体的棱长为1,球O与正四面体的各棱均相切,且O在正四面体的内部,则球O的表面积为_12将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( C )A B C D13在一个大空心球的内部装有四个半径为1的实心球,那么这个大球的表面积至少是( A )A B C D14三个半径为R的小球两两相切放在水平桌面上,又一个半径为r的小球同时与这三个小球相切,且和桌面也相切,则R:r为( D )A B C D17已知球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半
4、径的一半,且AC=BC=6,AB=4,则球的半径等于_;球的表面积等于_;球的体积等于_()18正四棱锥PABCD的底面边长为2,侧棱长为,且它的五个顶点都在同一球面上,则此球的半径为_19在北纬60o圈上有A,B两地,它们经度相差180o,则A,B两地沿纬度圈的弧长与A,B两地的球面距离之比是_ 3:220设地球的半径为R,若甲地位于北纬45o,东经120o,乙地位于南纬75o,东经120o,则甲、乙两地的球面距离为( D )A B C D21球面上有三点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这三个点的小圆的周长为,那么这个球的半径为_22已知球O的半径为1,A,B,C三点都在球面上
5、,且每两点间的球面距离为,则球心O到平面ABC距离为_23半径为1的球面上有A,B,C三点,已知A和B,A和C之间的球面距离均为,B和C之间的球面距离为,则A,B,C三点的截面到球心的距离是 _ 24.如图,在斜三棱柱中, ,侧面与底面ABC所成的二面角为,E、F分别是棱的中点()求与底面ABC所成的角()证明平面()求经过四点的球的体积。()解:过A1作A1H平面ABC,垂足为H. 连结AH,并延长交BC于G,连结EG,于是A1AH为A1A与底面ABC所成的角.A1AB=A1AC, AG为BAC的平分线.又AB=AC, AGBC,且G为BC的中点因此,由三垂线定理,A1ABC.A1A/B1B
6、,且EG/B1B, EGBC 于是AGE为二面角ABCE的平面角,即AGE=120由于四边形A1AGE为平行四边形,得A1AG=60,所以,A1A与底面ABC所成的角为60, ()证明:设EG与B1C的交点为P,则点P为EG的中点,连结PF.在平行四边形AGEA1中,因F为A1A的中点,故A1E/FP.而FP平面B1FC,A1E/平面B1FC,所以A1E/平面B1FC. ()解:连结A1C,在A1AC和A1AB中,由于AC=AB,A1AC=A1AB,A1A=A1A,则A1ACA1AB,故A1C=A1B,由已知得 A1A=A1B=A1C=a.又A1H平面ABC, H为ABC的外心.设所求球的球心
7、为O,则OA1H,且球心O与A1A中点的连线OFA1A.在RtA1FO中, 故所求球的半径,球的体积 .【创新问题】1.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. B. C. D. 答案 C2. (2008海南、宁夏理)某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为( )A B C D答案 C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为,由题意得,所以,当且仅当时取等号。3.(2008海南、宁夏文)一个六棱柱的底面是正六边形
8、,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为,底面周长为3,那么这个球的体积为_答案 【解析】正六边形周长为,得边长为,故其主对角线为,从而球的直径 球的体积.4. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案 5. 在正四棱柱中,顶点到对角线和到平面的距离分别为和,则下列命题中正确的是( C ) A若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为(0,1) B若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为 C若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为 D若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为6.如图,在直
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