抛物线与圆的综合知识讲解.doc
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1、拔高专题 抛物线与圆的综合一、基本模型构建常见模型思考圆与抛物线以及与坐标系相交,根据抛物线的解析式可求交点 坐标 ,根据交点可求三角形的 边长 ,由于圆的位置不同,三角形的形状也不同。再根据三角形的形状,再解决其它问题。二、拔高精讲精练探究点一:抛物线、圆和直线相切的问题例1: (2015崇左)如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(5,4),M与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点(1)则点A,B,C的坐标分别是A (2,0) ,B (8,0) ,C (0,4) ;(2)设经过A,B两点的抛物线解析式为y=(x-5)2+k,它的顶点为E,求证:直线EA与M相切;(3)在抛物线的对称轴上,
2、是否存在点P,且点P在x轴的上方,使PBC是等腰三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由(1)解:连接MC、MA,如图1所示:M与y轴相切于点C,MCy轴,M(5,4),MC=MA=5,OC=MD=4,C(0,4),MDAB,DA=DB,MDA=90,AD=3,BD=3,OA=5-3=2,OB=5+3=8,A(2,0),B(8,0);(2)证明:把点A(2,0)代入抛物线y=(x-5)2+k,得:k=-,E(5,-),DE=,ME=MD+DE=4+=,EA2=32+()2=,MA2+EA2=52+=,ME2=,MA2+EA2=ME2,MAE=90,即EAMA,EA与M相切;(
3、3)解:存在;点P坐标为(5,4),或(5,),或(5,4+);理由如下:由勾股定理得:BC=4,分三种情况:当PB=PC时,点P在BC的垂直平分线上,点P与M重合, P(5,4);当BP=BC=4时,如图2所示:PD=,P(5,);当PC=BC=4时,连接MC,如图3所示:则PMC=90,根据勾股定理得:PM=,PD=4+,P(5,4+);综上所述:存在点P,且点P在x轴的上方,使PBC是等腰三角形,点P的坐标为(5,4),或(5,),或(5,4+)【变式训练】(2015柳州)如图,已知抛物线y=-(x2-7x+6)的顶点坐标为M,与x轴相交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴相交于点C
4、(1)用配方法将抛物线的解析式化为顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),并指出顶点M的坐标;(2)在抛物线的对称轴上找点R,使得CR+AR的值最小,并求出其最小值和点R的坐标;(3)以AB为直径作N交抛物线于点P(点P在对称轴的左侧),求证:直线MP是N的切线(1)解:y=-(x2-7x+6)=-(x2-7x)-3=-(x-)2+,抛物线的解析式化为顶点式为:y=-(x-)2+,顶点M的坐标是(,);(2)解:y=-(x2-7x+6),当y=0时,-(x2-7x+6)=0,解得x=1或6,A(1,0),B(6,0),x=0时,y=-3,C(0,-3)连接BC,则BC与对称轴x=的交点为R,连
5、接AR,则CR+AR=CR+BR=BC,根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小,最小值为BC=3设直线BC的解析式为y=kx+b,B(6,0),C(0,-3),解得,直线BC的解析式为:y=x-3,令x=,得y=-3=-,R点坐标为(,-);(3)证明:设点P坐标为(x,-x2+x-3)A(1,0),B(6,0),N(,0),以AB为直径的N的半径为AB=,NP=,即(x-)2+(-x2+x-3)2=()2,化简整理得,x4-14x3+65x2-112x+60=0,(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)=0,解得x1=1(与A重合,舍去),x2=2,x3=5(在对称轴的右侧,舍去),
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