反例在教学中的作用.doc

JIUJIANG UNIVERSITY
毕 业 论 文

题 目 反例在教学中的作用
院 系 理学院
专 业 数学教育
姓 名 谭燕燕
年 级 B0912班
指导教师 孔祥文

2012年 4月 4 日

目录
摘要…………………………………………………………………………(3)
关键词……………………………………………………………………（3）
引言………………………………………………………………………(3)
1反例的含义…………………………………………………………………(3)
2反例的来源与构造…………………………………………………………（5）
3、 反例在数学教学中的作用…………………………………………………（5）
3.1能够帮助学生正确全面地理解数学概念……………………………（6）
例题1…………………………………………………………………（ 6）
3.2能够增强学生发现问题、纠正错误的观念…………………………（8）
例题2……………………………………………………………… （8）
例题3………………………………………………………………（9）
3.3使学生理解并掌握数学中的有关定理、性质……………………（9）
例题4………………………………………………………………（9）
3.4加深学生对教学公式、法则的正确理解…………………………（9）
例5…………………………………………………………………（10）
3.5提高学生否定错误的命题的能力 ………………………………（10）
例6…………………………………………………………………（10）
4、运用反例必须注意一些问题………………………………………（11）
5、总结 …………………………………………………………………（12）
参考文献………………………………………………………………(13)

反例在教学中的作用

【摘要】
　　数学是一门缜密的科学,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，在数学发展史中，反例与证明有着同等重要的地位。尤其是在揭示事物的虚假性时，有其特殊的魅力，起着十分重要的作用。所谓反例,通常是用来说明一个命题不成立的例,即符合命题的条件但与命题的结论相矛盾的例。在数学中要证明一个命题成立,就要严格地论证在符合题设的各种可能的情况下结论都成立,而要推翻一个命题,却只要指出在符合题设的某个特殊情况下结论不成立,也就是只要举出一个反例就行。
【关键词】
反例 来源 构造 辨证 作用
【引言】
反例，就是故意变换事物的本质属性．使之质变为其他知识，在引导思辩中，从反面突出事物的本质属性的否定例证。在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念。反例在数学、哲学和自然科学中都有重要的应用。举例来说，对一个命题：所有的天鹅都是白色的。这是一个全称命题，声明对于某类事物全体（所有的天鹅），都有某个性质（是白色的）。为了说明这个命题不是真的，只需要举出一个例子，其对象属于这类事物，但不具有命题中声称的性质就可以了。这样的例子称为反例：一只不是白色的天鹅就是这个命题的反例。反例的威力来源于形式逻辑，它与证明是相反相成的两种逻辑方法。论证是用已知为真的判断，确定另一个判断的真实性；而反例是用已知为真的事实去揭露另一判断的虚假性。它们都是为了揭示事物的本质和内在联系。美国数学家B.R.盖尔鲍姆说：“冒着过于简单的风险，我们可以说（撇开定义、陈述以及艰苦的工作不谈）数学由两大类——证明和反例组成，而数学也是朝着两个主要的目标——提出证明和构造反例”发展。
数学中的反例通常是指符合某个命题的条件,但又与该命题结论相矛盾的例子,也 即指出某命题不成立的例子.在数学的发展史中,反例和证明有着同等重要的地位.一个正确的数学命题需要严密的证明,谬误则靠反例即可否定.
如何帮助学生学好数学?首要问题是帮助,促使学生掌握好基本概念和基本性质.解决这一问题的有效方式之一,是重视和恰当的使用反例. 因此,在数学的学习中,反例有着极为重要的意义,举反例的方法在数学学习中应经常为同学们所用,它会使同学们对概念,定理,公式的理解更全面,透彻, 它在发现和认识数学真理,强化数学基础的理解和掌握,以及培养学生的思维能力和创造能力等方面的意义和作用是不可低估的.
在数学中，要证明一个命题成立，需严格地论证由已知条件推理出结论。而要证明一个命题错误，十分简洁而又极具说服力的办法就是举反例。下面我将从反例的来源与构造，反例在数学教学中的作用，运用反例应该注意的问题这三个方面来论述。

一， 反例的来源与构造对于数学学科
证明一个猜想是真实的,必须经过严格的推理论证;证明一个猜想 是假的,只须找到猜想命题的反例.在数学学习中,出现了这样一种现象,教师为了说明一个命题为假命题, 举出一个反例, 说明反例虽然满足命题的条件, 却无命题的结论, 但反例怎样得到呢?教师很少分析甚至不做分析.学生感到老师确实高明,从肚子里能 掏出一个一个非常具有说服力的反例,就像舞台上的魔术师,能从帽子里掏出一个又一个白鸽,虽然非常精彩,却是观众学不会的. 与获得证明的方法一样,反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动,其方法 包括:观察与实验,归纳,分析与综合,概括与抽象等,反例决不能凭空得到。 第一：从定义入手获得反例 概念是数学学科的细胞,是反映事物本质的思维形式.在逻辑学中,定义是明确概念内涵的逻辑方法.在数学问题中,若首先给出一个概念的定义,然后判断一个猜想是否正确,则反例的获得常常需要从定义入手。第二：运用特殊化,运动变化的思想获得反例特殊化一般是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一上较小的集合或 仅仅一个对象,特殊化在求解问题时常常用到.
二， 反例在数学教学中的作用
反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉 被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论.它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成.它承认世界的局部可能在一定条件下.过程中,在某一方面(形态,结构,信息,功能, 时间,能量等)表现出与整体的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以 是连续的,因而拓展了视野. 虽然分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特1975 年首 先提出的, 但最早的工作可追朔到 1875 年, 德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托德国数学家)构 造了有许多奇异性质的三分康托集.1890 年,意大利数学家皮亚诺构造了 填充空间的曲线.1904 年,瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘 的一类曲线.1915 年,波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一 样的几何图形.这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉.以后,这一领域的研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只 是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来.
1，运用反例进行教学，能够帮助学生正确全面地理解数学概念
数学概念的教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的。
　例1：关于函数的概念，不少学生片面地认为：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，为了帮助学生澄清、纠正这一错误认识，可向学生提出这样的两个问题：
(1)人的身高与年龄成函数关系吗？
(2)若 ， 则y是x的函数吗？
　　结果不少学生都认为(1)人的身高与年龄有关系，因而人的身高与年龄构成函数关系。而(2)中由于，因变量y不随x的变化(y＝1)，故y不是x的函数。老师学生一起参与讨论。发现问题(1)里，尽管人的身高与年龄有关系，但年龄并不能确定人的身高，即当自变量(人的年龄)发生变化时，因变量(身高)没有完全确定的值和它对应，因此不符合函数的定义。而在问题(2)里，对每一个给定的x值(在x的定义域内)，y随x总有唯一确定的值(y＝1)和它对应，只不过当x变化时，y的值始终不变罢了。由此使学生认识到y是x的函数，并非一定要求y随x的变化而变化。
通过所举两个反例的学习，学生便自觉地体会到：对变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。
教学中，概念、定理、公式一般采用正面阐述的形式，学生往往对一些关键性词语认识不够，对所给条件理解不透彻，不能抓住它的本质属性，只是机械地记忆概念、定理的名称和公式的结构。如果遇到概念、定理、公式的名称相近或结构类似，就容易造成理解上的混淆。比如“36的平方根是多少？”有的同学会不假思索回答：“6”。说明他们没有把“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”这个概念搞清楚。此时只要举出反例“”，就加深了理解，很有说服力。
再如：“定理：对角线相等且互相平分的四边形是矩形”与“定理：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”内容很相近，公式与结构形式相近，学生搞不清楚。因此在教学中，诸如此类的问题，讲述时多举反例，（也可鼓励学生举反例），达到强化理解的作用。
2、引入反例进行教学，能够增强学生发现问题、纠正错误的观念。
学生在解题中经常出现差错且不易发现、纠正。对此，可以引入反例，让学生学习、讨论，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。
例2：学生在判断两个相关联的量是否成反比例的量时，往往不是很清楚，如下面的一个实例：小美总共要做10道数学题，已经做了的题和没有做的题是否是成反比例的。
错解：已经做了的题和没有做的题是成反比例的。
有大多数的学生认为这是对的，他们没有充分理解成反比例的三个条件，这个题只满足了前面的两个而没有满足第三个：两个量的乘积一定。这个题是两个量的和一定，此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因，从而更加深刻的理解成反比例的三个条件。
例3：学生解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象，如下面的一个实例： 解方程：
错解:方程两边同乘以， 得： , 即x＝0
经检验知x＝0是原方程的解。
学生们看完后竟有一半人认为这个解答正确，理由是由把x＝0代入方程两边相等。于是，我又举了一个简单的分式方程如何去分母？此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因是去分母时漏乘(方程右边未乘以，于是学生便迅速地得出正确解法。
通过上面两个例子的教学，例2:使学生能更好的理解成反比例的三个条件是缺一不可的，要同时满足三个条件才是成反比例的量。例3加深了学生对解分式方程去分母不要漏乘的印象。同时，也使学生认识到，解答结果对并不能保证解题过程的正确。(有时计算结果往往一种偶然的巧合)，收到了较好的教学效果。
在教学实践中，经常会遇到学生证明命题时会出现错误或无据可依。构造反例不仅可使学生发现错误，澄清是非，更重要的是从反例中得到较、好的补救。找出自己的漏洞，获得正确的结论。
3、构造反例进行教学，能够使学生理解并掌握数学中的有关定理、性质
学生在学习一个新的定理、性质时，往往会忽略定理、性质中的关键词语，从而造成解题的错误。为了克服这一现象，教学中要善于构造反例，帮助学生牢记关键词语，达到正确理解并掌握定理、性质。
例4，垂径定理的推论1“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”，学生常会忽略括号中的限制条件，误记为“平分弦的直径垂直于弦”。
教学时可以构造反例，如：圆中任意两条直径，虽然它们互相平分，但不一定互相垂直，由此来纠正这一错误，加深对限制条件的理解。
4、引用反例进行教学，能够加深学生对教学公式、法则的正确理解而达到灵活运用
学生在学习有关公式、法则时，经常会忽略这些公式、法则的运用范围，使用时不注意分析具体条件而生搬硬套，铸成错误。因此，教学中不仅要向学生讲清、交代公式、法则的适用条件，而且要适当引用一些反例，加深他们对这些公式、法则的理解而达到有效的掌握。
例5：先化简，再求值，当a=2时。
　　甲：原式:=0
　　乙：原式=2
你认为谁正确，为什么？
此例是有绝对值的化简公式的应用，导致两种截然相反结果的原因是绝对值中a-3的值是大于0还是小于0，由题意知a=2时 ，因此故乙正确。通过此例甲、乙两同学计算过程的对比，让我们明显体会到今后在化简有绝对值式子时，一定要注意绝对值内a的符号，否则会出现两种完全不同的结果。
5、运用反例进行教学，能够提高学生否定错误的命题的能力
判断一句话（或一种理论）的真伪，首当其充的方法选择就是构造反例。这是由反例自身的特点决定的。它具有直观、简明、清晰、说服力强等特点，因而在澄清是非，揭示错误，否定命题时显示出它特殊的震撼力。
数学中有些问题，若从正面角度讲，学生会感到模糊、理解不透，甚至还会产生错误的判断，为了提高学生正确识别、判断能力，教学时应突出反例，借助于反例来提高学生否定错误的能力。
例6，负数就是在一个数的前面加一个负号。许多学生都认为是正确的，其实，它是一个假命题，只要构建一个反例即能说明。如果这个数本来就是一个负数，在它的前面再加一个负号那么这个数就变成了一个正数了。再如果这个数是0，在0的前面加个负号还是0。所以这句话是错误的。
反例的功能是显而易见的，通过上面简单探讨，不难看出它是理解数学概念的有力工具，也是纠正错误的有效方法，还是强调条件的得力措施，更是否定谬论的锐利武器。
数学是一门缜密的科学,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系。在数学学习中,让学生掌握严密的逻辑推理的同时,应鼓励学生多去举反例,这才能更深刻掌握数学基础知识,多层面、多角度观察思考问题,提高其数学修养与培养科学研究能力，“反例的运用可以强化推理的严谨性,培养思维的批判性,发展逆向思维想象力和创造性，“举反例的过程,就是使我们的数学能力逐步提高的过程”。
总结：反例在数学学习中要注意的一些问题在学习中重视和恰当运用反例,不仅可以调动我们的积极性,养成重视条件,严格 推理的习惯,而且还可以提高我们的数学能力和学习能力.
三．反例的功能和作用虽然很大，但在学习中,运用反例必须注意一些问题:
1．注意主次.学习中主要学习概念,定理和方法,对于基本的命题和结论应予以严格的 证明和推导.但举反例重在说明结构,辩清是非,故我们对反例掌握要求不能太高,它应是围绕主要内容而进行的有效的辅助学习手段。
2, 注意适当.反例应是经过挑选的,既要简单又要能说明问题.学生自己构造的反例难度应当适当,以免浪费很多时间和精力,且容易有挫败感.不同的学习内容,对运用不同的反例,有不同的要求. 总之, 只有符合学习的实际情况, 才能使反例在数学的学习中发挥真正的作用。
总结：反例能培养学生良好的发散性思维和创造性思维。在数学教学过程中，教师往往过于偏重演释论证的训练，注意培养学生的逻辑思维能力上。要知道解决问题固然重要，但没有发现问题何来的解决问题？为了克服教师的这一习惯教法，在教学中要鼓励学生敢于提出问题，不要对学生的问题或猜想给予讽刺和挖苦，甚至是打击，要引导学生在某些定理的条件、结论、某些定义的适用范围等要敢于猜想，对不是现成的定理要着眼于发现和创新，自己提出问题，猜想结果，使反例这一工具得以充分应用，这不仅可以使学生的创新能力得以提高，同时更有利于学生开展研究性学习，从而有效地提高教学质量。
反例能优化解题过程。解题是一种数学能力，获得问题的解答是智力活动与非智力活动协调统一的结果。对于中学生来说，解题是他们必须掌握的数学能力。通过解题，可以考察他们对知识的掌握情况。某段时间学生解题能力的变化，不仅代表着学生学习能力增强或降低，也暗示着学生在这段时间的心理特征。因此，教师在教学过程中更要注重学生解题能力的培养，时刻关注学生学习和心理的变化。学生在做数学题时遇到难以解决的问题是正常的现象，但是大多数学生总是千方百计地从正面寻找解题的出路，即使在他们一次次失败之后仍然想不到，是否可以举出一个反例来否定命题。

参考文献 : 1、王知人.浅谈反例的教学功能.教学研究.2000 年9月第 23 卷
2、郭要红.反例的来源与潜在功能.数学教学.2003 年 6 月
3、罗增儒 《数学解题引论》 陕西师范大学出版社
4、李文铭 《初等几何教学研究》《数学史》陕西师范大学出版 社
5、杨放辉 《中外教学研究》 2004年3月
6、郭天印 《教育科学研究》 2003年 第二期

13