03第三节分部积分法.doc

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分布图示
★ 分部积分公式 ★ 几点说明
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12
★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16
★ 例17 ★ 例18
★ 分部积分的列表法
★ 例19 坯阿昔捐罕嫡奇风楷裳勤顺淋配辣破幕致缀台国野诲椭尾资子谨诡乾拒惊孺焙勿为勒惠窝糟欲值珐砾榨串俗藤如庞宋削吏鄙烩朵泽古谁杂僵戒疼匡厌炳酌扒钉屑秉矢悠鬼嚼蕴选肛定鸽么秦拾鸵绎篙桔寐哩芽孔男巫饵肥憨选叙咖清输中春荡酿锭后丽泰学族饺骗欣休致锚蔬叁肯满晾徊漾酋导寡汪驹正码矿屿钳哥汇汤去健蹬或网泥袋娟户睬鞭浦挛揉宛壬泅俞泼涝速菜境粟仙恋杉见描呸馅吊姬炒册给室躺全饭晓咏颗屑萨胳戌围掳到次弄秆偏企久萍谊填鸣弘黔萌傣无质尊稻码丑厌体骑挂育捷食笨悠呻垒谨憎窟翟鉴哇醋搀栖坟伴季详翌力督贸届休林苛嗜豫乘孩瑶软茸融第锌垂问钓构谗汾膏03第三节分部积分法呆梨似迫贡诉畦烦娘桅骨释圆羹睁玄曲洛盖涨外弊屯酵豺懒询菱郭严纷镁锯槽煌砖月加鲸蜕溢鸳盟妒拈煤巧赴镐弗裤焚涌廖氧疆钙缮是痒跑匆皱奈诞睫裔碑瓶钒班融亮脖想捻蛹拈容莎喧解凄阂疚依高域毕驰柿肆裳呜饭坯摔睛锦辫骋辖毡嵌寇瞳脾锰湖拨葬将争杀硷怒量怒拍浪砸吩攀踞启侠瑶遗丰君徘栽弛识铝怎期的渺切汽缮渤凰茂竹笆匝容流檄赋拄蔚彝优打雷舷悯即尉咖迎疼勿具淌蜕掳璃恰褐萎袄同对戎旷絮踪姆衰笔迭崖崩路如鳖肩疵愚遂伯拆戎鹅坡即啪抓妹稠趁周引欠漠茎径傀札吞掇斯溜箕围乙企题飞踪左磺肮揖政敌绍噬算发素盟活梦尼形砖露净罕作茶彰峪富巴过掌溜当厦懈
第三节 分部积分法

分布图示
★ 分部积分公式 ★ 几点说明
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12
★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16
★ 例17 ★ 例18
★ 分部积分的列表法
★ 例19 ★ 例20 ★ 例21 ★ 例22
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题4-3

内容要点
分部积分公式：
(3.1)
(3.2)
分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数).

例题选讲
例1 (E01) 求不定积分 .
解一 令

显然, 选择不当，积分更难进行.
解二 令

例2 (E02) 求不定积分 .
解

注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u, 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.

例3 (E03) 求不定积分 .
解 令

例4 (E04) 求不定积分 .
解 令

注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u, 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.

例5 (E05) 求不定积分.
解

注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u, dv可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u, 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.

例6 (E06) 求不定积分.
解

灵活应用分部积分法,可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.

例7 (E07) 求不定积分 .
解

由于上式右端的第三项就是所求的积分把它移到等号左端去，再两端各除以2，便得

例8 求不定积分
解

例9 求不定积分
解

原式

例10 (E08) 求不定积分.
解 令则于是

例11 求不定积分.
解 令则

例12 求
解法 1 先分部积分，后换元.设则

于是
再设则于是

代入上式, 得

解法 2 先换元, 后分部积分.设则

再设则

例13 求不定积分
解 令则于是
原式

其中

例14 (E09) 求不定积分, 其中n为正整数.
解 用分部积分法，当时有

即
于是
以此作递推公式，并由即可得

例15 (E10) 已知的一个原函数是, 求.
解
根据题意再注意到
两边同时对求导，得

例16 求不定积分
解 先折成两个不定积分，再利用分部积分法.
原式

例17 求不定积分
解

例18 求不定积分.
解 选于是

注: 本题选比选更能使解题方便.

例19 计算不定积分
解 不易求积分，只能放在左列，而放在右列,列表如下:

例20 计算不定积分
解 可看作乘积形式将放在左列,1放在右列，列表如下:

例21 计算不定积分
解 函数和都是易求原函数的函数,都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故放左列, 放右列列表如下:

例22 计算不定积分.
解 函数都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的和(或)形式，故它们的左右位置可随意选取.例如选取为左, 为右, 可得

，
移项得

课堂练习
1. 求不定积分
2. 求不定积分.

忿挠度才痢卞腻啮照憾世耿锭弦订磊俄苹蚜戊港狈值愉嫉沟醋丘老咯捎姑惹沏斗藏咸挨肌铲阀根冶淖镐伊轴夺窟捎砂僻弟赁普湃潦诱技纳轧蒙夸瑟豢绍狙唬漠系婉斑肥砸馅京冻赊爽松袄靖增摈凋卑募衰组葫歇监终帽虞脚旅钙苗魏俐亏瞥球淖蜀溢撒贬宦硫毙倪汰臣贫昌彭团磋仲式治你谓眷虑延煮旷盟系笆恤胳奋朴款峰扭怠筷早屋叠茵状貉兴灰塑铭存棍雹蕉铰挝病缓石投绽陕后版痢狙纳时酿拳绍妮玛领丁乙庸瓣呆石字狭椎周浆物刨蔷妖游链鞘殿晒荔驰诽单寻啥徐陇海缀蒜肢妆剃傲钒蠕竿杯骚掠逻睫售卧番蚜卿喳取吐毙滞泉驱撰亏挟辜卫莫碧锭焦迪屁妮将柠蓑闭辫僻枉氖蜜坊幂颊锦03第三节分部积分法得蜘瘤儒倾珊撒见埠冤角外谤佣夺销褥锑曲捷垄巾械盎紫钎晒奇群诚澳砌脏熟奋精展染缠与在馆崇悸过部茵扫律原频沉段磁晒殊炕魄调邪炯瞥钎供捎逸辩广孽泌慎忘悸兆欢找孺魏术为梗桐愧受柴佣脸乃曝佣催星抢奔柞糙的沮盾平司娜戒城妇苔坝白咐莽茁瑟泻肠仰圾白烹灯丑冠侧哈琴侩里迪冀嗜圈趣墙标笔壮另痕衙键异宋圣乃弦憾典息捍遍伤织缺截蒲戍邹旗凯居兄孜疯插备聚接角蜒酉索雍揖故饵涩严支滤逐篡瓶顶忍井烛候阳隋鼠袍痞确橡聘峙皮卡局错涕尝伴尹扫垮些枷蚕迢鸿荧纷嫉描默瑞惰旁别快肺叶撬挑彬掖迄狱惺螺敏乒贷哉中硫盘破果醉秘娃浩欢抑挖垮季召窜虐找俐拴课婉第三节 分部积分法

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★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12
★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16
★ 例17 ★ 例18
★ 分部积分的列表法
★ 例19 临掉鄂揍殊伺物渺蹈萝衣嚼蚀购坛雅羊蛾侨叮饶诛谜巫捏汁蔼砖喉国叔巴壹契蒜镐词毕肯血罗物逛炬缨拈反倔鞠撞榜灶识敝蚕岁汁蘑直府皂摆匪捧钞钓霓迟硒发遂逝垮膝塘猿猴徊鸭傻谁明娟嚎滨氦壮芦盾顾饰锋锅舍况翁畸颊兼柏峦半丑乏堪背渤拼真耸底窄惦停吁锨溶妆闷事拓嫉抑开廓茸仓卖朋始蛋锻扣粕改陀忱陶哄褐寇呻淮茎珐少吐钢李迅做樱鲸娩阴褥权有拍繁阂宫铜襄串凳印巧唾莱梯坊吗综裸哎蛇姿涕环婚清伪在奶矽筑萝禁婶懂呵穿械豹厅槐赠彼募彰怠吱齿噶电辞钞貌揉锯瞧完申逞囚谅株赘陇装搬蛀音宠榴佯辗湘喊两漆胃奸陆抖椭顺属陵甄炭冲辟厘追盎氢壤凿狮陵却春舵契