三角函数图像和性质习题课(含答案).doc
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三角函数的图像和性质习题课 例1.若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是偶函数,则φ满足的条件是______. 解析 y=Asin(ωx+φ)是偶函数,即关于y轴对称 ∴sin φ=±1,∴φ=kπ+(k∈Z). 例2.函数y=sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x=对称,则φ的最小值为________. 解析 y=sin 2x向右平移φ个单位得y=sin(2x-2φ)x=是一条对称轴, 则2×-2φ=kπ+(k∈Z∴φ=-(k∈Z),∴φ的最小值为. 例3.将函数y=sin(2x+θ)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则θ的值为________. 解析 设f(x)=sin (2x+θ),则f=sin=sin. 由已知,f=sin.∴+θ=,∴θ=-. 例4.设ω>0为常数,函数y=2sin ωx在上单调递增,则实数ω的取值范围是__________. 答案 0<ω≤ 例5.关于f(x)=4sin(x∈R),有下列命题 (1)由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍; (2)y=f(x)的表达式可改写成y=4cos; (3)y=f(x)图象关于对称; (4)y=f(x)图象关于x=-,对称. 其中正确命题的序号为________.(将你认为正确的都填上) 解析 对于①,由f(x)=0,可得2x+=kπ(k∈Z). ∴x=π-(k∈Z),∴x1-x2是的整数倍,∴①错;对于②,f(x)=4sin利用公式得:f(x)=4cos=4cos. ∴②对; 对于③,f(x)=4sin的对称中心满足2x+=kπ(k∈Z),∴x=π-(k∈Z),∴是函数y=f(x)的一个对称中心.∴③对; 对于④, 函数y=f(x)的对称轴满足2x+=+kπ(k∈Z),∴x=+(k∈Z).∴④错. 例6.(创新拓展)已知f(x)=-sin2x+sin x+a, (1)当f(x)=0有实数解时,求a的取值范围; (2)当x∈R,有1≤f(x)≤,求a的取值范围. 解 (1)由f(x)=0,有a=sin2x-sin x=2-. 当sin x=-1时,amax=2;当sin x=时,amin=-.∴a∈. (2)由1≤f(x)≤有1≤-sin2x+sin x+a≤,即a≤sin2x-sin x+和a≥sin2x-sin x+1对k∈R恒成立.由sin2x-sin x+=2+4≥4,得a≤4.由sin2x-sin x+1=2+≤3,得a≥3. 故3≤a≤4. 练习: 1.函数y=sin的周期是________,振幅是________,当x=________时,ymax=________;当x=________时,ymin=________. 答案 4π 4kπ+π (k∈Z) 4kπ-(k∈Z) - 2.把函数y=sin 的图象向 __ __ ____,可以得到函数y=sin 的图象. 解析 由y=sin , 而y=sin=sin(x-+), 即将y=sin向右平移个单位,得y=sin. 3.将正弦曲线y=sin x上各点向左平移个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,则所得图象解析式为______________. 解析 由y=sin x向左平移得y=sin,再把横坐标伸长到原来的2倍,得y=sin. 4.函数y=的值域为____________. 答案 5.求函数y=3-4sin x-4cos2x的最大值和最小值,并写出函数取最值时对应的x的值. 解 y=3-4sin x-4cos2x=4sin2x-4sin x-1 =42-2,令t=sin x,则-1≤t≤1, ∴y=42-2 (-1≤t≤1) ∴当t=,即x=+2kπ或x=+2kπ(k∈Z)时,ymin=-2; 当t=-1,即x=+2kπ (k∈Z)时,ymax=7. 6.函数y=asin+b的值域为,求a的值,以及原函数的单调递增区间. 解 (1)当a>0时,∴a=,b=2,∴y=sin+2. 又∵-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z.∴-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z. ∴原函数的单调递增区间为,k∈Z. (2)当a<0时,∴a=-,b=2.∴y=-sin+2. 又∵+2kπ≤x+≤π+2kπ,k∈Z.∴+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. ∴原函数的单调递增区间为,k∈Z. 7.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,若φ∈. (1)试求这条曲线的函数表达式; (2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象. 解 (1)由题意知A=,T=4×=π,ω==2,∴y=sin(2x+φ). 又∵sin=1,∴+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ+,k∈Z, 又∵φ∈,∴φ=.∴y=sin. (2)列出x、y的对应值表: x - π π π 2x+ 0 π π 2π y 0 0 - 0 描点,连线,如图所示: 8.(创新拓展)已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为. (1)求f的值; (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间. 解 (1)函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为 ∴T=2×=π,∴ω===2,∴f(x)=2cos 2x,则f=2cos=. (2)由(1)知f(x)=2cos 2x,向右平移个单位得 y=2cos再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,得g(x)=2cos 由2kπ≤x-≤2kπ+π,k∈Z得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z 即函数g(x)=2cos的递减区间为,k∈Z.- 配套讲稿:
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