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静电场基本问题总结
静电场的基本问题
一、电场的几个物理量的求解思路
1．确定电场强度的思路
(1)定义式：E=.
(2)库仑定律：E=(真空中点电荷，或近似点电荷的估算问题)．
(3)电场强度的叠加原理，场强的矢量和．
(4)电场强度与电势差的关系：E=(限于匀强电场)．
(5)导体静电平衡时，内部场强为零即感应电荷的场强与外电场的场强等大反向
E感=-E外．
(6)电场线(等势面)确定场强方向，定性确定场强．
2．确定电势的思路
(1)定义式：F=.
(2)电势与电势差的关系：UAB=FA-FB.
(3)电势与场源电荷的关系：越靠近正电荷，电势越高；越靠近负电荷，电势越低．
(4)电势与电场线的关系：沿电场线方向，电势逐渐降低．
(5)导体静电平衡时，整个导体为等势体，导体表面为等势面．
3．确定电势能的思路
(1)与静电力做功关系：WAB=EpA-EpB，静电力做正功电势能减小；静电力做负功电势能增加．
(2)与电势关系：Ep=qFp，正电荷在电势越高处电势能越大，负电荷在电势越低处电势能越大．
(3)与动能关系：只有静电力做功时，电势能与动能之和为常数，动能越大，电势能越小．
4．确定电场力的功的思路
(1)根据电场力的功与电势能的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，WAB=EpA-EpB.
(2)应用公式WAB=qUAB计算：
符号规定是：所移动的电荷若为正电荷，q取正值；若为负电荷，q取负值；若移动过程的始点电势FA高于终点电势FB，UAB取正值；若始点电势FA低于终点电势FB，UAB取负值．
(3)应用功的定义式求解匀强电场中电场力做的功：W=qElcos q.
注意：此法只适用于匀强电场中求电场力的功．
(4)由动能定理求解电场力的功：W电+W其他=DEk.
即若已知动能的改变和其他力做功情况，就可由上述式子求出电场力做的功．

【例1】 电场中有a、b两点，已知Fa=-500 V，Fb=1 500 V，将带电荷量为q=-4´10-9C的点电荷从a移到b时，电场力做了多少功？a、b间的电势差为多少？
解析　电场力做的功为：Wab=Epa-Epa=qFa-qFb=- 4´10-9C´(-500-1 500)V=8´10-6 J
a、b间的电势差为：Uab=Fa-Fb=-500 V-1 500 V=-2 000 V.
答案　8´10-6 J　-2 000 V
变式训练1 如图1是一匀强电场，已知场强E=2´102 N/C.现让一个电荷量q=-4´10-8C的电荷沿电场方向从M点移到N点，MN间的距离l=30 cm.试求：
(1)电荷从M点移到N点电势能的变化；
(2)M、N两点间的电势差．

图1 答案　(1)2.4´10-6J　(2)60 V
解析　(1)由电场力做的功等于电势能的变化量：DEp=-W=-qE×l=4´10-8´2´102´0.3 J=2.4´10-6 J．(2)UMN== V=+60 V.
二、电场力做功与能量转化
1．带电的物体在电场中具有电势能，同时还可能具有动能和重力势能等机械能，用能量观点处理问题是一种简捷的方法．
2．处理这类问题，首先要进行受力分析及各力做功情况分析，再根据做功情况选择合适的规律列式求解．
3．常见的几种功能关系
(1)只要外力做功不为零，物体的动能就要改变(动能定理)．
(2)静电力只要做功，物体的电势能就要改变，且静电力做的功等于电势能的减少量，W电=Ep1-Ep2.如果只有静电力做功，物体的动能和电势能之间相互转化，总量不变(类似机械能守恒)．
(3)如果除了重力和静电力之外，无其他力做功，则物体的动能、重力势能和电势能三者之和不变．

【例2】 一个带负电的质点，带电荷量为2.0´10-9 C，在电场中将它由a移到b，除电场力之外，其他力做功6.5´10-5 J，质点的动能增加了8.5´10-5 J，则a、b两点间的电势差Fa-Fb=____________.
解析　要求两点的电势差，需先求出在两点移动电荷时电场力做的功，而质点动能的变化对应合外力做的功．
设电场力做的功为Wab，由动能定理得：Wab+W=DEk
Wab=DEk-W=2.0´10-5 J
则Fa-Fb==-1.0´104 V. 答案　-1.0´104 V

变式训练2 如图2所示，边长为L的正方形区域abcd内存在着匀强电场．质量为m、电荷量为q的带电粒子以速度v0从a点进入电场，恰好从c点离开电场，离开时速度为v，不计重力，求电场强度大小．

图2 答案　
解析　从a点到c点电场力做的功W=qEL 根据动能定理得W=mv2-mv
所以qEL=mv2-mv 场强大小E=.
三、处理带电粒子在电场中运动问题的两条主线
带电粒子在电场中的运动，是一个综合电场力、电势能的力学问题，研究的方法与质点动力学相同，它同样遵循运动的合成与分解、力的独立作用原理、牛顿运动定律、动能定理、功能原理等力学规律，研究时，主要可以按以下两条线索展开．
(1)力和运动的关系——牛顿第二定律
做好受力分析，根据带电粒子受到的电场力，用牛顿第二定律找出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等．这条线索通常适用于恒力作用下做匀变速运动的情况．
(2)功和能的关系——动能定理
做好受力情况和运动情况的分析，根据电场力对带电粒子所做的功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理或全过程中能量的转化，研究带电粒子的速度变化、经过的位移等，这条线索同样也适用于非匀强电场．

【例3】 如图3甲所示，在平行金属板M、N间加有如图乙所示的电压．当t=0时，一个电子从靠近N板处由静止开始运动，经1.0´10-3s到达两板正中间的P点，那么在3.0´10-3s这一时刻，电子所在的位置和速度大小为(　　)
A．到达M板，速度为零
B．到达P点，速度为零
C．到达N板，速度为零 D．到达P点，速度不为零 图3
解析　在1.0´10-3s的时间里，电子做初速度为零的匀加速直线运动，当t=1.0´10-3s时电子达到P点，之后板间电压反向，两极板间的电场强度大小不变，方向和原来相反，电子开始做匀减速直线运动，由于加速度的大小不变，当t=2.0´10-3s时电子达到M板处，且速度减为零．随后电子将反向做加速运动，当t=3.0´10-3s时电子又回到P点，且速度大小与第一次经过P点时相等，而方向相反．故正确选项为D. 答案　D

变式训练3　如图4所示，水平地面上方分布着水平向右的匀强电场．一“L”形的绝缘硬质管竖直固定在匀强电场中．管的水平部分长为l1=0.2 m．离水平地面的距离为h=5.0 m．竖直部分长为l2=0.1 m．一带正电的小球从管的上端口A由静止释放，小球与管间摩擦不计且小球通过管的弯曲部分(长度极短可不计)时没有能量损失，小球在电场中受到电场力大小为重力的一半．求：
(1)小球运动到管口B时的速度大小；(2)小球着地点与管的下端口B的水平距离．(g=10 m/s2)

图4 答案　(1)2.0 m/s　(2)4.5 m
解析　(1)小球从A运动到B的过程中，对小球根据动能定理有：
mv-0=mgl2+F电l1　　 ①
F电=G=mg. ② 解得：vB=
代入数据可得：vB=2.0 m/s ③
(2)小球离开B点后，设水平方向的加速度为a，在空中运动的时间为t.
水平方向有：a= ④
x=vBt+at2 ⑤
竖直方向有：h=gt2 ⑥ 由③～⑥式，并代入数据可得：x=4. 5 m.
【即学即练】
1．使质量相同的一价正离子和二价正离子分别从静止开始经相同电压U加速后，离子速度较大的是(　　)
A．一价正离子 B．二价正离子
C．两者速度相同 D．无法判断
答案　B 解析　由qU=mv 可得选项B正确．
2. A、B是一条电场线上的两个点，一带负电的微粒仅在电场力作用下以一定初速度从A点沿电场线运动到B点，其速度—时间图象如图5所示．则这一电场可能是(　　)

答案　A 图5
解析　由v-t图可知，微粒的速度减小，加速度增大，可知微粒所受电场力方向由B指向A，从A到B运动过程中电场力大小逐渐变大，结合粒子带负电，可以判断电场线方向由A指向B，且越来越密，A对，B、C、D错．
3. 图6中A、B都是装在绝缘柄上的导体，A带正电荷后靠近B发生静电感应，若取地球电势为零，B和地接触后(　　)

图6
A．导体B上任意一点电势都为零 B．导体B上任意一点电势都为正
C．导体B上任意一点电势都为负 D．导体B上右边电势为正，左边电势为负
答案　A
解析　导体B与大地相连，共同处于正电荷A的电场中，B与大地为等势体，由于取地球电势为零，故B的任一点电势都为零，A项正确．
4. 空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m的带正电的微粒水平射入电场中，微粒的运动轨迹如图7所示，在相等的时间间隔内(　　)

图7
A．重力做的功相等 B．电场力做的功相等
C．电场力做的功大于重力做的功 D．电场力做的功小于重力做的功
答案　C
解析　由题意可知，微粒在竖直方向上做匀变速运动，在相等时间间隔内，位移不等， A、B错；由轨迹可知，微粒所受合外力向上，电场力大于重力．在同一时间间隔内电场力做的功大于重力做的功，C对，D错．

5. 已知四个点电荷q、q、q、q分别分布于边长为a的正方形的四个顶点A、B、C、D处，如图8所示，则正方形中心处的场强大小为(　　)

图8 A. B．0 C．4 D. 答案　C
解析几个点电荷同时存在时，电场中任一点的场强等于这几个点电荷各自在该点产生的电场强度的矢量和，B、D各自在正方形中心产生的场强等大反向，合场强为零，A、C两点的电荷在正方形中心的场强均为E==，方向相同，合场强E总=2E=4，故C对，A、B、D错．

6．在场强E=1.0´102 V/m的匀强电场中，有相距d=2.0´10-2 m的a、b两点，则a、b两点间的电势差可能为(　　)
A．1.0 V B．2.0 V C．3.0 V D．4.0 V 答案　AB
解析　a、b两点所在的直线可能平行于电场线，也可能垂直于电场线，还可能与电场线成任一角度，故Uab最大值为2.0 V，最小值为0,0～2 V之间任一值均正确.

7．带电粒子以初速度v0垂直电场方向进入平行金属板形成的匀强电场中，它离开时偏转距离为y，位移偏角为F，下列说法正确的是(　　)
A．粒子在电场中做类平抛运动 B．偏角F与粒子的电荷量和质量无关
C．粒子飞过电场的时间，取决于极板长和粒子进入电场时的初速度
D．粒子的偏移距离y，可用加在两极板上的电压控制 答案　ACD
解析　粒子受恒定电场力且与初速度垂直，做类平抛运动，A对；由t=可知C对；由y=可知，可以通过改变U的大小来改变y的大小，D对；tan F=，可知偏角F大小与q及m都有关，B错．
8. 如图9所示，绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E，在与环心等高处放有一质量为m、电荷量为+q的小球，由静止开始沿轨道运动，下列说法正确的是(　　)

图9
A．小球在运动过程中机械能守恒 B．小球经过最低点时速度最大
C．小球经过环的最低点时对轨道压力为3(mg+qE)
D．小球经过环的最低点时对轨道压力为3(mg-qE) 答案　BC
解析　小球由静止释放运动到轨道最低点的过程中，重力和电场力对球做正功，机械能增加，A错；由动能定理(mg+qE)R=mv2可知，小球过最低点时速度最大，B正确；球在最低点由牛顿第二定律FN -(qE+mg)=m得FN=3(mg+qE)．故球在最低点对轨道压力为3(mg+qE)，C正确，D错误．

9. 如图10所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、电荷量为-q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB=h，小球滑到B点时的速度大小为.求：
(1)小球由A点到B点的过程中电场力做的功；
(2)A、C两点的电势差．

图10 答案　(1)mgh　(2)
解析　因为Q是点电荷，所以以Q为圆心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件．由A到B过程中电场力是变力，所以不能直接用W=Fl来求解，只能考虑应用功能关系．
(1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：电场力做的功WAB和重力做的功mgh.由动能定理得
WAB+mgh=mv，代入已知条件vB=得电场力做功
WAB=m×3gh mgh=mgh.
(2)因为B、C在同一个等势面上，所以FB=FC，即UAB=UAC.[来源:学§科§网][来源:学+科+网]
由WAB=qUAB，得UAB=UAC== .故A、C两点电势差为.

静电场经典题型
1．下列关于起电的说法错误的是（     ）
A．静电感应不是创造电荷，只是电荷从物体的一个部分转移到了另一个部分
B．摩擦起电时，失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电
C．摩擦和感应都能使电子转移，只不过前者使电子从一个物体转移到另一个物体上，而后者则使电子从物体的一部分转移到另一部分
D．一个带电体接触一个不带电的物体，两个物体可能带上异种电荷
2． 两个完全相同的金属球A和B带电量之比为1：7 ，相距为r 。两者接触一下放回原来的位置，若两电荷原来带异种电荷，则后来两小球之间的静电力大小与原来之比是（     ）
A．16：7           B．9：7           C．4：7           D．3：7
3．下列关于场强和电势的叙述正确的是（     ）
A．在匀强电场中，场强处处相同，电势也处处相等
B．在正点电荷形成的电场中，离点电荷越远，电势越高，场强越小
C．等量异种点电荷形成的电场中，两电荷连线中点的电势为零，场强不为零
D．在任何电场中，场强越大的地方，电势也越高
4．　关于和的理解，正确的是（     ）
A．电场中的A、B两点的电势差和两点间移动电荷的电量q成反比
B．在电场中A、B两点间沿不同路径移动相同电荷，路径长时WAB较大
C．UAB与q、WAB无关，甚至与是否移动电荷都没有关系
D．WAB与q、UAB无关，与电荷移动的路径无关
5．如图所示，a、b、c为电场中同一条电场线上的三点，其中c为线段ab的中点。若一个运动的正电荷先后经过a、b两点，a、b两点的电势分别为a = -3 V 、b = 7 V ，则（     ）

A．c点电势为2 V B．a点的场强小于b点的场强
C．正电荷在a点的动能小于在b点的动能
D．正电荷在a点的电势能小于在b点的电势能
6．在如图所示的实验装置中，平行板电容器的极板B与一灵敏的静电计相连，极板A接地。若极板A稍向上移动一些，由观察到的静电计指针变化作出平行板电容器电容变小的结论，其依据是（     ）

A．两极板间的电压不变，极板上的电量变小 B．两极板间的电压不变，极板上的电量变大
C．两极板上的电量几乎不变，极板间的电压变小
D．两极板上的电量几乎不变，极板间的电压变大
7． 如图所示，在y 轴上关于O点对称的A 、B 两点有等量同种点电荷＋Q ，在x轴上C 点有点电荷－Q ，且CO = OD ，∠ADO = 60° 。下列判断正确的是（     ）
A．O点电场强度为零 B．D点电场强度为零
C．若将点电荷＋q从O点移向C点，电势能增大
D．若将点电荷－q从O点移向C点，电势能增大
8． 如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且AB = BC ，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC ，电势分别为A 、B 、C ，AB、BC间的电势差分别为UAB 、UBC ,则下列关系中正确的有（     ）
A．A＞B＞C B．EC＞EB＞EA
C．UAB＜UBC D．UAB = UBC

9．如图所示，实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带正电粒子的运动轨迹，粒子先经过M点，再经过N点，可以判定（     ）
A．M点的电势大于N点的电势 B．M点的电势小于N点的电势
C．粒子在M点受到的电场力大于在N点受到的电场力
D．粒子在M点受到的电场力小于在N点受到的电场力
10．示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的（     ）

A．极板x应带正电 B．极板x’应带正电 C．极板y应带正电 D．极板y’应带正电

11．　如图所示，一个枕形导体位于带正电小球的附近，A、B为导体的左、右端点，C为导体内的一点。则由于静电感应，A端带      电，B端带      电，C点处的电场强度为       ，A端电势       （填“高于”、“低于”或“等于”）B端电势。若用手接触一下枕形导体的中部，导体将          （填“带不带电或带什么电”）。

12．将一个电量为1×10－6 C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做功2×10－6 J 。从C点移到D点，电场力做功7×10－6 J 。若已知B点电势比C点高3V ，则UDA =          V 。

13．平行板电容器所带的电荷量为Q = 4×10—8C，电容器两板间的电压为U = 2V，则该电容器的电容为            ；如果将其放电，使其所带电荷量为原来的一半，则两板间的电压为            ，两板间电场强度变为原来的           倍，此时平行板电容器的电容为           。
14．如图所示，在匀强电场中有一个等边三角形ABC，且电场线平行于该三角形平面。已知A = ?10V ，B = 2V ，C = ?4V 。用作图法，请在图中画出过C点的等势面和过A点的电场线。

15．如图所示，长度未知的两端封闭的玻璃真空管，内壁光滑，装有A、B两个金属小球，质量、电量分别为m 、3q和3m 、q ，现将真空管与水平面成30°放置时，A球处在管底，而B球恰在管的正中央位置，试求真空管的长度。

16．如图所示，用一根绝缘细线悬挂一个带电小球，小球的质量为m ，电量为q ，现加一水平的匀强电场，平衡时绝缘细线与竖直方向夹θ角。
（1）试求这个匀强电场的场强E大小；
（2）如果将电场方向顺时针旋转θ角、大小变为E′后，小球平衡时，绝缘细线仍与竖直方向夹θ角，则E′的大小又是多少？

17．如图所示，在匀强电场中，有A．B两点，它们间距为2cm ，两点的连线与场强方向成60°角。将一个电量为?2×10?5C的电荷由A移到B，其电势能增加了0．1J。则：
（1）在此过程中，电场力对该电荷做了多少功？
（2）A．B两点的电势差UAB为多少？
（3）匀强电场的场强为多大？

18．如图所示，一质子由静止经电压U0加速后，进入两块间距为d、电压为U的平行金属板之间，若质子从两板正中间垂直于电场方向射入，且刚好能从极板边缘穿出电场。试求：
（1）金属板的长度L；
（2）质子穿出电场时的动能。

参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
D
D
BD
ABC
AD
AC
11．负 ；正 ；零 ；等于 ；带负电 。　　12．2。
13．2×10－8F ；1V ；1/2 ；2×10－8F 。
14．答案：如图所示：

15．答案：2q。
16．答案：（1）；（2）。
17．答案：（1）?0．1J ；（2）5000V ；（3）5．0×105 V/m 。
18．答案：（1）；（2）；