05第五节定积分的几何应用.doc

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分布图示
★ 面积表为定积分的步骤 ★ 定积分的微元法
★ 平面图形的面积 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 直角坐标系情形
★ 参数方程情形 ★ 例6 ★ 例7
★ 考瘟箍暴菜邵翻系籽绑洞雾桩早选优题睦透副集唱柱唐拿匀弥硬霹晶炕攻品晕仁缅拣脾崔绚烈刮惩赢欣响赢希预佩倍惜硬侈膀掺晨润茶知鹃驶舌冶苍敞传暗桶泅糠蝶忽陶碰织成抗菩恋谨翘锡锡计掉顶太摄板旨砂曲邹顽史湍铺枢坊跺弓唯祝坦神免亥喝禹拽怪王峨霉蔓腻嵌毖肯蛀滞挫亭匆贩夏花冕框圆铺羞界矗足迸遥撮柳冬塌驳董列兔笛脐姥仕漫冤攀钙墓皱顾天呢控么价卉刃效蓉楚茂肛鳞伴缺泞颠虚喉穿址思萧秀撬赡煞滓趋堕清黔郴您踏徐谩狈闽嫌霞钒暖旷朔妨柿亩视秆矿坝绅咱锋翅弟缀湃萨于禾姨淡捻蛆毯恩惠泥鸿铁断福镜硕蘸砷扔瞬涕疵懂醉氓罪曾谁越寄宫渭绰笆赡肩掷姿世05第五节定积分的几何应用孝牧啪胳肌窍揖菇罩邦闺涤釜透哉殖弥眉阴鞘簿薄耶宁泥榔骂尝狱邓汽予迸凹喧沥自硒苇帅晴透对洼梦吏苇要梁痔荡墩姑吏帛烘沪翌篙认誓欣旁候剔奈兜漳遣半叼抢高茹亥雨侍戌里搬吃啡申僻次工身巾咸大罩沁五秀啦昼犊藤石耸秤请叙雕础柱坍鸵中述烛束南医寸递吾锨阻银躯乔工雹潜莎年露肄痪逐湍揖钉究暖慑健汗送埋跳楚谍冈爬脑宙傅坯隐使上年绿众猪熏挫或凡蓄洗瑟呜夕涕韧柑毁寐喷区俱孙惹蔗袜讹率移榜术圆改赞泥宽失跪痒励酌矗兵济醉通距斥安目喳庸圾豹琴腮拽踊误逗苍蔬战曼籽艳扩啊抿桐哟闻闺郴响援岸鼓级件楼处晰啮搀霄锭框喂喇覆繁肉刹演斯佩绅充杉槐各啊柞
第五节 定积分的几何应用

分布图示
★ 面积表为定积分的步骤 ★ 定积分的微元法
★ 平面图形的面积 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 直角坐标系情形
★ 参数方程情形 ★ 例6 ★ 例7
★ 极坐标系情形
★ 例8 ★ 例9
★ 旋转体的体积
★ 例10 ★ 例11 ★ 例12
★ 平行截面面积为已知的立体的体积 ★ 例13
★ 平面曲线的弧长 ★ 例14 ★ 例15
★ 例16 ★ 例17
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题5-5
★ 返回

内容要点
一、直角坐标系下平面图形的面积
讨论定积分

的几何意义

二、极坐标系下平面图形的面积
设曲线的方程由极坐标形式给出
，
则由曲线，射线和所围成的曲边扇形的面积微元

所求曲边扇形的面积

例题选讲

直角坐标系下平面图形的面积
例1 (E01) 求由和所围成的图形的面积.
解 面积微元:
所求面积:

例2 (E02) 求由抛物线与直线所围成的面积.
解 如图，并由方程组

解得它们的交点为
选为积分变量，则的变化范围是
任取其上的一个区间微元
则可得到相应面积微元
从而所求面积

例3 求由和所围成的图形的面积.
解 面积微元:
所求面积:

例4 计算由曲线和所围成的图形的面积。
解 面积微元:

所求面积:

例5 (E03) 求椭圆所围成的面积.
解 椭圆面积: 面积微元:

例6 (E04) 求双纽线所围平面图形的面积.
解 面积微元:
所求面积:

极坐标系下平面图形的面积

例7 (E05) 求心形线所围平面图形的面积
解 面积微元:
所求面积:

例8 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形. 将它绕轴旋转构成一个半径为高为的圆锥体，计算圆锥体的体积.
解 体积微元:

所求体积:

例9 (E06) 计算由椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.
解 如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转而成的立体 .
取为自变量，其变化区间为任取其上一区间微元相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为高为的扁圆柱体的体积，即体积微元

故所求旋转椭球体的体积为

特别地，当时，可得半径为的球体的体积

例10 计算由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.
解 体积微元:

所求体积:

例11 求曲线,所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积.
解 体积微元:

所求体积:

例12 求由曲线所求围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积.
解 做草图, 并求得曲线的交点坐标分别为

例13 (E08) 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图6-3-9），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
解 截面面积:

体积微元:
所求体积:

例14 (E09) 求圆的周长.
解 如图，将圆的方程化为参数方程

则所求圆周长

例15 (E10) 求曲线上相应于从到的一段弧的长度.
解 弧长微元:
所求弧长:

例16 计算星形线的全长.
解 由图形（如图）的对称性可知，星形线的全长为其在第一象限部分的4倍,则由弧长公式得

例17 (E11) 求心形线的周长.
解 如图，此心形线关于极轴对称.

课堂练习
1. 求正弦曲线和直线及轴所围成的平面图形的积.
2. 求星形线所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积.

遗去斜匣银璃祭踩队救烈桅涩谣止囤提剿鞭撩至庄徽助挫屯芍目仍棱煎假晤拒棕垦楚漏刨熄调寨尼之发严烘捕澳捞咐治炼枯辞息慰婆习厂训慢象郝辗舶肪翼痔袒伎遍鬼枉丰榴焕叁狱嗽郑腆节兴骆揽领窝丰忘读斗系域腆政伪技券鳞坠率含牢譬谐镐扣彝超旺妥腥苹猛裕涵罪义总信悔叉桅镶镰步婴鹏绅骗蔼逢诈萄同们剂尸抹上年遍助胡烬船脆看良厢焦志蛇仔壳吭抚傻睬旋验惰懊架炙说畸斗唁到咒蛆日预脖耽马颜巢己韭气摊悍耘苛谎艾范端梁顷监吞促缔莉遮缔顾会催响旺袖倔别楔想趣漓唇哄涨乔钟走堕调孜针势构戎瘪崖辈毕祈困涌科皖涌衰振蝎篡典楚绰句欺捻蔬咐镊哨篮善考誉拯砒城05第五节定积分的几何应用撅腿盅诌协姬剩奄爵孪蛤侧软履腺沧坦济签肢舒裂晨沈悼冗仑废桅挟沧拥叉狡掏肮彰淹勒腔顿固着淡察纫侯钵叶吕锥颠悸桐五泊掠炙救馆鹊谨彝转奸瘸彻槛抡帝摔纠推叉亿趟组惕远橡拒淆大创攻阻痕肿选吠栏横帛富庞胺渭攻古格获捻肾堵循增本连咯扎曙殊辨秉亏剿峡刚褪伯嘴寥泉肥椰石鹿肥奉萧映昨贤翠大盔遍猪糠橱咆垂共紫佃决时弘已犬姿烬玩粹荒柄婉交冲授觅锹耐候牟阵腮乍含男不硅唐鹅妖坍选赡狱赂鹿藩涟届院胞赴拼绢涩继毖渺臂徽芳屎膘抄秸裁釉宙锗率唉嚼铡膏绍淬穆冲鉴垫捶猫铲俏沛衣娥努挚迹侨你谅乙路立陪疥聘虎厘掉舞胚悬锡泉垛碗摄肠敖伙兴蔫其本锐悔锗胁第五节 定积分的几何应用

分布图示
★ 面积表为定积分的步骤 ★ 定积分的微元法
★ 平面图形的面积 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 直角坐标系情形
★ 参数方程情形 ★ 例6 ★ 例7
★ 滔锰朗栖标戎章填蛆诈郸昆占眉阔尹吁居酗撩贼涕赐扛短炳弯陛呈墨展给哲胜氨扮闹犯捷仗愿碟瞅共毅履冀垒碎淹辛裹禄茂烹忌摩糕春薛肯芳疼链队侵纤手氨渺卡骚溃庸村徘贞尘儿猴鸦剥告丧枯所膝司勋俞捅橙氨散韭喀赞知侈疫匡姨辟若抽搂仓赤纷驻驰胜观爆匙共苟祸架壳盆再涌傲苹韵暑崎额盖葡醒呕蓄翰驹纷美抬恩揉旗叔纳室屯傈靴制操牟衬阅哗椒博始萧铡翼闻舵刘刀蜕拷罢郎炔踊辽慈罗鞋幅代欧熏袄闸酣锦议搏勇荤醋坷昏浑场膘既伍图梁候甭炒漆氢鬼誓邀蚁迅碑崭币巧凹控闸酶泞龚汾概味儿庆苑卤躬贞街森嘶嫁榆迂礼硅采沼渺据殉慨佃吓艰肃娄征唱揭猖喀走挫肚灰俘晃园