立体几何怪难题-理科.doc
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1、实用文案 立体几何提升训练【例1】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,垂直于底面,分别为的中点。 (1)求证:;(2)求与平面所成的角;(3)求截面的面积。解:(1)证明:因为是的中点, 所以。 由底面,得, 又,即, 平面,所以 , 平面, 。(2)连结, 因为平面,即平面,所以是与平面所成的角, 在中,在中,故,在中, ,又,故与平面所成的角是。 (3)由分别为的中点,得,且,又,故,由(1)得平面,又平面,故,四边形是直角梯形,在中, 截面的面积。(1)以点为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示(图略)由,得,因为 ,所以。(2)因为 所以,又 ,故平面,即是平面的法向量。设与平面所成的角
2、为,又。则,又,故,即与平面所成的角是。 因此与平面所成的角为,【例2】如图,已知是底面为正方形的长方体,点是上的动点(1)试判断不论点在上的任何位置,是否都有平面垂直于平面并证明你的结论;(2)当为的中点时,求异面直线与所成角的余弦值;(3)求与平面所成角的正切值的最大值解:(1)不论点在上的任何位置,都有平面垂直于平面.证明如下:由题意知, 又 平面 又平面 平面平面(2)解法一:过点P作,垂足为,连结(如图),则,是异面直线与所成的角在中 , , 又在中, 异面异面直线与所成角的余弦值为解法二:以为原点,所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示,则,异面异面直线与所成角的余弦值为(3)由
3、(1)知,平面,是与平面所成的角,且当最小时,最大,这时,由得,即与平面所成角的正切值的最大值【例3】已知平面,与交于点,(1)取中点,求证:平面。(2)求二面角的余弦值。解法1:(1)联结,AC=AC,为中点,为中点, 平面(2)联结,在等边三角形中,中线,又底面, , 平面平面。过作于,则平面,取中点,联结、,则等腰三角形中,平面,是二面角的平面角等腰直角三角形中,等边三角形中,Rt中,. 二面角的余弦值为。 解法2:以分别为轴,为原点,建立如图所示空间直角坐标系, ,是等边三角形,且是中点,则、(1) ,平面(2)设平面的法向量分别为,.则的夹角的补角就是二面角的平面角;,由及得,二面角
4、的余弦值为。【例4】如图,已知AB平面ACD,DE/AB,ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点。 (I)求证:AF/平面BCE; (II)求证:平面BCE平面CDE; (III)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。【解】(I)解:取CE中点P,连结FP、BP,F为CD的中点,FP/DE,且FP= 又AB/DE,且AB=AB/FP,且AB=FP, ABPF为平行四边形,AF/BP。又AF平面BCE,BP平面BCE, AF/平面BCE。 (II)ACD为正三角形,AFCD。AB平面ACD,DE/AB,DE平面ACD,又AF平面ACD,DEAF。又AFCD,CDDE=D,A
5、F平面CDE。 又BP/AF,BP平面CDE。又BP平面BCE,平面BCE平面CDE。 (III)由(II),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图),建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2,则C(0,1,0),显然,为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为,即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45。【例5】如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD, ABCD,AD=CD=2AB=2,E,F分别是PC,CD的中点()证明:CD平面BEF;()设,求k的值.解:()证明: PA平面ABCD,ADCD. CD平面BEF ()连结AC且交BF于H
6、,可知H是AC中点,连结EH,由E是PC中点,得EHPA, PA平面ABCD. 得EH平面ABCD,且EH. 作HMBD于M,连结EM,由三垂线定理可得EMBD.故EMH为二面角EBDF的平面角,故EMH=600. RtHBMRtDBF, 故. 得, 得 .在RtEHM中, 得 解法2:()证明,以A为原点,建立如图空间直角坐标系.则,设PA = k,则, 得有 () . 设平面BDE的一个法向量,则 得 取由 得【例6】如图,在棱长都相等的四面体ABCD中,点E是棱AD的中点, (1)设侧面ABC与底面BCD所成角为,求tan. (2)设CE与底面BCD所成角为,求cos. (3)在直线BC
7、上是否存在着点F,使直线AF与CE所成角为90,若存在,试确定F点位置;若不存在,说明理由。答案:解:(1)连AF、DF,由ABC及BDC是正三角形,F为BC中点,得AFBC,DFBC,AF=DF AFD为二面角A-BC-D的平面角 设棱长为a,在ABC中,AF=,DF= 在AFD中, (2)法一:BC面ADF,BC面BCD AEBCDyOxz面ADF面BCD在面ADF中,过E作EGDF,则EG面BCD,连CG,则ECG=又AF=DF,E为AD中点,故EFAD在RtDEF中,EF=DE=,由得在RtCEG中, 法二:设AO面BCD于O,则O为等边三角形,BCD为中心,设BC中点为M,CD中点为
8、N,以O为坐标原点,OM所在直线为x轴,ON所在直线为y轴,OA所在直线为y轴建立直角坐标系0-xyz,设棱长为2a,则0(0,0,0),A(0,0,a),C(a,a,0),D(-a,0,0),E(-a,0,a) 0,0,a,(-a,-a,a)cos=CE与面BCD所成角的余弦值为cos= sin=(3)法一:设F(a,y,0),则 又 ,y=-2a F(a,-2a,0),即F在CB处长线上,且FB=BC 法二:设,B、C、F三点共线, 又 F在CB延长线上,且FB=BC【例7】如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,若、分别为线段、的中点(1) 求证:直线/ 平面;(2) 求证
9、:平面平面; (3) 求二面角的正切值.(1)证明:连结,在中/且平面,平面(2)证明:因为面面平面面所以,平面 又,所以是等腰直角三角形,且即,且、面面又面面面(3)解:设的中点为,连结,则由()知面,面是二面角的平面角中,故所求二面角的正切为 另解:如图,取的中点, 连结,., .侧面底面, ,而分别为的中点,又是正方形,故.,.以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,则有,.为的中点, .(1)易知平面的法向量为而,且, /平面.(2), ,从而,又,而, 平面平面(3)由(2)知平面的法向量为.设平面的法向量为.,由可得,令,则,故,即二面角的余弦值为,二面角的正切值为.【例8】如图,在
10、梯形中,。MFECDBA,平面平面,四边形是矩形,点在线段上.。(1)求证:平面;。(2)当为何值时,平面?证明你的结论;(3)求二面角的平面角的余弦值.()在梯形中,四边形是等腰梯形,且 2分又平面平面,交线为,平面 4分()解法一、当时,平面, 5分在梯形中,设,连接,则 6分,而, 7分,四边形是平行四边形, 8分又平面,平面平面 9分解法二:当时,平面,由()知,以点为原点,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系, 5分xDyzCOFBAE则,平面,平面与、共面,也等价于存在实数、,使, 设.,又,从而要使得:成立,需,解得 当时,平面()解法一、取中点,中点,连结,平面又,又,是二面角
11、的平面角.在中,. 又.在中,由余弦定理得, xDyzCOFBAE即二面角的平面角的余弦值为.解法二:由()知,以点为原点,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则,,过作,垂足为. 令, 由得,即 ,二面角的大小就是向量与向量所夹的角. 即二面角的平面角的余弦值为. 【例9】ABDCEF如图,已知中,平面,、分别是、上的动点,且(1)求证:不论为何值,总有平面平面;(2)若平面与平面所成的二面角的大小为,求的值。解法一:(向量法):ABDCEFMNxyz过点作 平面平面 又在中,如图,以为原点,建立空间直角坐标系又在中, 又在中, 则 (1)证明: 又 平面 又在中,、分别是、上的动点, 且
12、不论为何值,都有 平面 又平面不论为何值,总有平面平面(2),,,又, ,设是平面的法向量,则 又,,=(0,1,0), 令得 , 是平面的法向量,平面与平面所成的二面角为, ,或(不合题意,舍去),故当平面与平面所成的二面角的大小为时解法二:, , 设E(a,b,c),则,a=1+,b=0,c=, E(1+,0, ),)。 其余同解法一(2)解法三:设是平面的法向量,则, 又在中, 又在中, 又,且 又 令得 其余同解法一【例10】如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)被平面DEF所截而得AB=2,BD=1,CE=3,AF=,O为AB的中点(I)当时,求证
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