立体几何大题练习题答案.doc

立体几何大题专练
1、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；
(1)求证：MN//平面PAD
(2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD

2（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，分别为的中点．
P
A
C
E
B
F
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，且，，
求证：平面平面．

（1）证明：连结, 、分别为、的中点，
. ……………………2分
又平面，平面，
EF∥平面PAB. ……………………5分
（2），为的中点，
……………………6分
又平面平面
面……………………8分
……………………9分
又因为为的中点，

……………………10分

面……………………11分
又面
面面……………………12分
3. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证：BC1//平面CA1D；
（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。

4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是
　　AB、PC的中点．
　　(1) 求证：EF∥平面PAD；
　　(2) 求证：EF⊥CD；
　　(3) 若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

5．（本小题满分12分）
如图，的中点．
（1）求证：；（2）求证：；

6.如图，正方形所在的平面与三角形ＡDＥ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD　　　　　　　　　　　　设线段BC、的中点分别为F、，求证：（1）∥；
（2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．

（1）证明：取AD的中点N,连结FN,MN,则MN∥ED，FN∥CD
∴平面FMN∥平面ECD.
∵ MF在平面FMN内,
∴ FM∥平面ECD ......5分
（2）连接EN, ∵AE=ED，N为AD的中点，
∴ EN⊥AD.
又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD.
作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD，
∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，
设AD=a,∵ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形，∴EN=a,NP=a.
∴tan∠EPN= . ......10分

7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为 cm的内接圆柱.
(1)试用表示圆柱的侧面积；
（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大.
19.（1） 解：设所求的圆柱的底面半径为
则有,即.
∴.......5分
（2）由（1）知当时，这个二次函数有最大值为
所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为......10分
8．（10分）
如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º.
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若，且平面⊥平面，求三棱锥体积.

解：
（1）因为是等边三角形，,
所以,可得。
如图，取中点，连结,,
则,,
所以平面,
所以 ......5分
（2）作，垂足为，连结．
因为，
所以，．
由已知，平面平面，故．　　　　　　　　
因为，所以都是等腰直角三角形。
由已知，得， 的面积．
因为平面，
所以三角锥的体积 ......10分
9.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明PB∥平面ACM；
(2)证明AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

解析：　(1)证明：如图，连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．

又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.
(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
(3)如图，取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，
DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
10（本小题满分12分）
如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，，，点是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（II）求证：平面；
（III）求三棱锥 的体积．
证明：（Ⅰ）在△ABC中，∵，，，
∴△ABC为直角三角形，∴， ……………1分
又∵平面ABC，∴，， ……………2分
∴平面，∴． ……………4分
（II）设与交于点E，则E为的中点，连结DE， ……………5分
则在△中，，又， ……………7分
∴平面． ……………8分
（III）在△ABC中，过C作，F为垂足，∵平面平面ABC，
∴平面，而， ……………9分
∵， ……………10分
而， ……………11分
∴． ……………12分

11.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点
求下：（Ⅰ）直线EF//平面PCD；
（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD.

12. （本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点F。
（I）求证：平面；
（II）求证：平面；
（III）求二面角的大小。

13．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，
（1）求二面角的度数
（2）若是侧棱的中点，求异面直线与所成角的正切值

14．（本小题满分12分）
若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC。
（1）求证：BE//平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB；

（1） 证明：EC∥PD∴EC∥面PAD；同理BC∥面PAD；∴面BEC∥面PAD；∴BE∥面PAD
（2） 证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，CO⊥BD；又∵CO⊥PD; ∴CO⊥面PBD。

15．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDE中，底面为等腰直角三角形，且，侧面BCDE是菱形，O点是BC的中点，EO平面ABC。
（1）求异直线AC和BE所成角的大小；
（2）求平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值。