工程流体力学习题全解.doc

第1章绪论
选择题
【1。1】按连续介质的概念，流体质点是指:（）流体的分子；(b）流体内的固体颗粒；（c）几何的点；（d)几何尺寸同流动空间相比是极小量,又含有大量分子的微元体.
解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点,但它又含有大量的分子,且具有诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。（）
【1。2】与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：(）切应力和压强；（b)切应力和剪切变形速度；（c）切应力和剪切变形；(d)切应力和流速。
解：牛顿内摩擦定律是，而且速度梯度是流体微团的剪切变形速度，故。（)
【1。3】流体运动黏度υ的国际单位是：()m2/s；（b）N/m2；（c）kg/m；(d）N·s/m2。
解：流体的运动黏度υ的国际单位是.（）
【1。4】理想流体的特征是：（）黏度是常数；（b)不可压缩；（c）无黏性；（d)符合.
解：不考虑黏性的流体称为理想流体。 （）
【1。5】当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：()1/20 000；(b）1/1 000；(c)1/4 000；（d）1/2 000.
解：当水的压强增加一个大气压时,其密度增大约。 （）
【1.6】从力学的角度分析,一般流体和固体的区别在于流体:（）能承受拉力，平衡时不能承受切应力;（b）不能承受拉力，平衡时能承受切应力;（c）不能承受拉力,平衡时不能承受切应力；（d）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。
解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。 （）
【1.7】下列流体哪个属牛顿流体：（)汽油；（b)纸浆；(c)血液;（d）沥青。
解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。 （）
【1。8】时空气和水的运动黏度，,这说明：在运动中（）空气比水的黏性力大；（b）空气比水的黏性力小;（c）空气与水的黏性力接近；(d）不能直接比较.
解:空气的运动黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空气的近800倍,因此水的黏度反而比空气大近50倍，而黏性力除了同流体的黏度有关，还和速度梯度有关,因此它们不能直接比较。 （)
【1。9】液体的黏性主要来自于液体：(）分子热运动;(b)分子间内聚力;(c）易变形性；（d）抗拒变形的能力。
解：液体的黏性主要由分子内聚力决定.（）
计算题
【1.10】黏度μ=3。92×10﹣2Pa·s的黏性流体沿壁面流动，距壁面y处的流速为v=3y+y2（m/s），试求壁面的切应力。
解:由牛顿内摩擦定律，壁面的切应力为
【1。11】在相距1mm的两平行平板之间充有某种黏性液体，当其中一板以1。2m/s的速度相对于另一板作等速移动时,作用于板上的切应力为3 500 Pa。试求该液体的黏度.
解：由，
【1.12】一圆锥体绕竖直中心轴作等速转动,锥体与固体的外锥体之间的缝隙
δ=1mm，其间充满μ=0.1Pa·s的润滑油。已知锥体顶面半径R=0。3m，锥体高度H=0。5m，当锥体转速n=150r/min时，求所需旋转力矩。
解：如图，在离圆锥顶h处,取一微圆锥体（半径为），其高为。
这里
该处速度
剪切应力
高为一段圆锥体的旋转力矩为
其中代入
总旋转力矩
其中
代入上式得旋转力矩
【1。13】上下两平行圆盘，直径均为d，间隙为δ，其间隙间充满黏度为μ的液体.若下盘固定不动，上盘以角速度旋转时，试写出所需力矩M的表达式。
解：在圆盘半径为处取的圆环，如图.
其上面的切应力
则所需力矩
总力矩
【1。14】当压强增量=5×104N/m2时,某种液体的密度增长0。02%。求此液体的体积弹性模量.
解：液体的弹性模量
【1。15】一圆筒形盛水容器以等角速度绕其中心轴旋转。试写出图中A(x，y，z）
处质量力的表达式.
解:位于处的流体质点,其质量力有
惯性力
重力（Z轴向上）
故质量力的表达式为
【1。16】图示为一水暖系统,为了防止水温升高时,体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一
膨胀水箱。若系统内水的总体积为8m3，加温前后温差为50℃，在其温度范围内水的热胀系数α=0.000 5/℃。求膨胀水箱的最小容积。
解：由液体的热胀系数公式，
据题意，℃，,℃
故膨胀水箱的最小容积
【1。17】汽车上路时，轮胎内空气的温度为20℃，绝对压强为395kPa,行驶后，
轮胎内空气温度上升到50°С,试求这时的压强。
解:由理想气体状态方程，由于轮胎的容积不变，故空气的密度不变，
故,
其中，
，
得
【1。18】图示为压力表校正器.器内充满压缩系数为k=4。75×10﹣10m2/N的油液。器内压强
为105Pa时,油液的体积为200mL.现用手轮丝杆和活塞加压，活塞直径为1cm,丝杆螺距为2mm，当压强升高至20MPa时，问需将手轮摇多少转？
解:由液体压缩系数定义，
设，
因此，，
其中手轮转转后，
体积变化了（为活塞直径，为螺距）
即，
其中，
得
解得转
【1.19】黏度测量仪有内外两个同心圆筒组成，两筒的间隙充满油液.外筒与转轴连接，其
半径为r2，旋转角速度为。内筒悬挂于一金属丝下，金属丝上所受的力矩M可以通过扭转角的值确定。外筒与内筒底面间隙为，内筒高H,如题1。19图所示.试推出油液黏度的计算式。
解：外筒侧面的切应力为
,这里
故侧面黏性应力对转轴的力矩为
（由于是小量，)
对于内筒底面,距转轴取宽度为微圆环处的切应力为
则该微圆环上黏性力为
故内筒底面黏性力为转轴的力矩为
显然
即
第2章流体静力学
选择题：
【2.1】相对压强的起算基准是：（）绝对真空；(b）1个标准大气压；（c）当
地大气压;（d)液面压强.
解：相对压强是绝对压强和当地大气压之差。 （c）
【2。2】 金属压力表的读值是：(）绝对压强；（b）相对压强；（c）绝对压强加当地大气压；(d）相对压强加当地大气压.
解：金属压力表的读数值是相对压强。 （b）
【2。3】 某点的真空压强为65 000Pa，当地大气压为0。1MPa，该点的绝对压强为:（)65 000 Pa；(b）55 000 Pa;（c）35 000 Pa;（d）165 000 Pa.
解：真空压强是当相对压强为负值时它的绝对值。故该点的绝对压强。 (c）
【2。4】 绝对压强与相对压强p、真空压强、当地大气压之间的关系是：（）；（b）;(c）；（d)。
解：绝对压强－当地大气压＝相对压强，当相对压强为负值时，其绝对值即为真空压强。即，故。 （c)
【2。5】 在封闭容器上装有U形水银测压计，其中1、2、3点位于同一水平面上，其压强关系为:()p1〉p２〉 p3；（b）p1=p２= p3;（c）p1〈p２〈 p3;（d）p2<p1〈p3。
解：设该封闭容器内气体压强为，则,显然，而，显然。 （c）
【2.6】 用Ｕ形水银压差计测量水管内Ａ、Ｂ两点的压强差，水银面高度hp＝10cm，
pA-pB为:(）13。33kPa；（b）12。35kPa；（c）9.8kPa；（d）6。4kPa。
解：由于
故。 (b）
【2.7】在液体中潜体所受浮力的大小：（）与潜体的密度成正比；（b）与液体的密度成正比；（c)与潜体的淹没深度成正比；(d）与液体表面的压强成反比。
解:根据阿基米德原理，浮力的大小等于该物体所排开液体的重量，故浮力的大小与液体的密度成正比。 （b)
【2.8】 静止流场中的压强分布规律：（）仅适用于不可压缩流体;（b)仅适用于理想流体；(c)仅适用于粘性流体；(d)既适用于理想流体，也适用于粘性流体.
解:由于静止流场均可作为理想流体，因此其压强分布规律既适用于理想流体，也适用于粘性流体.（d)
【2.9】 静水中斜置平面壁的形心淹深与压力中心淹深的关系为：（）大于;（b)等于；(c）小于;(d）无规律.
解：由于平壁上的压强随着水深的增加而增加，因此压力中心淹深hD要比平壁形心淹深大。(c)
【2。10】流体处于平衡状态的必要条件是：（)流体无粘性；(b）流体粘度大;（c）质量力有势;(d)流体正压.
解:流体处于平衡状态的必要条件是质量力有势（c）
【2。11】液体在重力场中作加速直线运动时,其自由面与处处正交：（)重力；（b)惯性力；（c）重力和惯性力的合力；(d）压力.
解:由于流体作加速直线运动时，质量力除了重力外还有惯性力,由于质量力与等压面是正交的，很显然答案是（c）
计算题:
【2。12】试决定图示装置中A、B两点间的压强差。已知h1=500mm,h2=200mm，h3=150mm,h4=250mm ,h5=400mm，酒精γ1=7 848N/m3,水银γ2=133 400 N/m3，水γ3=9 810 N/m3。
解:由于
而
因此
即
【2。13】试对下列两种情况求A液体中M点处的压强(见图)：（1）A液体是水，B液体是水银,y=60cm，z=30cm；（2)A液体是比重为0。8的油，B液体是比重为1。25的氯化钙溶液,y=80cm，z=20cm。
解（1）由于
而
（2）
【2。14】在斜管微压计中，加压后无水酒精（比重为0。793）的液面较未加压时的液面变化为y=12cm。试求所加的压强p为多大.设容器及斜管的断面分别为A和，，。
解：加压后容器的液面下降
则
【2。15】设U形管绕通过AB的垂直轴等速旋转，试求当AB管的水银恰好下降到A点时的转速.
解:U形管左边流体质点受质量力为
惯性力为,重力为
在坐标系中，等压面的方程为
两边积分得
根据题意，时故
因此等压面方程为
U形管左端自由液面坐标为
，
代入上式
故
【2。16】在半径为的空心球形容器内充满密度为ρ的液体.当这个容器以匀角速ω绕垂直轴旋转时,试求球壁上最大压强点的位置。
解：建立坐标系如图，由于球体的轴对称,故仅考虑平面
球壁上流体任一点的质量力为
；
因此
两边积分得
在球形容器壁上；
代入上式，得壁上任一点的压强为
使压强有极值,则
即
由于故即最大压强点在球中心的下方。
讨论：当或者时,最大压强点在球中心以下的
位置上.
当或者时,最大压强点在，即球形
容器的最低点。
【2。17】如图所示，底面积为的方口容器，自重G=40N，静止时装水高度h=0。15m,设容器在荷重W=200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦因数f=0。3,试求保证水不能溢出的容器最小高度。
解：先求容器的加速度
设绳子的张力为
则 (）
（）
故解得
代入数据得
在容器中建立坐标如图.（原点在水面的中心点）
质量力为
由
两边积分
当处 故
自由液面方程为 （)
且 当满足方程
代入（）式 得
【2。18】如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R=2m,容器内充满水,顶盖上距中心为处开一个小孔通大气.容器绕其主轴作等角速度旋转.试问当为多少时，顶盖所受的水的总压力为零。
解：如图坐标系下，当容器在作等角速度旋转时，容器内流体的压强分布为
当时，按题意
故
分布为
在顶盖的下表面，由于,压强为
要使顶盖所受水的总压力为零
即
积分上式
解得
【2。19】 矩形闸门AB宽为1。0m，左侧油深h1=1m ，水深h2=2m，油的比重为0。795,闸门倾角α=60º，试求闸门上的液体总压力及作用点的位置。
解：设油，水在闸门AB上的分界点为E，则油和水在闸门上静压力分布如图所示。现将压力图F分解成三部分，,，而，
其中
油
水
故总压力
设总压力作用在闸门AB上的作用点为D，实质是求水压力图的形状中心离开A点的距离.
由合力矩定理，
故
或者
【2.20】一平板闸门，高H=1m,支撑点O距地面的高度=0。4m，问当左侧水深h增至多大时，闸门才会绕O点自动打开.
解:当水深h增加时，作用在平板闸门上静水压力作用点D也在提高，当该作用点在转轴中心O处上方时，才能使闸门打开。本题就是求当水深h为多大，水压力作用点恰好位于O点处。
本题采用两种方法求解
（1）解析法:
由公式
其中
代入
或者
解得
(2）图解法：
设闸门上缘A点的压强为，下缘B点的压强为,
则
静水总压力F(作用在单位宽度闸门上)
其中
的作用点在O处时，对B点取矩
故
或者
解得
【2.21】如图所示,箱内充满液体，活动侧壁OA可以绕O点自由转动,若要使活动侧壁恰好能贴紧箱体,U形管的h应为多少。
解:测压点B处的压强
则A处的压强
即
设E点处，则E点的位置在
故
设负压总压力为,正压总压力为（单位宽度侧壁）
即大小
以上两总压力对点力矩之和应等于0，即
即
展开整理后得
【2.22】有一矩形平板闸门，水压力经过闸门的面板传到3条水平梁上，为了使各横梁的负荷相等，试问应分别将它们置于距自由表面多深的地方.已知闸门高为4m，宽6m,水深H=3m.
解:按题意,解答显然与闸门宽度b无关，因此在实际计算中只需按单位宽度计算即可。
作用在闸门上的静水压力呈三角形分布,将此压力图面积均匀地分成三块,而且此三块面积的形心位置恰巧就在这三条水平梁上,那么这就是问题的解。
的面积
的面积
故
的面积
故
要求梯形CDFE的形心位置y2，可对点取矩
故
同理梯形ABDC的形心位置y3为
故
【2。23】一直径D=0.4m的盛水容器悬于直径为D1=0。2m 的柱塞上.容器自重G=490N,=0。3m.如不计容器与柱塞间的摩擦,试求:（1)为保持容器不致下落，容器内真空压强应为多大.（2）柱塞浸没深度h对计算结果有无影响。
解:（1）本题只要考虑盛水容器受力平衡的问题。
设容器内自由液面处的压强为p（实质上为负压），则柱塞下端的压强为
由于容器上顶被柱塞贯穿，容器周围是大气压,故容器上顶和下底的压力差为(方向↑，实际上为吸力）
要求容器不致下落,因此以上吸力必须与容器的自重及水的重量相平衡
即
或者
即
（真空压强)
（2）从以上计算中可知，若能保持不变，则柱塞浸没深度h对计算结果无影响。若随着h的增大，导致的增大，则从公
式可知容器内的真空压强p也将增大。
【2.24】如图所示一储水容器，容器壁上装有3个直径为d=0.5m的半球形盖,设h=2.0m，H=2。5m，试求作用在每个球盖上的静水压力.
解：对于盖，其压力体体积为
(方向↑)
对于b盖，其压力体体积为
（方向↓）
对于盖,静水压力可分解成水平及铅重两个分力，其中
水平方向分力(方向←）
铅重方向分力（方向↓)
【2。25】在图示铸框中铸造半径R=50cm，长L=120cm及厚b=2cm的半圆柱形铸件。设铸模浇口中的铁水（γFe=70 630N/m3)面高H=90cm，浇口尺寸为d1=10cm，d2=3cm，h=8cm，铸框连同砂土的重量G0=4。0t，试问为克服铁水液压力的作用铸框上还需加多大重量G。
解:在铸框上所需加压铁的重量和铸框连同砂土的重量之和应等于铁水对铸模铅垂方向的压力。
铁水对铸模的作用力(铅垂方向）为其中为
(方向↑）
需加压铁重量
【2。26】容器底部圆孔用一锥形塞子塞住,如图H=4r，h=3r，若将重度为γ1的锥形塞提起需力多大(容器内液体的重度为γ）.
解：塞子上顶所受静水压力
（方向↓）
塞子侧面所受铅垂方向压力
其中
(方向↑）
塞子自重（方向↓）
故若要提起塞子，所需的力F为
注。 圆台体积,
其中h一圆台高,r， R-上下底半径。
【2。27】如图所示，一个漏斗倒扣在桌面上,已知h=120mm，d=140mm,自重G=20N。试求充水高度H为多少时,水压力将把漏斗举起而引起水从漏斗口与桌面的间隙泄出.
解：当漏斗受到水压力和重力相等时，此时为临界状态.
水压力（向上）
故
代入数据
解得
【2。28】一长为20m，宽10m,深5m的平底船,当它浮在淡水上时的吃水为3m，又其重心在对称轴上距船底0.2m的高度处。试求该船的初稳心高及横倾
8º时的复原力矩。
解：设船之长,宽,吃水分别为L，B，T则水线面惯性矩（取小值)
排水体积
由公式初稳心高
（浮心在重心之上）
复原力矩
【2.29】密度为ρ1的圆锥体，其轴线铅垂方向，顶点向下，试研究它浮在液面上时的稳定性(设圆锥体中心角为2θ）。
解：圆锥体重量
流体浮力
当圆锥正浮时
即（）
圆锥体重心为G,则
浮心为C，则
稳心为M
圆锥水线面惯性矩
初稳性高度
圆锥体能保持稳定平衡的条件是
故须有，,
或者（）
将（）式代入(）式得
或者
因此当时圆锥体是稳定平衡
当时圆锥体是随偶平衡
当时圆锥体是不稳定平衡
【2。30】某空载船由内河出海时，吃水减少了20cm，接着在港口装了一些货物，吃水增加了15cm。设最初船的空载排水量为1 000t，问该船在港口装了多少货物.设吃水线附近船的侧面为直壁，设海水的密度为ρ=1 026kg/m3。
解：由于船的最初排水量为,即它的排水体积为,
它未装货时，在海水中的排水体积为
，
按题意，在吃水线附近穿的侧壁为直壁,则吃水线附近的水线面积为
因此载货量
【2.31】一个均质圆柱体,高H，底半径R，圆柱体的材料密度为600kg/m3。
（1)将圆柱体直立地浮于水面,当R/H大于多少时，浮体才是稳定的？
(2)将圆柱体横浮于水面，当R/H小于多少时,浮体是稳定的？
解：（1）当圆柱直立时，浸没在水中的高度设为h，如图(）所示
则
即
式中为水的密度，为圆柱体的密度
式中G为圆柱体重心，C浮心，C在G下方
初稳心半径CM为
其中
（即圆面积对某直径的惯性矩）
得
当，浮体是稳定的
即
整理得
(2）当圆柱体横浮于水面时，设被淹的圆柱截面积为A，
深度为h，如图（b）所示.
则
即(a)
或者（b）
将(a）（b）代入数据得
应用迭代法（见附录)解得
该圆截面的圆心就是圆柱体的重心G,浮心C位置为
式中，
得
故
由于浮面有两条对称轴,，面积惯性矩分别为
，
式中
因而初稳心半径分别为及
其中
当浮体稳定时，应满足
得
不等式恒满足
因此使圆柱体横浮时稳定应满足
,或者
第3章流体运动学
选择题：
【3。1】 用欧拉法表示流体质点的加速度等于：（）；（）;（）；（）。
解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为 (d）
【3。2】 恒定流是：（)流动随时间按一定规律变化；（)各空间点上的运动要素不随时间变化；（）各过流断面的速度分布相同；（)迁移加速度为零。
解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若 流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动。 (b）
【3。3】 一元流动限于：（）流线是直线；(）速度分布按直线变化；（）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数;（)运动参数不随时间变化的流动。
解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。 (c）
【3。4】 均匀流是：(）当地加速度为零；（）迁移加速度为零;（)向心加速度为零；(）合加速度为零。
解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度(亦称迁移加速度)这两部分组成,若变位加速度等于零,称为均匀流动 （b）
【3。5】 无旋运动限于:（)流线是直线的流动；（）迹线是直线的流动；(）微团无旋转的流动;（）恒定流动.
解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。(d)
【3。6】 变直径管，直径，,流速.为:（)；(）；(）；(）。
解：按连续性方程，，故
（c）
【3。7】 平面流动具有流函数的条件是：（）理想流体；()无旋流动；()具有流速势;（)满足连续性.
解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。 (d）
【3。8】恒定流动中，流体质点的加速度：（)等于零;（)等于常数；()随时间变化而变化；（）与时间无关.
解:所谓恒定流动(定常流动）是用欧拉法来描述的，指任意一空间点观察流体质点的物理量均不随时间而变化，但要注意的是这并不表示流体质点无加速度。 (）
【3.9】 在流动中,流线和迹线重合：（）无旋；（）有旋；(）恒定;（）非恒定。
解：对于恒定流动,流线和迹线在形式上是重合的. （）
【3.10】流体微团的运动与刚体运动相比，多了一项运动：（)平移；(）旋转；（)变形;（）加速。
解:流体微团的运动由以下三种运动：平移、旋转、变形迭加而成.而刚体是不变形的物体。 （）
【3。11】一维流动的连续性方程VA=C成立的必要条件是：()理想流体;（）粘性流体；（）可压缩流体；()不可压缩流体.
解:一维流动的连续方程成立的条件是不可压缩流体,倘若是可压缩流体,则连续方程为 （）
【3。12】流线与流线，在通常情况下:（）能相交，也能相切；（）仅能相交,
但不能相切；(）仅能相切，但不能相交；(）既不能相交,也不能相切。
解：流线和流线在通常情况下是不能相交的,除非相交点该处的速度为零（称为驻点）,但通常情况下两条流线可以相切。 （)
【3。13】欧拉法描述流体质点的运动：()直接；（)间接;(）不能；
(）只在恒定时能。
解：欧拉法也称空间点法,它是占据某一个空间点去观察经过这一空间点上的流体质点的物理量，因而是间接的。而拉格朗日法（质点法）是直接跟随质点运动观察它的物理量 （）
【3。14】非恒定流动中，流线与迹线:（）一定重合；()一定不重合;（)
特殊情况下可能重合；（）一定正交.
解:对于恒定流动,流线和迹线在形式上一定重合，但对于非恒定流动,在某些特殊情况下也可能重合，举一个简单例子，如果流体质点作直线运动，尽管是非恒定的，但流线和迹线可能是重合。 （）
【3.15】一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条件是：（）理想流体；()粘性流体；(）可压缩流体;()不可压缩流体。
解：这道题的解释同3。11题一样的。（）
【3。16】速度势函数存在于流动中:(）不可压缩流体；（）平面连续；（）所有无旋；（)任意平面。
解：速度势函数（速度势）存在的条件是势流(无旋流动) （）
【3.17】流体作无旋运动的特征是:（）所有流线都是直线;(）所有迹线都
是直线；（）任意流体元的角变形为零；（）任意一点的涡量都为零。
解：流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。 （)
【3。18】速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：(）两维不可压缩连续运动；(）两维不可压缩连续且无旋运动；（）三维不可压缩连续运动；()三维不可压缩连续运动。
解：流函数存在条件是不可压缩流体平面流动,而速度势存在条件是无旋流动，即流动是平面势流. （）
计算题
【3。19】设流体质点的轨迹方程为
其中C1、C2、C3为常数。试求（1）t=0时位于，，处的流体质点的轨迹方程;（2）求任意流体质点的速度；（3)用Euler法表示上面流动的速度场；（4）用Euler法直接求加速度场和用Lagrange法求得质点的加速度后再换算成Euler法的加速度场，两者结果是否相同。
解：（1)以, ，，代入轨迹方程，得
故得
当时位于流体质点的轨迹方程为
（)
(2）求任意质点的速度 （）
（3）若用Euler法表示该速度场
由（）式解出；
即 （） （）式对t求导并将()式代入得
（)
（4)用Euler法求加速度场
由（）式Lagrange法求加速度场为
（)
将()式代入（）式 得
两种结果完全相同
【3.20】已知流场中的速度分布为
(1）试问此流动是否恒定。(2）求流体质点在通过场中(1,1，1）点时的
加速度。
解： （1）由于速度场与时间t有关，该流动为非恒定流动.
（2)
将 代入上式，得
【3.21】一流动的速度场为
试确定在t=1时通过（2,1)点的轨迹线方程和流线方程。
解:迹线微分方程为
即
以上两式积分得
两式相减得
即
将 ，代入得
故过（2，1)点的轨迹方程为
流线的微分方程为
即
消去，两边积分得
或者
以，代入得积分常数
故在,通过（2，1)点的流线方程为
【3。22】已知流动的速度分布为
其中为常数.（1）试求流线方程，并绘制流线图；(2）判断流动是否有旋，若无旋,则求速度势并绘制等势线。
解：对于二维流动的流线微分方程为
即
消去得
积分 得
或者
若取一系列不同的数值,可得到流线族-双曲线族，它们的渐近 线为如图
有关流线的指向，可由流速分布来确定。
对于，当时，
当时,
对于 , 当时,
当时,
据此可画出流线的方向
判别流动是否有旋，只要判别是否为零，
所以流动是有旋的,不存在速度势.
【3。23】一二维流动的速度分布为
其中A、B、C、D为常数.（1）A、B、C、D间呈何种关系时流动才无旋；
(2)求此时流动的速度势。
解：（1）该流动要成为实际流动时,须满足，
即
或者 得
该流动无旋时，须满足，
即
或者,得
（2）满足以上条件时，速度分布为
积分得
由于
故
因此速度势
【3.24】设有粘性流体经过一平板的表面。已知平板近旁的速度分布为
（为常数,y为至平板的距离）
试求平板上的变形速率及应力。
解:流体微团单位长度沿方向的直线变形速率为
,现 （为轴方向)
故
同理沿方向直线变形速率为
沿方向直线变形速度为
在平面上的角变形速率
在平面上的角变形速率
在平面上的角变形速率
牛顿流体的本构关系为（即变形和应力之间关系)
故在平板上,
而
【3.25】设不可压缩流体运动的3个速度分量为
其中为常数。试证明这一流动的流线为const,const两曲面的交线。
解：由流线的微分方程
得
即
积分()得
积分（）得
即证明了流线为曲面常数与曲面常数的交线。
【3.26】已知平面流动的速度场为。求t=1时的流线方程，并画出区间穿过x轴的4条流线图形。
解：流线的微分方程为
时的流线为
或者
即
积分得为流线方程
设时可画出穿过轴的4条流线
【3。27】已知不可压缩流体平面流动,在y方向的速度分量为。
试求速度在x方向的分量.
解：此平面流动必须满足对于二维流动即
以代入
故
故
【3。28】求两平行板间,流体的单宽流量。已知速度分布为.
式中y=0为中心线，为平板所在位置，为常数。
解:如图，由，平板间的速度分布为抛物线分布.
通过截面的体积流量为
则平板间的流量
【3。29】下列两个流动，哪个有旋?哪个无旋?哪个有角变形？哪个无角变形?
（1）,，
(2），，
式中、是常数。
解：（1）判别流动是否有旋,只有判别是否等于零。
所以 流动为有旋流动。
角变形
所以流动无角变形。
(2）
故流动为无旋
同理
【3。30】已知平面流动的速度分布,.试确定流动:
（1）是否满足连续性方程;(2)是否有旋；（3)如存在速度势和流函数，
求出和。
解：(1）由是否为零
得
故满足连续性方程
（2）由二维流动的
得
故流动有旋
(3)此流场为不可压缩流动的有旋二维流动，存在流函数
而速度势不存在
积分得
故
,
因此(常数可以作为零）
【3。31】已知速度势为：(1）；(2），求其流函数。
解：（1）在极坐标系中
当
即
因此
故
得
(2）当时
将直角坐标表达式化为极坐标形式
因此
故
得
【3。32】有一平面流场，设流体不可压缩,x方向的速度分量为
（1） 已知边界条件为,，求；
（2） 求这个平面流动的流函数。
解：（1）由不可压缩流体应满足
即
故
（2)
即
，
得
【3。33】已知平面势流的速度势,求流函数以及通过（0，0）及（1,2)
两点连线的体积流量。
解：由于
由于
，
故流函数为
（取绝对值）
第4章理想流体动力学
选择题
【4.1】 如图等直径水管，A—A为过流断面,B-B为水平面，1、2、3、4为面上各点,各点的运动参数有以下关系：（）；（）；（）;（）。
解:对于恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布规律，即 ,故在同一过流断面上满足 （）
【4。2】伯努利方程中表示（)单位重量流体具有的机械能;（）单位质量流体具有的机械能；(）单位体积流体具有的机械能;()通过过流断面流体的总机械能。
解：伯努利方程表示单位重量流体所具有的位置势能、压强势能和动能之和或者是总机械能.故 (）
【4。3】水平放置的渐扩管，如忽略水头损失,断面形心的压强,有以下关系:(）；()；(）；（）不定。
解:水平放置的渐扩管由于断面1和2形心高度不变，但因此（）
【4.4】粘性流体总水头线沿程的变化是：（）沿程下降；（）沿程上升；（）保持水平；（）前三种情况都有可能。
解：粘性流体由于沿程有能量损失,因此总水头线沿程总是下降的 （）
【4。5】粘性流体测压管水头线沿程的变化是：（）沿程下降;()沿程上升；（）保持水平;(）前三种情况都有可能.
解：粘性流体测压管水头线表示单位重量流体所具有的势能,因此沿程的变化是不一定的。 （）
计算题
【4。6】如图,设一虹吸管a=2m，h=6m,d=15cm.试求：（1）管内的流量；(2）管内最高点S的压强;(3）若h不变，点S继续升高(即a增大，而上端管口始终浸入水内)，问使吸虹管内的水不能连续流动的a值为多大.
解:（1）以水箱底面为基准,对自由液面上的点1和虹吸管下端出口处2建立1-2流线伯努利方程，则
其中，
，
则
管内体积流量
(2）以管口2处为基准,对自由液面1处及管内最高点列1—流
线伯努利方程。则
其中 ，，
，,
即9 807
即点的真空压强
(3)当不变，点增大时,当点的压强等于水的汽化压强时， 此时点发生水的汽化，管内的流动即中止。查表，在常温下（15℃）水的汽化压强为1 697（绝对压强)以管口2为基准,列点的伯
努利方程，
其中 ，,
，
，(大气绝对压强）
即
本题要注意的是伯努利方程中两边的压强计示方式要相同，由于为绝对压强，因此出口处也要绝对压强。
【4.7】如图,两个紧靠的水箱逐级放水,放水孔的截面积分别为A1与A2，试问h1与h2成什么关系时流动处于恒定状态，这时需在左边水箱补充多大的流量.
解：以右箱出口处4为基准，对右箱自由液面3到出口处4列流线伯努利方程
其中
，
则
以左箱出口处2为基准，对左箱自由液面1到出口处2列流线伯 努利方程
其中,
，
故
当流动处于恒定流动时，应有右箱出口处的流量和左水箱流入右 水箱的流量及补充入左水量的流量均相等,即
即
或者
且左水箱需补充的流量为
本题要注意的是左水箱的水仅是流入右水箱，而不能从1—4直接列一条流线。
【4.8】如图，水从密闭容器中恒定出流，经一变截面管而流入大气中，已知H=7m，= 0。3，A1=A3=50cm2，A2=100cm2，A4=25cm2，若不计流动损失,试求：(1)各截面上的流速、流经管路的体积流量;（2）各截面上的总水头.
解：（1）以管口4为基准，从密闭容器自由液面上0点到变截面管出口处4列0－4流线伯努利方程,
其中，
即
由连续性原理，由于故
又由于
故
由于
故
流经管路的体积流量
（2）以管口为基准,该处总水头等于,由于不计粘性损失，因此各截面上总水头均等于.
【4。9】如图，在水箱侧壁同一铅垂线上开了上下两个小孔，若两股射流在O点相交，试证明。
解： 列容器自由液面0至小孔1及2流线的伯努利方程，可得到小孔处出流速度.此公式称托里拆利公式(Toricelli），它在形式上与初始速度为零的自由落体运动一样，这是不考虑流体粘性的结果。
由公式，分别算出流体下落距离所需的时间，其中
经过及时间后，两孔射流在某处相交，它们的水平距离相等， 即，
其中 ,，
因此
即
【4.10】如图， Venturi管A处的直径d1=20cm,B处的直径d2=2cm.当阀门D关闭，阀门C开启时测得U型压力计中水银柱的差h=8mm，求此时Venturi管内的流量.又若将阀门C关闭，阀门D开启，利用管中的射流将真空容器内的压强减至100mm（水银柱）时,管内的流量应为多大。
解：由于本题流体是空气,因此忽略其重力.
从A至B两过流断面列总流伯努利方程
因此（）
若，处的截面面积各为及,由连续方程
得
将上式代入（）式
得
则文丘里管中的流量
倘若阀门C关闭,阀门D开启时,真空容器内的压强减至水 银柱时,
则
即
此时流量
【4。11】如图,一呈上大下小的圆锥形状的储水池，底部有一泄流管,直径d=0。6m，流量因数μ＝0.8，容器内初始水深h=3m，水面直径D=60m，当水位降落1。2m后，水面直径为48m,求此过程所需时间.
解：本题按小孔出流,设某时刻时，水面已降至处,
则由托里拆利公式，泄流管处的出流速度为
储水池锥度为，因此当水面降至处时,水面的直径为
由连续方程在时间内流出的水量等于液面下降的水量
故
由于
故
本题从总的过程是非恒定流，若应用非恒定流的伯努利方程很复杂，为此将整个过程微分，每个微分时间内作为恒定流来处理，然后应用积分的方法来求解.
【4.12】如图，水箱通过宽B=0。9m，高H=1。2m的闸门往外泄流，闸门开口的顶端距水面h=0.6m。试计算（1）闸门开口的理论流量;（2)将开口作为小孔处理时所引起的百分误差.
解：（1）由图
由于，故本题应按大孔出流来处理，将大孔口,沿水平 方向分割成许多小孔，然后对于每一小孔按Torricelli定理
出流速度，小孔面积
理论出流量为
总出流量
（2）当按小孔出流处理时,
出流量
两者引起的相对误差为
【4。13】今想利用水箱A中水的流动来吸出水槽B中的水。水箱及管道各部分的截面积及速度如图所示。试求（1）使最小截面处压强低于大气压的条件;（2）从水槽B中把水吸出的条件。（在此假定〈〈,<〈以及与水箱A中流出的流量相比，从B中吸出的流量为小量。）
解：(1）在及的假定下,本题可看作小孔出流
由Torricelli定理
以处为基准，对水箱自由液面及最小截面建立总流伯努利方程其中 ，
故
要使最小截面处压强低于大气压即为负值必须使
由连续方程得
故
得此时的条