(文章)导数的几何意义在解题中的应用.doc
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4、值【思路点拨】首先由“斜率的最小值为-1”求出解析式,再根据切线方程的求法列方程,求出k的值【解】(1)3(x-1)2+a-3切线斜率的最小值为(1)=a-3=-1,a=2,(2)(x)=3x2-6x+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为(1)-1,切线方程为y=-1(x-1)+13-312+21,即y=-x+1.(3)y=x3-3x2+2x, =3x2-6x2直线和曲线均过原点,当原点是切点时,切线斜率k=2,当原点不是切点时,设切点为P(x0,y0),其中x00,则切线的斜率k=综上所述,k=2或 (1)一是该点的导数值等于切线的斜率;二是该点坐标满足已知曲线的方程(2某点不在曲线
5、上求过此点的切线问题时,先设出切点坐标,利用导数几何意义表示出切线方程,把已知点代入切线方程,得所求方程(3)不确定曲线上的点(x0,f(x0)是否为切点时,分(x0,f(x0) 是切点和不是切点进行讨论例2已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线的方程及a的值.由直线与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线与函数g(x)的图象相切,所以与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过=0,求出a的值.【解】
6、由f(x)|x=1=1,知kl=1,切点为(1,f(1),即(1,0),所以直线的方程为y=x-1. 直线与y=g(x)的图象相切,等价于方程组只有一解,即方程x2-x+(1+a)=0有两个相等的实根, =1-4(1+a)=0.a=-.合理构造函数方可尽情发挥导数解题功效一.抓住问题的实质,化简函数例1、已知是二次函数,不等式的解集是,且在区间上的最大值. (1)求的解析式;(2)是否存在自然数,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由。解:(1) (2)假设满足要求的实数存在,则,即有: ,即有:此时,须构造函数 画图分析:进而检验,知,所以存在实
7、数使得在区间内有且只有两个不等的实数根。点评:本题关键是构造了函数,舍弃了原函数中分母问题得到了简化。二.抓住常规基本函数,利用函数草图分析问题:例2.已知函数的图像在点处的切线方程为设(1) 求证:当时,恒成立;(2) 试讨论关于的方程根的个数。解证:(1) (2)方程从而 因为所以方程可变为 令,得: 当时,在上为增函数;当时,在上为减函数;当时, 又所以函数在同一坐标系的大致图像如图所示 当即时,方程无解; 当即时,方程一解; 当即时,方程有2个根。点评:一次函数,二次函数,指对数函数,幂函数,简单的分式根式函数,绝对值函数的图象力求清晰准确,一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体,如
8、果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口,使问题简单化明确化。三.复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则,抓住函数的复合过程能够逐层分解。例3.已知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增。(1)求实数的值;(2)若关于的方程有3个不同的实数解,求实数的取值范围;(3)若函数的图像与坐标轴无交点,求实数的取值范围。解:(1)利用 得: (2)因为 得 列表得因此有极大值极小值作出的示意图,如图:因为关于的方程有3个不同的实数解,令即关于的方程在上有3个不同的实数解,所以的图像与直线在上有3个不同的交点。而的图像与的图像一致。即(3)函数的图像与坐标轴无交点,可以分以下2种情况:当函数的图像与
9、轴无交点时,则必须有无解,而函数的值域为所以解得当函数的图像与轴无交点时,则必须有不存在,即或,有意义,所以,解得. 由函数存在,可知有解,解得,故实数的取值范围为点评:复合函数尤其是两次复合,一定要好好掌握,构造两种函数逐层分解研究,化繁为简,导数仍然是主要工具。聚焦导数中的逆向题一、逆用导数的定义例1 设yf(x)在xx0处可导,且2,则等于( )(A) (B) 2 (C) (D) 2解:2,故选(B)点评:本题逆用导数的定义,即2,本题中xh二、逆用差的导数法则 例2 设f(x),g(x)是定义在(0,+)上的函数,且,设ab0,则下列各式正确的是( ) (A) (B) (C) f(a)
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