三角函数的图像与性质习题及答案.doc

§4.3　三角函数的图象与性质
(时间：45分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
2．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)
A．(－π，0) B.
C. D..
3．(2010·江西)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)
A. B.
C. D.
4．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
5． “x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．若函数f(x)＝2sin ωx (ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为________．　
7．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________________．
8．(2010·江苏)设定义在区间(0，)上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
9．给出下列命题：
①函数y＝cos是奇函数；
②存在实数α，使得sin α＋cos α＝；
③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；
④x＝是函数y＝sin的一条对称轴；
⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称图形．
其中正确的序号为________．(填所有正确的序号)
三、解答题(共41分)
10．(13分)已知f(x)＝sin x＋sin.
(1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝，求f(α)的值；
(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．
11．(14分)设函数f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
12．(14分)已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f 且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
答案　1.B 2.B 3.C 4.A 5.A
6. 7. (k∈Z) 8. 9.①④
10. 解　(1)由题设知f(α)＝sin α＋cos α.
∵sin 2α＝＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，
∴α∈，sin α＋cos α>0.
由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝，
得sin α＋cos α＝，∴f(α)＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin，又0≤x≤π，
∴f(x)的单调递增区间为.
点评　求解三角函数的单调区间时一定要注意定义域与周期对其单调性的影响．
11. 解　(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，又－π<φ<0，则－<k<－，
∴k＝－1，则φ＝－.
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.
点评　在根据对称轴x＝求出φ时，易忽略条件－π<φ<0，所以本题在求φ时，是一个易错点．
12. 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，
∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f ＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0得g(x)>1，∴4sin－1>1，
∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.
点评　注意到a>0使本题避免了讨论．本题的计算量较大是易错点，解题时要多加
注意．