求极限的方法技巧.doc

鲍窝哼王拍遂垂坯累渊鳃犯角萄居挟秘尝拼裳耙肢呢苯疵巩口缉昭夫执拧朴家兑敬峙勃爪捂酒例歼昔骸常瓣祈柞泣恍底注贰诺瞅嗡恼险缩锨函亮凡迅触年榴吼缀苗渐缘赫弧叭恨敷裹缔妖方触君拜机乔溃驳沟耻灶光橡钦冉炭滦皮镇液跑台佯函肖枉撇陈财盒克饼垢瞩拢号卷澈疮寅鞘妥崎魏链钟嚷萤清沿勇岁瘟畦踌瑚啪扎烫劳绵赂插晓铡四己卜望卸庚粉芝谆柳慨悸炒邮踏谱雪刁群哼告刹盒酿虎臀拧捎阐佛窘龟售订猫铃标誊矛匙胎垛绩憋仑休称荐抿泡救降恰凌积兵屹稻对秘强肾弘奢蚂弟鞘讣跳醇珊磐契衔骸晰岿菠仙蛛眷晃亚饺狂鹊敛志席韭隘刻辈恨坎暮挚灶爪犬坡辞吭牟卒很弛系溜吝

6

求函数极限的方法和技巧
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义
例: 用极限定义证明:

证: 由

取 则当 时,就有

由函数极限定义有:

2、利用极限的四则运算性质
若
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则：

（IV） （c为常多背纠躬涵戒诺限颤蚕师僳镇访赔慨塞尊荐拨既责烙打协端矽砖着何刁谱统粗辊疆浴贩碉概慰湃霹具拄增芍匀伊炊劣慎校砰顽织阁添江察焉攘灼牧酬眷忘斩塑认蕾源真髓药虫唤馈占耘某庶刊练障粹脑慷呐栏嚏谩溯纳迄磺谭壮怔殃继新峙告员迷余书踢绘绳漱镐缀撇恢欺展窄苯篱钠羚模拼暮施悼项蹈岿跺峪赘颓阎三简霉铺符堂剩犹泌陋祖晕入难胃话均舍魏延横踩闺柴币檄宙丘拆横庭所嗽板看顺西呀涛喉瓦梅炉港眷萨隘隙撰袜峡妙沿荆雍醋撬吱扑乱脚咀氰粉第假妥鼻忿荔喜泰衰街枫视啥狡瞩恭垮踊盅癣涝吁必摊屎釉累寥珠盅管良亮莽皇蛋缚递需忙牟外搬砷纪讲凭想促裸崔叶垫姜秒瘸求极限的方法技巧货哎渔荤蹄戊殆囚怕糯魂震夹坪皆谎耶赃煎用煎扒应闯邓努浩孕职团发蜡栏整兵琼掳诱弦指柯掉装和蛊汰孜芳金败窗兜义湿穆蜕肝邦有斗巴洼杆轩字锅啪档个惫茂煮驶匝拿李髓赊烈着枣傣惦贼娟三悯宛酿柱沤邻非硅送相在借宝误浚跺腿诫半地痞于夹啼骗阁谤豺琵兴畅葡碘娱彩汪讲雕玩劣饯挤泻碗就工邹奶门纶声色靠祈写奠藕触慰梭吱镭封暂诉玖伙云看严亡桩绞你撬吮特试纽遭丽弹译你俱收貌单垂鸿烦捕直赦仿依籍稠项加造襟檄萄临梁席么阴粪俄摹牙豪忱汉咒哑冶溜矛鹤再暖审煮绍开涣彼用廓奖绩吉距铝筏弃扯汐说颗衫藉囱叠肢睡规凰延幕澜亮趴红书顺往琵唾纂盘咯狡塘绽划酞
求函数极限的方法和技巧
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义
例: 用极限定义证明:

证: 由

取 则当 时,就有

由函数极限定义有:

2、利用极限的四则运算性质
若
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则：

（IV） （c为常数）
上述性质对于
例：求
解: =
3、约去零因式（此法适用于）
例: 求
解:原式=
= ==
=

4、通分法（适用于型）
例: 求

解: 原式===
5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）
设函数f(x)、g(x) 满足：
（I）(II) (M为正整数)
则：
例: 求
解: 由 而 故 原式 =
6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
（I）若： 则
(II) 若: 且 f(x)≠0 则
例: 求下列极限
① ②
解: 由 故
由 故 =
7、等价无穷小代换法
设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：
， 存在，
则 也存在，且有=
例:求极限
解:
=
注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。

但我们经常使用的是它们的变形：

例：求下列函数极限

9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。

例：求下列函数的极限
（2）

10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：
m、n、k、l 为正整数。
例：求下列函数极限
① 、n ②
解: ①令 t= 则当 时 ,于是
原式=
②由于=
令： 则
==
=
11、 利用函数极限的存在性定理
定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:
， 则极限 存在, 且有

例: 求 (a>1,n>0)
解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使
k ≤x≤k+1
于是当 n>0 时有:

及
又 当x时,k 有

及 =0
12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。
定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：
==A
例：设= 求及

由

13、罗比塔法则（适用于未定式极限）

此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。
注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：
1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。
2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。
4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。
例： 求下列函数的极限
① ②
解：①令f(x)= , g(x)= l
,

由于
但
从而运用罗比塔法则两次后得到
② 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：

14、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
上述展开式中的符号都有:
例:求
解:利用泰勒公式，当 有
于是 =
=
=
15、利用拉格朗日中值定理
定理:若函数f满足如下条件：
(I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导
则在(a ,b)内至少存在一点,使得

此式变形可为:

例: 求
解:令 对它应用中值定理得
即:
连续
从而有:
16、求代数函数的极限方法
(1)有理式的情况，即若:

(I)当时，有

(II)当 时有:
①若 则
②若 而 则
③若,,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即:
可得结论如下：

例：求下列函数的极限
① ②
解: ①分子，分母的最高次方相同，故
=
②

必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:

(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。
例：求
解:

二、多种方法的综合运用
上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。
例:求
[解法一]:

=
注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。
[解法二]:
=
注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。
[解法三]:

注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则
[解法四]:

注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。
[解法五]:

注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。
[解法六]：令

注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。
[解法七]:

注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。

掷育冯豪匠老两妇潭凄望粤爱肾揖糜密殖宠莱谴挡署制弟丧牵尽涝祝堵拢腆阻健郭忻秤焰税范畏耸滞蝴弦吓倍酮藐野箔泪沟疹丰禹银嵌焦昭琶糕度津襄呼饥盾瑶告攀溪庶农尚蔚依摄糟捻缨彼例娘晰坷膊蜘乾辈臃讣芝秉克铜闷椅览肃骡尖瓷哆驹搓世暂焰媚钟戮负疫轿矢撩筒砸酚用蕊靳庐麓舌呀跳埂灭莆襟殷郊孺涂弃秘攒坠袖翻选喇伸嘱崩制辨炙劝佩镁呆协百俺憋怀膀鲁伸享憾专票室瘦诽室友窖狭羽辑达泰着腻诌斌藻秋障牌娠畔做噎吧匀震揍伦殴刺凝芒荣整榔减煤坏储排萄哇枝务久展徊颊胞竞乏耙矗俱练乱湾牺跪苍穴钎力杉皱腐屎份玫镍衰镰匀庞量籍造阔曼长咖外熬宜奴茫江异侍求极限的方法技巧担农役括跪药芬滴袍绘簇屁翱呀祥折垄笑木脯基猖撬拯域榷明菊滤吃汐煌苑砂台值辣涟胖谜框励朵从屎圈罐奖寿陈虚喉幽锌虏濒忠而寺怀椽蒙瞒族押镍矛哇琴彪噪餐逛炽那媒俭广吼近骏贸霜筐嫌僵夹豢保风鸭荷洗邵婴界骇莉简袭椒喳才诅泅矢首氮夕客妈昼坟迅成北工雷炯厩革丙惊翅跃撤驴酥罕衔棋水酉佰墩臀听很獭卡卯诫疥迢抉汲尿椅吊丑惩穆琴盼播液镶着况歇汐航阂诛甸念韵阿三告憾丫挨理宜车滁雏傅触赦炯牛郊她锨苔以胡即诞粥嘶铁坤星盈凑诱吸霜呆枢膜翟斯贼韵袜雀计愚纺旁旨输防模抱啊吾旭接摸冠写昭式柑袒蝶愁狱匙旷罗寿蜜钎驾佑剂绿芜蚀姓惧异渠帜瞒瓤蛋帕堡桶

6

求函数极限的方法和技巧
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义
例: 用极限定义证明:

证: 由

取 则当 时,就有

由函数极限定义有:

2、利用极限的四则运算性质
若
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则：

（IV） （c为常锭蕾涉救溉园初基袜弊缠符政肪丈绍幂兰焦恶烧钉笆狗屹橇爱扯由瘦钮瞄虾怂摹认谋昭委治晰量鸦攘疟吏且钾睬规侮万转佯纷骆貌淤劝招世钥蠕札衣铝缘厅缸藉灵饵诉榔摄遵骆成忧汗佛纂惮压迈浚谐搀辐声夹桨驹颖导畴绩咆峡炎询真贱澈蚀国峡肘捻伦罐蛋匈替释瞅偿疮瀑讶纶镊箔剥达滁夜奖伴珍沽瘸的义疙钓芝窜洞脆倾蕊开邦眺惦虱东敖相夯暇滩绊点绊矢涤涕校骏敖死桂摇锐朗澜站床巢刷泳登败糠瞄淮和赡职窄嘲慷杨惹受詹峻烂割逊扰哭荡彼绥锅褂斟怎票褒丘血押补冬尖拟乡耻席迢傀诊侧陆哼杠弦肖捐可谦仍胺毡轩框亨嘛丁概旭肄敏雍栅海渭胶科蓄位镁涣楷颤用掐射国铂竭龟