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塑性力学中的本构关系【摘要】 塑性力学与弹性力学的主要区别就在于物理关系的不同。线弹性力学的物理关系是以广义虎克定律为基础的，由于它具有线性性质，在求解具体问题时使用起来非常方便。然而在塑性力学中，物理关系应包括屈服条件、塑性本构方程以及塑性强化条件；而且，塑性本构关系与塑性变形程度有关，它们的表达式是非线性的；由于理论类型繁多，各种理论与所使用的材料及材料的变形历史关系密切。到目前为止，塑性力学中的本构关系还很难用一个统一的理论来描述。关键词： 塑性 本构关系 屈服 强化1 关于本构方程对于塑性本构方程的研究是由开始的，他认为在塑性变形的过程中，应变增量的主轴和应力偏量的主轴应该是重合的。这个见解为塑性本构关系的建立奠定了基础，可以认为，增量理论和形变理论都是在这个前提下逐步发展起来的。从这个假设出发可以找到塑性本构关系的内在联系。关于稳定材料的公设以及塑性势概念的建立，则把屈服条件和塑性本构方程联系起来。1.1 两类本构方程及其联系理论认为，对于不可压缩材料，应变增量分量与应力偏量成比例，即 （1）由于理论中忽略了弹性应变，所以也可以认为理论的基本假设是塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例，即 （2） 在塑性力学中，上式是很重要的，它不仅在滑移线场理论和极限分析理论中得到了广泛的应用，而且由它可以导出其他几个理论的本构方程。当弹性应变与塑性应变相比不可忽略时，应将弹性应变与塑性应变同时考虑，从而建立理论，即 （3）式中： 研称为形状改变功的增量，在塑性变形过程中恒大于零。式(2)和(3)都是表示应变偏量增量与应力偏量之间的本构关系，因而统称为增量型的理论。这个理论能够反映变形历史对塑性变形的影响，因而能够更准确地描述塑性变形的规律。然而求解问题时比较复杂。由和 所发展起来的形变理论是塑性力学中又一种类型的物理方程，这类方程只能在比例加载的条件下使用，因此，可以认为形变理论是增量理论的特殊情况。在比例变形条件下，有 （4）式中将式(3)进行积分，并考虑式(4)，则得 则上式可化为熟知的物理方程，即 （5）式中 的小弹塑性变形理论实质上和理论是一致的，这个理论的关系式为： （6）在理论中有因此上式又可写成： （7）在比例变形的条件下，如果忽略弹性应变，上式亦可通过积分式(2)得到。由应力强度与八面体剪应力以及应变强与八面体剪应变之间的关系式并取对数八面体剪应变，则可以得到物理方程为： （8）当满足应变主轴与应力主轴重合的条件时，上式可以应用到大变形的情况。(1)考虑弹性应变增量时，可由理论的本构方程得到理论的本构方程。(2)在比例变形的条件下，由增量理论的本构方程进行积分便可以得到形变理论的本构方程。例如将方程进行积分便可得到方程；将方程在比例变形条件下进行积分并采用对数应变则可以得到物理方程；方程与方程的区别在于前者将弹性应变与塑性应变作为总应变反映在本构方程中，而后者则分别加以考虑。1.2 屈服条件与本构方程之间的联系 在讲述了两种类型的塑性本构方程后，我们还进一步介绍了屈服条件与本构方程之间的联系。根据关于稳定材料的公设，附加应力所作的功是非负的，由此可以导出塑性应变增量的向量与屈服曲面的法线方向是一致的，如将屈服曲面的外法线方向用屈服函数的梯度矢量来表示，则塑性应变增量的正交性可用下式： （9）上式中屈服函数起着塑性势函数的作用，只为未定的标量因子。如果取为屈服函数，则由式(9)可得：上式即为理论的本构方程。因为它与屈服函数相关联，因此将式(9)称为与屈服条件相关联的塑性流动法则。由此可见，将屈服函数作为塑性势时，由塑性流动法则可以得到理论的本构方程，并由此可以得到其它的几种本构方程，亦即屈服条件与本构方程具有非常密切的联系。2 关于屈服条件 屈服条件是塑性力学中的基本问题之一。正确地理解屈服条件的有关概念，对于分析和解决塑性力学问题是十分重要的。所以我们要注意了以下几个问题。1.建立基本概念，其中包括:(1)屈服条件是判别材料从弹性状态进入塑性状态的准则。(2)屈服条件的数学表达式称为屈服函数。(3)屈服条件在应力空间中所形成的几何曲面称为屈服曲面。对于理想塑性材料，这个曲面亦称为极限曲面。2.从物理解释上来理解和两个屈服条件。(1)屈服条件表明，当材料中最大剪应力达到一定值时，材料便进人屈服状态。(2)提出了应力强度的概念，并认为条件表示当应力强度等于材料单向拉伸的屈服极限时，材料便进人屈服状态。这个解释不仅概念明确，而且还将复杂应力状态与单向拉伸问题联系起来，为进一步研究问题带来很大方便。3.通过两种屈服条件在数学表达式、几何表示和使用条件等方面的对比，加深对屈服条件的认识。通过这些分析和对比，可以使初学者建立起关于屈服条件的基本概念。但是，屈服条件应该建立在实验的基础上，通过介绍；和的实验说明确实存在着决定材料是否进人了屈服状态的初始屈服条件。对于软钢、铜、镍等金属材料，其实验结果与屈服条件符合得更好些，但是，不能得出条件一定都比条件精确的结论，因为对有些材料，屈服条件可能符合得更好些。3 关于强化条件关于材料强化问题的研究是现代塑性力学中的重要课题，也是难题之一。由于问题的复杂性，我们着重按单向拉压曲线说明各向同性强化及随动强化模型的概念。各向同性强化模型的数学表达式为： （10）随动强化模型的数学表达式为： （11）在理想塑性材料情况时，式(10)及(11)中的和相应为零。在各向同性强化模型中，只有当塑性变形较小时或只按一个方向屈服时，所得结果才是近似正确的。可以将式(10)和(11)推广到复杂应力空间中去。在这种情况下，各向同性强化模型表示加载面围绕应力空间原点均匀扩张，并保持和初始屈服面同样的形状。由于产生塑性变形后大多数材料都将产生各向异性的性质，因此所建议的随动强化模型更能反映塑性变形的实际情况。随动强化模型假设在塑性变形过程中屈服曲面在应力空间中作刚性移动，移动时保持屈服面的大小、形状和方位。它可以反映效应。还提出了一种将随动强化模型和各向同性强化相结合的模型，即假设加载面不仅移动，而且还按各向同性强化规律扩张或收缩。在六十年代初曾利用铝合金进行了拉扭联合作用下的月服曲面变化规律的实验。实验结果表明:在加载过程中，屈服面具有很强烈的移动。从这一点看，可以认为实验比较符合随动强化模型的假设。然而随着屈服曲面的移动，屈服曲面所包括的面积也愈来愈小，因而正确地描述材料的强化条件是个非常困难的工作。4 结束语以屈服函数存在为前提的塑性本构关系是以实验作为理论依据的。对于初始各向同性的理想弹塑性体，屈服曲面不随塑性变形的增加而变化，即没有效应的影响。虽然这种理想弹塑性体模型的假设具有某种近似的性质，但它对于相当一部分韧性材料是一个很好的近似，数学上的处理也比较简便。这部分内容是塑性力学中发展得比较成熟的部分。用这种材料模型所能获得的塑性力学中边值问题解析解的情况，与弹性力学所能得到解析解的情况大体上是相当的。将这部分内容作为课程要求的重点，掌握和理解求解问题的思路和方法，便能正确地处理实际工作中所遇到的大量课题。我们还注意到，关子研究塑性理论的基本出发点，概括起来讲有三种，即(l)结晶学或位错理论的观点。(2)基于不可逆过程的热力学的观点。(3)连续体力学的观点。第一种观点是由物理学方面进行研究；第二种观点则是期望在热力学方面从根本上重新认识塑性力学的本构关系；第三种观点是从数学和物理结合上研究塑性力学的本构关系。到目前为止，以屈服函数存在为前提的宏观塑性力学在实际中得到了广泛的应用和发展。参考文献：1徐秉业、陈森灿编著,塑性理论简明教程,清华大学出版社,1981.2秦荣.塑性力学中的新理论新方法.广西科学,1994,1(1):1822. 3陈惠发(美).极限分析与土体塑性M.北京:人民交通出版社,1995.4郑颖人,陈瑜瑶,段建立.广义塑性力学讲座(3)广义塑性力学的加卸载准则与土的本 构模型J.岩土力学,2000,21(4):426-429.5杨光华.土的本构模型的数学理论及其应用:博士学位论文D.北京:清华大学水电 系,1999.