第三章-线性系统的时域分析法知识交流.doc

第三章 线性系统的时域分析法
一、教学目的与要求：
对本章的讲授任务很重，要使学生通过本章的学习建立起分析系统特性的概念及方法，围绕控制系统要解决的三大问题，怎样从动态性能、稳态性能及稳定性三方面衡量控制系统，要求学生掌握一阶、二阶系统的典型输入信号响应，参数变化对系统性能的影响，尤其是二阶系统参数与特征根的关系，系统稳定性的概念与判据方法，精度问题，即稳态误差的分析与求法。
二、授课主要内容：
本章着重讨论标准二阶系统的阶跃响应，明确系统的特征参数与性能指标的关系。通过对系统阶跃响应的分析，明确系统稳定的充要条件，掌握时域判稳方法。
1．系统时间响应的性能指标
1） 典型输入信号
2） 动态过程与稳态过程
3） 动态性能与稳态性能
2． 一阶系统的时域分析
3． 二阶系统的时域分析
1） 二阶系统数学模型的标准形式
2） 二阶系统的瞬态响应和稳态响应
3） 系统参数与特征根及瞬态响应的关系
4．高阶系统的时域分析
1）高阶系统的单位阶跃响应
2）闭环主导极点
5． 性系统的稳定性分析
1） 系统稳定的充分必要条件
2） 劳斯—赫尔维茨稳定判据
6．线性系统的稳态误差计算
1）误差与稳态误差
2）系统类型与静态误差系数
（详细内容见讲稿）
三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）
重点：二阶系统的特点，劳斯稳定判据，稳态误差。
难点： 二阶系统阶跃响应与特征根及参数ζ和ωｎ的关系。
要求：
1. 掌握一阶系统对典型试验信号的输出响应的推导，理解系统参数T和K的物理意义。
2. 重点掌握不同二阶系统阶跃响应的特点，及阶跃响应与特征根在根平面位置之间的关系；理解系统参数ζ和ωｎ的物理意义。
3. 掌握控制系统阶跃响应性能指标的含义，以及计算二阶欠阻尼系统性能指标的方法。
4. 掌握劳斯稳定判据判别系统稳定性的方法。
5. 理解系统稳态误差与系统的“型”及输入信号的形式之间的关系。
6. 理解高阶系统主导极点的概念，以及高阶系统可以低阶近似的原理。
7. 了解根据系统的阶跃和脉冲响应曲线获得系统数学模型的方法。
四、主要外语词汇
时域分析法 time scale analytical method
根轨迹法 root-locus plot method
频域分析法 phase scale analytical method
性能指标 performance specification
高阶系统 higher-order system
稳定性 stability
劳思-赫尔维茨判据 routh’s stability criterion
稳态误差 stability error
误差系数 error parameter
五、辅助教学情况（见课件）
六、复习思考题
1． 什么是时域分析法？
2． 什么是系统的时间响应？
3． 什么是瞬态响应？
4． 什么是稳态响应？
5． 什么是动态性能指标？动态性能指标有哪些？
6． 什么是系统的稳定性？
7． 判别线性定常系统稳定性的基本方法有哪些？
8． 什么是误差？什么是稳态误差？如何计算稳态误差？
9． 惯性环节在什么情况下可近似比例环节? 而在什么情况下可近似为积 分环节?
10． 惯性环节与二阶环节的阶跃响应曲线有何不同？
11． 有那些措施能增加系统的稳定程度？它们对系统的性能还有什么影响?
12． 将二阶系统的增益调得很大，系统是否会不稳定？
13． 系统时间常数的改变，对系统的动态性能和稳定性有何影响？
14． 控制系统的稳态误差与什么有关？
15． 怎样减小或消除扰动所产生的稳态误差？
16． 扰动作用点之后的积分环节对稳态误差有无影响？
17． 定值调节系统与随动调节系统其响应曲线有何区别? 在阶跃响应曲线中定义其时域指标，两种调节系统有什么异同点?
七、参考教材（资料）
1．《自动控制原理》上册 南京航空学院 西北工业大学 北京航空学院 合编
国防工业出版社
参考该书第三章有关内容。
2．《自动控制原理》 东北工学院 杨自厚 冶金工业出版社
参考该书第三章有关内容。
八、讲稿

第三章 线性系统的时域分析法
在确定系统的数学模型后，便可以用几种不同的方法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。在经典控制理论中，常用时域分析法、根轨迹法或频域分析法来分析线性控制系统的性能。显然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但是比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。本章主要研究线性控制系统性能分析的时域法。

3—1 系统时间响应的性能指标
控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号(即外作用)的解析表达式。然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因此需要选择若干典型输入信号。
1， 典型输入信号
一般说来，我们是针对某一类输入信号来设计控制系统的。某些系统，例如室温系统或水位调节系统，其输入信号为要求的室温或水位高度，这是设计者所熟知的。但是在大多数情况下，控制系统的输入信号以无法预测的方式变化。例如，在防空火炮系统中，敌机的位置和速度无法预料，使火炮控制系统的输入信号具有了随机性，从而给规定系统的性能要求以及分析和设计工作带来了困难。为了便于进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行比较，我们需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃函数、单位斜坡(速度)函数、单位加速度(抛物线)函数、单位脉冲函数和正弦函数，这些函数都是简单的时间函数，便于数学分析和实验研究。
实际应用时究竟采用哪一种典型输入信号，取决于系统常见的工作状态；同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。这种处理方法在许多场合是可行的。例如，室温调节系统和水位调节系统，以及工作状态突然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统，都可以采用阶跃函数作为典型输入信号；跟踪通信卫星的天线控制系统，以及输入信号随时间逐渐变化的控制系统，斜坡函数是比较合适的典型输入；加速度函数可用来作为宇宙飞船控制系统的典型输入；当控制系统的输入信号是冲击输入量时，采用脉冲函数最为合适；当系统的输入作用具有周期性的变化时，可选择正弦函数作为典型输入。同一系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的，但对于线性控制系统来说，它们所表征的系统性能是一致的。通常以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
应当指出，有些控制系统的实际输入信号是变化无常的随机信号，例如定位雷达天线控制系统，其输入信号中既有运动目标的不规则信号，又包含有许多随机噪声分量，此时就不能用上述确定性的典型输入信号去代替实际输入信号，而必须采用随机过程理论进行处理。
为了评价线性系统时间响应的性能指标，需要研究控制系统在典型输入信号作用下的时间响应过程。
2 动态过程与稳态过程

在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。
(1)动态过程
动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦以及其它一些原因，系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数选择情况，动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。显然，一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是稳定的。动态过程除提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应速度及阻尼情况等信息。这些信息用动态性能描述。
(2)稳态过程
稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现力式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能描述
由此可见，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳态性两部分组成。
3．动态性能与稳态性能
稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。
(1)动态性能
通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其它形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。
描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。对于大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。对于图3—1所示单位阶跃响应h(t)，其动态性能指标通常如下：
延迟时间t 指响应曲线第一次达到其终值一半所需的时间。
上升时间 指响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快。
峰值时间t 指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。
调节时间 指响应到达并保持在终值土5%①内所需的最短时间。
超调量% 指响应的最大偏离量h（）与终值h()的差与终值A()比的百分数，即
%= （3-1）
若h()<h()，则响应无超调。超调量亦称为最大超调量，或百分比超调量。
上述五个动态性能指标，基本上可以体现系统动态过程的特征。在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升时间、调节时间和超调量。通常，用或评价系统的响应速度用%评价系统的阻尼程度；而2J是员吐反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出除简单的一、二阶系统外，要精确确定这些动态性能指标的解析表达式是很困难的。

(2)稳态性能
稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

3—2 一阶系统的时域分析
凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为一阶系统。在工程实践中，一阶系统不乏其例。有些高阶系统的特性，常可用一阶系统的特性来近似表征。
1．一阶系统的数学模型
研究图3—2(a)所示RC电路，其运动微分方程为
T(t)+c(t)=r(t) (3—2)
其中，c(t)为电路输出电压；r(c)为电路输入电压；T＝RC为时间常数。当该电路的初始条件为零时，其传递函数为

2．一阶系统的单位阶跃响应
设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数，r(t)＝1(t)，则由式(3—3)可得一阶系统的单位阶跃响应为
h（t）=1- t0 （3-4）
由式(3—4)可见，一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零，以指数规律上升到终值＝1的曲线，如图3—3所示。
图3—3表明，一阶系统的单位阶跃应为非周期响应，具备如下两个重要特点
1)可用时间常数T去度量系统输出量的数值。
98.2％。根据这一特点，可用实验方法测定一阶系统的时间常数，或测定所测系统是否属于一阶系统。
1) 响应曲线的斜率初始值为1／T，并随时间的推移而下降。例如

从而使单位阶跃响应完成全部变化所需的时间为无限长，即有h（）=1。此外，初始斜率特性，也是常用的确定一阶系统时间常数的方法之一。
根据动态性能指标的定义，一阶系统的动态性能指标为．

显然，峰值时间t和超调量%都不存在由于时间常数T反映系统的惯性，所以一阶系统的惯性越小．苴晌应过程快；反之惯性越大响应越慢
3．一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于R(5)＝1，所以系统输出量的拉氏变换式与系统的传递函数相同，即C（s）=这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为
4。一阶系统的单位斜坡响应
设系统的输入信号为单位斜坡函数，则由式(3—3)可以求得一阶系统的单位斜坡响应
式(3—6)表明：一阶系统的单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间滞后f的斜坡函数，因此在位置上存在稳态跟踪误差，其值正好等于时间常数一阶系统单位斜坡响应的瞬态分量为衰减非周期函数。
5 一阶系统的单位加速度响应
设系统的输入信号为单位加速度函数，则由式(3-3)叮以求得—阶系统的单位加速度响应为
c（t）=
一阶系统对上述典型输入信号的响应归纳于表3—2之中。由表3—2可见，单位脉冲函数与单位阶跃函数的一阶导数及单位斜坡函数的二阶导数的等价关系，对应有单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数及单位斜坡响应的二阶导数的等价关系。这个等价对应关系表明：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。

3—3 二阶系统的时域分析
凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。在控制：工程中，不仅二阶系统的典型应用极为普遍，而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此，着重研究二阶系统的分析和计算方法，具有较大的实际意义。
1. 二阶系统的数学模型
为了使研究的结果具有普遍的意义，可将式(3—9)表示为如下标准形式:

3—5 线性系统的稳定性分析

稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因而，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一
1．稳定性的基本概念
任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。
其实，关于系统的稳定性有多种定义方法。上面所阐述的稳定性概念，实则是指平衡状态稳定性，由俄国学者李雅普诺夫子1892年首先提出，一直沿用至今。有关李雅普诺夫稳定性的严密数学定义及稳定性定理，将在第九章介绍。
在分析线性系统的稳定性时，我们所关心的是系统的运动稳定性，即系统方程在不受任何外界输入作用下，系统方程的解在时间t趋于无穷时的渐近行为。毫无疑问，这种解就是系统齐次微分方程的解，而“解”通常称为系统方程的一个“运动”，因而谓之运动稳定性。严格地说，平衡状态稳定性与运动稳定性并不是一回事，但是可以证明，对于线性系统而言，运动稳定性与平衡状态稳定性是等价的。
按照李雅普诺夫分析稳定性的观点，首先假设系统具有一个平衡工作点，在该平衡工作点上，当输入信号为零时，系统的输出信号亦为零。一旦扰动信号作用于系统，系统的输出量将偏离原平衡工作点。若取扰动信号的消失瞬间作为计时起点，则t=0时刻系统输出量增量及其各阶导数，便是研究t≥o时系统输出量增量的初始偏差。于是，t≥o时的系统输出量增量的变化过程，可以认为是控制系统在初始扰动影响下的动态过程。因而，根据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可叙述如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点)，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。

2．线性系统稳定的充分必要条件
上述稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。因此，设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲(t)，这时系统的输出增量为脉冲响应c(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原系统的输出增量为脉冲响应c(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若t时，脉冲响应

即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的。设闭环传递函数如式(3—61)所示，且设(i=1，2，…，n) 为特征方程D(s)=0的根，而且彼此不等。那么，由于(t)的拉氏变换为1，所以系统输出增量的拉氏变换为
C(s)=
=
式中，q+2r=n。于是系统的脉冲响应为
c(t)= + t (3-77)
系统才称为稳定系统；否则，称为不稳定系统。
由此可见，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。
应该指出，由于我们所研究的系统实质上都是线性化的系统，在建立系统线性化模型的过程中略去了许多次要因素，同时系统的参数又处于不断地微小变化之中，所以临界稳定现象实际上是观察不到的。对于稳定的线性系统而言，当输入信号为有界函数时，由于响应过程中的动态分量随时间推移最终衰减至零，故系统输出必为有界函数；对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散，但也不意味会无限增大，实际控制系统的输出量只能增大到一定的程度，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，或者其运动形态进入非线性工作状态，产生大幅度的等幅振荡。
3，劳思--赫尔维茨稳定判据
根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性，需要求出系统的全部特征根。对于高阶系统，求根的工作量很大，因此希望使用一种间接判断系统特征根是否全部严格位于s左半平面的代替方法。劳思和赫尔维茨分别于1877年和1895年独立提出了判断系统稳定性的代数判据，称为劳思—赫尔维茨稳定判据。这种判据以线性系统特征方程系数为依据，其数学证明从略
(1)赫尔维茨稳定判据
设线性系统的特征方程为
D（s）= ， (3-78)
(2)劳思稳定判据
劳思稳定判据为表格形式，见表3—3，称为劳思表。劳思表的前两行由系统特征方程(3—78)的系数直接构成。劳思表中的第1行，由特征方程的第1，3，5，…项系数组成；第2行，由第2，4，6，…项系数组成。劳思表中以后各行的数值，需按表3—3所示逐行计算，凡在运算过程中出现的空位，均置以零，这种过程一直进行到第n行为止，第n+1行仅第一列有值，且正好等于特征方程最后一项系数。表中系数排列呈上三角形。
按照劳思稳定判据，由特征方程(3—78)所表征的线性系统稳定的充分且必要条件是：劳思表中第一列各值为正。如果劳思表第一列出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程（3-78）的正实部根的数目。劳思稳定判据与赫尔维茨稳定判据在实质上是相同的。显然，劳思表中第一列各数与各顺序赫尔维茨行列式之间，存在如下关系：，，，…，，。因此，在d。>0的情况下，如果所有的顺序赫尔维茨行列式为正，则劳思表中第一列的所有元素必大于零。值得指出，对于高阶系统特征方程，可以采用递推劳思表来判断系统的稳定性。
4，劳思稳定判据的特殊情况
当应用劳思稳定判据分析线性系统的稳定性时，有时会遇到两种特殊情况，使得劳思表中的计算无法进行到底，因此需要进行相应的数学处理，处理的原则是不影响劳思稳定判据的判别结果。
(1)劳思表中某行的第一列项为零，而其余各项不为零，或不全为零此时，计算劳思表下一行的第一个元时，将出现无穷大，使劳思稳定判据的运用失效。例如，特征方程为
D(s)=
(2)．劳斯表中出现全零行
这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。例如，两个大小相等但符号相反的实根和(或)一对共轭纯虚根，或者是对称于实轴的两对共轭复根。
当劳思表中出现全零行时，可用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程F(s)=0，并将辅助方程对复变量s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元，便可按劳思稳定判据的要求继续运算下去，直到得出完整的劳思计算表。辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同但符号相反的根数。所有那些数值相同但符号相异的根，均可由辅助方程求得。

5．劳思稳定判据的应用
在线性控制系统中，劳思判据主要用来判断系统的稳定性。如果系统不稳定，则这判据并不能直接指出使系统稳定的方法；如果系统稳定，则劳思判据也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳思判据不能表明系统特征根在s平面上相对于虚轴的离。由高阶系统单位阶跃响应表达式(3—66)可见，若负实部特征方程式的根紧靠虚轴，由于或的值很小，系统动态过程将具有缓慢的非周期特性或强烈的振荡特性。了使稳定的系统具有良好的动态响应，我们常常希望在s左半平面上系统特征根的位与虚轴之间有一定的距离。为此，可在左半s平面上作一条s=-a的垂线，而a是系统征根位置与虚轴之间的最小给定距离，通常称为给定稳定度，然后用新变量代原系统特征方程，得到一个以为变量的新特征方程，对新特征方程应用劳思稳定判据，

3—6 线性系统的稳态误差计算

控制系统的稳态误差，是系统控制准确度(控制精度)的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。对于一个实际的控制系统由于系统结构、输入作用的类型(控制量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或加速度：不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任伺形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。此外，控制系统中不可避免地存在磨擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素，都会造成附加的稳态误差。可以说，控制系绍的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一，是尽量减小系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一容许值。显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。有时，把在阶跃函数作用下没有原性稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系统。
本节主要讨论线性控制系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差即原理性稳态误差的计算方法，其中包括系统类型与稳态误差的关系，同时介绍定量描述系统误差的两类系数，即静态误差系数和动态误差系数。至于非线性因素所引起的系统稳态误差，则称为附加稳态误差，或结构性稳态误差。
1．误差与稳态误差
设控制系统结构图如图3—28所示。当输入信号R(s)与主反馈信号B(s)不等时，比较装置的输出为
E(s)=R(s)-H(s)C(s) (3—80)
此时，系统在E(s)信号作用下产生动作，使输出量趋于希望值。通常，称E(s)为误差信号简称误差(亦称偏差)。
误差有两种不同的定义方法：一种是式(3—80)所描述的在系统输入端定义误差的：法；另一种是从系统输出端来定义，它定义为系统输出量的希望值与实际值之差。前者义的误差，在实际系统中是可以量测的，具有一定的物理意义；后者定义的误差，在系统能指标的提法中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义。
上述两种定义误差的方法，存在着内在联系。
1． 系统类型
由稳态误差计算通式(3—84)可见，控制系统稳态误差数值，与开环传递函数G(s)H(s)的结构和输入信号R(s)的形式密切相关。对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。
在一般情况下，分子阶次为m，分母阶次为n的开环传递函数可表示为
G(s)H(s)=
式中，K为开环增益；和为时间常数；为开环系统在s平面坐标原点上的极点的重数。现在的分类方法是以的数值来划分的：，称为0型系统；称为型系统；称为型系统……。当时，除复合控制系统外，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外，Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不采用。
这种以开环系统在s平面坐标原点上的极点数来分类的方法，其优点在于：可以根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误差的大小。它与按系统的阶次进行分类的方法不同，阶次m与n的大小与系统的大小与系统的型别无关，且不影响稳态误差的数值。为了便于讨论，令

必有时，。因此，式(3—85)可改写为

系统稳态误差计算通式则可表示为

3，阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数
在图3—28所示的控制系统中，若r(t)=R，其中R为输入阶跃函数的幅值，则R(s)=。由式(3—87)可以算得各型系统在阶跃输入作用下的稳态误差为

对于0型单位反馈控制系统，在单位阶跃输入作用下的稳态误差图示，可参见图3—1。显然，其稳态误差是希望输出1与实际输出K／(1十K)之间的位置误差。习惯上常采用静态位置误差系数K，表示各型系统在阶跃输入作用下的位置误差。根据式(3—84)，当时，有

式中

称为静态位置误差系数。由式（3-89）及（3-86）知，各型系统的静态位置误差系数为

如果要求系统对于阶跃输入作用不存在稳态误差，则必须选用I型及I型以上的系统。习惯上常把系统在阶跃输入作用下的稳态误差称为静差。因而，0型系统可称为有(静)差系统或零阶无差度系统，I型系统可称为一阶无差度系统，Ⅱ型系统可称为二阶无差度系统，依此类推。
4，斜坡输人作用下的稳态误差与静态速度误差系数
。将R(s)代入式(3—87)，得各型系统在斜坡输入作用下的稳态误差为
通常，式(3—90)表达的稳态误差称为速度误差。必须注意，速度误差的含意并不是指系统稳态输出与输入之间存在速度上的误差，而是指系统在速度(斜坡)输入作用下，系统稳态输出与输入之间存在位置上的误差。此外，式(3—90)还表明：0型系统在稳态时不能跟踪斜坡输入；对于I型单位反馈系统，稳态输出速度恰好与输入速度相同，但存在一个稳态位置误差，其数值与输入速度信号的斜率R成正比，而与开环增益K成反比；对于Ⅱ型及Ⅱ型以上的系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差。如果系统为非单位反馈系统，其H(s)＝为常数，那么系统输出量的希望值为
，系统输出端的稳态位置误差为

上式表示的关系，对于下面即将讨论的系统在加速度输入作用下的稳态误差计算问题，同样成立。
5．加速度输人作用下的稳态误差与静态加速度误差系数
在图3—28所示的控制系统中，若，其中R为加速度输入函数的速度变率，则R(s)=。将R(5)代入式(3—87)，算得各型系统在加速度输入作用下的稳态误差

Ⅱ型单位反馈系统在加速度输入作用下的稳态误差图示，可参见图3—33。
7. 扰动作用下的稳态误差
控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。例如：负载转矩的变动，放大器的零位和噪声，电源电压和频率的波动，组成元件的零位输出，以及环境温度的变化等。因此，控制系统在扰动作用下的稳态误差值，反映了系统的抗干扰能力。在理想情况下，系统对于任意形式的扰动作用，其稳态误差应该为零，但实际上这是不能实现的。
由于输入信号和扰动信号作用于系统的不同位置，因此即使系统对于某种形式输入信号作用的稳态误差为零，但对于同一形式的扰动作用，其稳态误差未必为零。设控制系统如图3—35所示，其中N(s)代表扰动信号的拉氏变换式。由于在扰动信号N(s)作用下系统的理想输出应为零，故该非单位反馈系统响应扰动n(t)的输出端误差信号为
(3—102)
式中，G(s)=H(s)为非单位反馈系统的开环传递函数，(s)为以n(t)为输入，(t)为输出时非单位反馈系统前向通道的传递函数。为系统对扰动作用的误差传递函数，并将其在s=0的邻域展成泰勒级数，则式(3—103)可表示为

设系统扰动信号可表示为
n(t)=
则将式(3—104)代入式(3—102)，并取拉氏反变换，可得稳定系统对扰动作用的稳态误差表达式
式中

称为系统对扰动的动态误差系数。将的分子多项式与分母多项式按s的升幂排列，然后利用长除法，可以方便的求得。当在s右半平面及虚轴上解析时，同样可以采用终值定理法计算系统在扰动作用下的稳态误差。
8．减小或消除稳态误差的措施
为了减小或消除系统在输入信号和扰动作用下的稳态误差，可以采取以下措施，
(1)增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益
由表3-5可见，增大系统开环增益K以后，对于。型系统，可以减小系统在阶跃输入时的位置误差；对于I型系统，可以减小系统在斜坡输入时的速度误差；对于Ⅱ型系统，可以减小系统在加速度输入时的加速度误差。由例3-15可见，增大系统开环增益之前的比例控制器增益Kl，可以减小系统对阶跃扰动转矩的稳态误差。式(3—108)表明，系统在阶跃扰动作用下的稳态误差与K2无关。因此，增大扰动点之后系统的前向通道增益，不能改变系统对扰动的稳态误差数值。
(2)在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节
(3)采用串级控制抑制内回路扰动
当控制系统中存在多个扰动信号，且控制精度要求较高时，宜采用串级控制方式，可以显著抑制内回路的扰动影响。
(4)采用复合控制方法
如果控制系统中存在强扰动，特别是低频强扰动，则一般的反馈控制方式难以满足高稳态精度的要求，此时可以采用复合控制方式。