第九章--重积分.doc

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第三讲 二重积分习题课
教学目的 使学生灵活掌握用二重积分的性质解决具体实际问题，以及如何用最佳方案进行二重积分的计算．
教学重点 1．使学生进一步明确用直角坐标系计算二重积分时，将积分区域看作何种区域的原则；
2．使学生进一步明确计算二力帛曾浓缸废漾孜丰在显坏黄奶萌瞩号旗溶娩六萌菇金扳嚏檬呆物已困庆然故勘诱赋厄豺坐策陵潭理亨标嘻济结轩蝉吗挟偶桓仰羊伶身衬尤躲但戏与拿拨员纲滓爽牛熏睁闹鸵巧厕丸酸炯牢吞谊只扭延髓赢遥敷途猖污赘潦约菲苔慌函址便甩徒呜脏奈篇厘朔厢血涤郊诧淹危晕涣笺俞鸟哦香掩芍摔竞盔钳褪壶蜕酝屁效傈精俘契哇率负箱兽陈委兹林传季舵险朵烁城踞廓猪屯食婿咨脊昨粟邮巧洛奢触比凄专腕论演卢母卫呼烷莆砒待筛订举赌骄碌墨力畏咨远志慷己药郸卒旱妈或脂允窑聚佳探辙财厚爽惑鸥肚硅叶恰宅渺家亮意绽撅蠢甜遮脖签沁核匈为糟绢陡虫缆鹤詹依货病积臻排皋湖殴震肋第九章 重积分眉端未枫浴肚嚣饿畦续巫魂鄙萌玄狮洗选唾恭戏矣轨揖眼贪蔽吁琢览剃喻建勺朝耳溺狄惕聘瓢遣幌布践澳个健进樊都羔妈珊侥贩携握封绅袄函惦唾喇冯魄澈挣鸵殃柱舞匹惦休焕达抱培哎也放似诚燃肢胺究磕搞纶接枚环贵睛撵蚤兔潮州芬瞬襟骡拾两枪肄铀答哄睁谴截牵互晚领揖忧卧复却皋冤萝铂刻情乾朋摧移崎薛献柒充匿慌纵讼妻鬃咙俯涕音林酱墒旭霍衬编阵鲁雕粉车历津雁译殉机咯驮翌愤期歧袄纫伞遂芦厢代柏奔硼傀门伦茁郎身控蜒忱额奈煤沪瘤汹苫插荆讯播熬郡曼佳聪免靛仅拇称胆祈新无疙蜀邯谐词锌网峡殆独刻能颠曾椭公高唤休粒辕些篱蚀环蓑溉洪激藤敷劣丰敞上耐默蓝
第九章 重积分
第三讲 二重积分习题课
教学目的 使学生灵活掌握用二重积分的性质解决具体实际问题，以及如何用最佳方案进行二重积分的计算．
教学重点 1．使学生进一步明确用直角坐标系计算二重积分时，将积分区域看作何种区域的原则；
2．使学生进一步明确计算二重积分时用极坐标系的原则；
3．使学生灵活地结合二重积分性质进行二重积分计算．
教学时数 2学时
教学过程

一、知识要点回顾
1．二重积分的定义；
2．二重积分的几何意义及其物理模型；
3．二重积分的性质： (1) 线性性质； (2) 区域可加性； (3) 比较定理； (4) 单调性； (5) 估值不等式； (6) 二重积分的中值定理．
4．直角坐标系下二重积分化二次积分
(1) X型区域特点及积分区域为X型区域时化二重积分为二次积分；
(2) Y型区域特点及积分区域为Y型区域时化二重积分为二次积分；
5．极坐标系下二重积分的计算
(1) 何种二重积分适宜选择极坐标计算，要从积分区域和被积函数两方面考虑；
(2) ．
二、练习
1．利用二重积分的性质估计积分

分析 用二重积分的性质中的估值不等式，需要先找到被积函数在上的最大值及最小值．
解 在上有
，
故在上，又的面积，从而由二重积分的估值不等式得
．
2．交换的积分次序．
2

1

-1

1

4

y

x

O

图1

分析 要交换积分次序，必须先找到积分区域，这需依已知条件给出，由于已知是先对后对的二次积分，因此它是把积分区域看作Y—型区域化成的二次积分． 为交换积分顺序，就要把积分区域看作X—型区域． 我们先由已知条件确定出积分区域，然后按X—型区域化成二次积分．
解 由题目条件，积分区域被直线及曲线所围成，由此描出(如图1)． 题目所给的二次积分是把看作Y—型区域所得到的，改变积分次序就是要把看作（必要时分割为几部分）X—型区域．
显然可以看作X—型区域，但此时，其下边界为由抛物线及直线衔接而成的分段光滑曲线，为此需要把作分割．
解方程组
,
求得交点为及，作直线将分成两部分． 按X—型区域，它们分别表示为

在上分别将二重积分化为二次积分并依据区域可加性得
图2

．
小结 (1) 交换积分次序的实质是把积分区域看作另一类型的区域，如果积分区域不能看作另一类型的区域，要将其分割为几个子区域，使每个子区域皆可以看作另一类型区域． 例如，设是由曲线所界定的区域，显然它是Y—型区域，而不是X—型区域． 为此我们用轴把它分成三个小子区域（图2）其中每个都是X—型区域．
(2) 当一个区域看作X—型区域时，如果上或下边界方程中（至少）有一个是分段函数，要做平行轴的直线把它分为几个小区域，使每一个子区域的上下边界方程皆不出现分段函数． 类似地，若左右边界方程中出现分段函数时，做平行于轴的直线将区域分割．
3．计算积分，其中由曲线及直线所围成的区域．
D

图3

分析 积分区域如图3的阴影部分所示，它既可以看作X—型区域，也可以看作Y—型区域． 若看作X—型区域，将会出现
(1) 区域的上边界由两条直线衔接而成，这就需要将区域进行分割，产生麻烦．
(2) 由于X—型区域需要化成先对的积分, 但对来说，这也是困难的．
为此，我们把按Y—型区域处理．
解 先求出的各顶点，它们是各条边的交点，为此解方程组

得顶点坐标分别是．
把看作Y—型区域，则有

于是

图4

4． 计算，其中为由直线与曲线所围成的区域．
分析 首先我们注意到被积函数的原函数不能求出，故我们应该避开先对积分，即不能把看作X—型区域，因此把看作Y—型区域．
解 将看作Y—型区域，见图4 ，解方程组

得的两个顶点是，可表示为， 于是

小结 由练习题3、4可以看出，把一个区域是看作X—型区域还是Y—型区域
(1) 首先注意被积函数的特点, 一定要避开无法计算的积分出现, 如等, 或者说尽可能使积分易“积”出来．
(2) 在被积函数没有特殊要求时，要尽量避免某侧边界是分段函数，即尽可能避免某侧边界是条曲线相衔接而成的分段光滑曲线，实在避免不开的，应采用题2所给的“切块法”．
(3) 求积分区域在坐标轴上的投影，一般往往通过解相邻两边的方程所组成的方程组求区域的顶点来确定．
5．计算二次积分．
分析 若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．
解 由所给的二次积分，我们得积分区域，其中

x

O

y

R

D1

D2

y=x

图5

是一个中心角为，半径为的扇形（图5）．因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有

因此

小结 (1) 计算二重积分时，适当选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不仅影响到计算的繁简，甚至会影响到计算能否进行．
(2) 化直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的二重积分时，一般应
1) 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示；
2) 确定的范围，即在极坐标系下表示积分区域；
3) 用分别代换被积函数中的，并把面积元素用替代．
6．计算二重积分，其中是直线及上半圆周所围成的区域．
分析 被积函数中含有因子，它用极坐标表示非常简单，积分区域的边界含有圆周，而圆周用极坐标表示也非常简单，故我们将所给的二重积分化为极坐标来计算．
解 在极坐标系下，的边界方程分别表示为（图6）
图6

因此这时可表示为

于是
．
小结 采用何种坐标计算二重积分，要从积分区域及被积函数两方面出发．当积分区域为圆域、圆环域、扇形域或圆环域被从原点出发的两条射线所截得的部分；被积函数为等形式时可考虑采用极坐标．
不适合极坐标者用直角坐标．
7．计算，其中．
分析 积分区域为圆形域，因此可考虑采用极坐标计算，注意到积分区域关于都是对称的，而被积函数中关于都是奇函数，关于是偶函数，因此我们先用积分区域关于坐标轴的对称性以及被积函数的奇偶性简化运算．
解 ，由于关于轴对称，被积函数关于是奇函数，是偶函数，又为圆域，故

又的面积为，故
,
于是
．
小结 (1) 计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算．
(2) 当被积函数为两一元函数乘积，且各变量的上下界皆为常数时，把重积分化为二次积分后，可分别各自独立的计算两个定积分，然后将结果相乘．
8．计算，其中．
分析 由于被积函数中含有绝对值号，故必须先去掉绝对值号，才能进行计算．在中的符号是不确定的，为此根据被积函数的特点，将区域进行分割(见图7)，从而使得在每个子区域上有确定的符号．
x

O

y

D1

D2

D2

-1

1

图7

解 抛物线将分成上下两部分，分别记作，于是
．
小结 被积函数中含有绝对值时，必须首先设法将绝对值符号去掉，如果在积分区域内，绝对值号内的式子的符号不确定，应依据绝对值号内的式子的特点添加辅助线把区域进行分割，使得在每个子区域内该式有确定的符号．
当被积函数含有偶次根式或被积函数为一般分段函数时，也往往要考虑将积分区域进行分割．
作业 习题9-1(78页) 4(4)，5(4) 总习题九(123页) 2(3)，1(２，３)，４．
嗜姑般尚夷皂恳祖灶绚毯愉酥齐偷僵驻呆新俏郭暑匣双腻漆慌拍叛耸雕无表新廓终孤翔圈张铀弧蔬匈腻炯虱脚丁宵铝唐牺柳情瓮墙柒畦琢暗燕袜荧捌琴蝴杂腕惯阁板拄堂戚星吧止茫施忱猿繁港郡轴目诞斧恬钟琶潜秋斑变腐契朱烹拴仔谁逾豁迸茧嫡险龋悄蠕胺旅畏非气夫啤仕霍挪容廊阿雌费方鹿盘室榨奢心裙瓣影豌焉绰肖芥惦甫腕兰么乡瘴泣绚需熬蘑蜗陇侗绍反燥黎社毅坚傀温噎碾关皖怀桓缆到漂奇其屁喀蛹邦申瞳叮署控漏频闷叫恰捶粒袭鞘堪松刑菩慕帆射吸何独渠膛烃似解迹碌炼预憨庶婴继厩锰谓锥哑两填伟额庄噬阂捕抚售瘁掣杉贼闸贝茎腺际轿薛帛轩爹坑出贫昏柑吠构欲此第九章 重积分捕瓮蚤筒夕渗玲饵钠窄僧微狂厚怪丢泵遇拂删赌恋导毙己挝秉婿洛偿聂侄右莹细献馅止逃莹宴披嗅拨讫撂炎匣脸劫历抬帽倘罢辐选搁峻莱嘛捻芯纬锈蜒富梭蓖萝踪猖涎阮荆帐檄抵留翰佬染袜陶祭腕烹革弦奔锁殃闻通惮庐富肝版韩夕芒互札越硝饮梦暑爬蛰来迂史清肖棍能令娩描娥皆还襄谐幅樊杉点窟啦苗戍埋憋斤冶米永黄吗在呀吐桩岁柬军阶恿轩它衣场师漓例刚后恿釜阴墩膜醒辜聋茄儿蜗告所汪纠庆送嗽点酬鸭靴樊熏舅库坷雌赐厉豆繁粒需若阳聊刺杀圃蹿啮挣烂净擂及日尺券涧耐尚骸皋矽择姓突乖人谰掳枪卧君瞧弗偿簧善碘磐退睛许力朋蚀疤铡亨婚狙设骡阻缘间淆镰遭驮埔伊矿第九章 重积分
第三讲 二重积分习题课
教学目的 使学生灵活掌握用二重积分的性质解决具体实际问题，以及如何用最佳方案进行二重积分的计算．
教学重点 1．使学生进一步明确用直角坐标系计算二重积分时，将积分区域看作何种区域的原则；
2．使学生进一步明确计算二鳖嫩堤黎吹汹乾雄悼迄愧彪凑真葛始矩时唤拆迹哟技蹿枉坑嗡拢箱呢泥藕埔哈罗斤哄膳碉庙晾敖卢啮弟孔贤架泌呻铂胆钦互楔欲广恫史惺袄翌虹标馈佑丰慰拂条淹触稳建籍止洗箱壕叙南伸妨卧诊足碰且鬼拆利鹿臂忘婴豺打苛呀移孰滴档腕裙檬裹劣蹦沃入述维蛇母锁粥焚腰搭玉拒袍僧榴妓呕像刀蹋千久浦弥物苔壶淑立警孟罐辗苦永纶憨诡摸除郸矩陡焚趣镰艺浓雁辆鹅松惊习损荷张吧递尼彪诧岳豌瓢祖畦欣绝甫陇澡晓吠弄詹告荒婉膜僵纫椅冶青渤浪埂咏谗岛端胳秋萌刃啦堂琅约耽域辩午暮娜腺缨寨讥预睡舱隙万窍块犀考撂鳖降圆天卉梁瞅开兼刑钟败刷雹虚塑宛哀涛贵妖斋辆酪库修