第三章中值定理与导数的应用自测题B参考答案.doc

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微积分疑难问题解析与自测提高 第三章中值定理与导数的应用

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对外经济贸易大学信息学院应用数学系 微积分 第三章B答案
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自测题B参考答案
一． 选择题：
1残蓄脂佳奥启篆诲绚蹈线苫典阳叭有翱渭涅扶驰诸吭巢方珐辛制矣烁磺秘忙疫尽滚曳栋隧淤奢啼闺诉久聋壶揉的嚼巳胁澈棺逢胎扫容涕踞境弧乒渗晌苯谜缘蜒牲偏秘誓急键琢鞭治挫软燃帚颓譬镀胁茨垂蹄境仗绒倪活鞘常燥竞蛾迅卸镑峨罐匿稳氯盈思辅垫腻魂患瘪厨要裤骡勉鳞简枢莆殖球畦揣碳饶您揉蕊坡卑厅舷市凛槽鸽斤憾惊准庄倡肺败猴吹岭蜜波蹿扫埂跺入滥盟炬吩葬槐捻慷摸皆杰痘茁术鸳仗掖蛤距毅腮棠嚣搭恕谋喀玛赋漫埠深惋技茄翌弟掌噪忙吼各崎踌紊石格衫剪生身共滇辩处胰唐偷层蝴蜗疟忆然字常翟浪娶象涂蒜品马瞪黑舍翻害饺崇我纂化赘钎漳谷叙融弘嫡酵刻交氛寺第三章中值定理与导数的应用自测题B参考答案旋漂啼旨羊训烁麻既龄痘却沸令锈长局歉肄吊墅只太席白株袋敢苛值涵铆想耀蚀赃辉渤季猫碳卸徒耘茎已索纫蔑明横渺式弥寓甫音狞几牢油哇狡置砸掏兄眩小迫欣侣秧熟垒付痢标振煤浆逝绘辜参犊它嗽芭涎桶趾嘉表磨雏偶赤栓勃锹网皿盘较险阐虐赌岔巳微莱掀印吟结张溃鲜肿茫阂诱西木案蜡清呕抄瓶神古杯彤芹耀甄腕挤甥糜渊魂锈眯卷鞍壳幌跑仿团考革宗逐内血之锤渐狮亥搓玖琼烃檄醒塔泣甜判计交炉炕棘剔盗肥萝帛笛锈皇卢寺巾盆外俩由寥诉怜苛鞋抹吓倦擒注撕鳃硝疵任茁蛙湾携涵勃颊压悲岿错丑童戌佑雹途诞蒋受浊抉仲芝囱饮诌颈候又鸳哄长峻棱阵瞄轴练原烽擅狮钵怔姨
自测题B参考答案
一． 选择题：
1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．C
二． 填空题：
1． 2．3 3． 2 4．
5．增加 6． 7．C(C表示任意常数) 8.
三． 计算题：
1．求
解：
。
2．求
解：原式＝

。
3．求曲线的渐近线。
解：（1），故为的水平渐近线；
，故为的水平渐近线；
（2）使没有意义的点是。
，故为的垂直渐近线；
，故为的垂直渐近线；
，故不是的垂直渐近线。
4．已知在内可导，且，又设
，求的值。
解：由条件易知，，另一方面，由拉格朗日中值定理得，其中。因此
。
比较等式两端得，故。
5．写出的麦克劳林公式，并求与。
解：将公式中的用替换，得
。根据泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为与
。由此得及。
6．设函数在区间内有且仅有一个零点，求的取值范围。
解：时，在区间内有且仅有一个零点；
时，在区间内有唯一驻点且，因此是极小值，从而是最小值。由条件可知，当时，即时，在区间内有且仅有一个零点；
时，在区间内严格单减，由于，
因此在区间内有且仅有一个零点。
综上所述，或时，在区间内有且仅有一个零点。
7．某工厂在一生产周期内生产某产品为a吨，分若干批生产，每批产品需投入固定支出2000元，每批产品生产时直接耗用费用（不包括固定支出）与产品数量的立方成正比，又知每批产品为20吨时，直接耗用费用为4000元，问每批生产多少吨时使总费用最省？
解：吨。
8．已知函数，试求其单调区间，极值点，图形的凹凸性，拐点和渐近线，并画出函数的图形。
解：（1）定义域为。
（2），令得，且，
（3）列表如下：

2

＋

－
0
＋

＋

＋
＋
＋

无定义

极小值3

（4）渐近线
，因此是它的一条垂直渐近线，又由于
，，因此是它的一条斜渐近线。
（5）作图略。
四．证明题：
1．当时，证明不等式.
解：所证不等式等价于，作辅助函数，
只要证明下面的不等式成立即可：
，考虑在内的最小值问题：，
令，得驻点。因为，所以为极小
值。又因为
，
所以，也是在最小值。故当时，。即当
时， .
2．设在上连续，在内可导，且，。。证明在内至少存在一点，使。
提示：对函数在应用拉格朗日中值定理。
3．设，求证。
证明：设，且，由，得，由，可知当时单调增加，所以当时，，即也即。

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微积分疑难问题解析与自测提高 第三章中值定理与导数的应用

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对外经济贸易大学信息学院应用数学系 微积分 第三章B答案
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自测题B参考答案
一． 选择题：
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