数学模型概论1市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学模型数学模型 v主讲：王秀莲主讲：王秀莲 张东丽（理论）张东丽（理论）v 黄渊丰（软件、实践）黄渊丰（软件、实践）第1页教材及主要参考书教材及主要参考书1.姜启源姜启源,谢金星谢金星,叶俊叶俊.数学模型数学模型(第三版第三版).高等教育出版社高等教育出版社.2.徐全智，杨晋浩徐全智，杨晋浩.数学建模数学建模（第二版）（第二版）.高等教育高等教育出版社出版社.3.（新西兰）（新西兰）Mark M.Meerschaert 著著.刘来福，杨淳，黄海洋刘来福，杨淳，黄海洋 译译.数学建模数学建模方法与分析（原书第二版）方法与分析（原书第二版）.机械工业出版社机械工业出版社.4.刘来福刘来福,曾文艺曾文艺.数学模型与数学建模数学模型与数学建模.北京师范大学出版社北京师范大学出版社.5.雷功炎雷功炎.数学模型数学模型八讲八讲.北京北京大学出版社大学出版社.第2页数学建模发展史数学建模发展史v美国从美国从1938 年以来，在大学生中举行了年以来，在大学生中举行了50多多届普特南届普特南(Putnam)数学竞赛，这项竞赛对数学竞赛，这项竞赛对培养青年数学家有主动作用，但弗萨罗教授培养青年数学家有主动作用，但弗萨罗教授发觉这项竞赛有三个问题：发觉这项竞赛有三个问题：一是过于纯粹，而大多数学生将从事各种领域应一是过于纯粹，而大多数学生将从事各种领域应用问题；用问题；二是不能用计算工具，不能看参考书，与时代发二是不能用计算工具，不能看参考书，与时代发展，与真正科研条件不一样；展，与真正科研条件不一样；三是个人独立做，而当代科学研究往往要一个团三是个人独立做，而当代科学研究往往要一个团体合作进行。体合作进行。第3页v于是他和一些看法相同同行发起，在于是他和一些看法相同同行发起，在1985 年年举行了美国大学生首届数学建模竞赛举行了美国大学生首届数学建模竞赛(Mathematical Competition in Modeling)，1988 年后改称为年后改称为Mathematical Contest in Modeling，均缩写为，均缩写为MCM，以后每年举，以后每年举行一次，它吸引了世界上许多国家和地域大行一次，它吸引了世界上许多国家和地域大学生参加。学生参加。第4页v自自1989 年以来，我国学生还主动参加美国大学生数年以来，我国学生还主动参加美国大学生数学建模竞赛，近年来我国参赛队数靠近于其总数三学建模竞赛，近年来我国参赛队数靠近于其总数三分之一，而且还取得了很好成绩，充分展示出我国分之一，而且还取得了很好成绩，充分展示出我国大学生智慧和创造性。大学生智慧和创造性。v我国大学生数学建模竞赛是从我国大学生数学建模竞赛是从1992 年开始，由中国年开始，由中国工业与应用数学学会举行。这一新生事物从一开始工业与应用数学学会举行。这一新生事物从一开始就受到广大师生欢迎和各级教育部门关心与重视。就受到广大师生欢迎和各级教育部门关心与重视。并从并从1994 年起改由教育部高教司和中国工业与应用年起改由教育部高教司和中国工业与应用数学学会联合举行，并成立了全国组委会来详细组数学学会联合举行，并成立了全国组委会来详细组织竞赛。织竞赛。第5页课程介绍课程介绍 数学建模当前我国高等教育基础课程教数学建模当前我国高等教育基础课程教学改革前沿课程之一。它为学生正确了解数学改革前沿课程之一。它为学生正确了解数学教育主要性以及数学学科与其它很多专业学教育主要性以及数学学科与其它很多专业课之间内在联络有着非常主要作用，它是学课之间内在联络有着非常主要作用，它是学生在学期间弥合基础理论与各应用学科之间生在学期间弥合基础理论与各应用学科之间鸿沟一座桥梁。鸿沟一座桥梁。第6页建模竞赛题目vA题 储油罐变位识别与罐容表标定vB题 上海世博会影响力定量评定vC题 输油管布置vD题 对学生宿舍设计方案评价 第7页1.现实状况现实状况:数学建模是一门新兴学科，数学建模是一门新兴学科，20世纪世纪70年代初诞年代初诞生于英、美等当代工业国家。在短短几十年历史瞬生于英、美等当代工业国家。在短短几十年历史瞬间辐射至全球大部分国家和地域。间辐射至全球大部分国家和地域。80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，伴随数学建模教学活动（包含数学建模课模课程，伴随数学建模教学活动（包含数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）开程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）开展，这门课越来越得到重视，也深受广大学生喜爱。展，这门课越来越得到重视，也深受广大学生喜爱。第8页原因：原因：一是因为新技术尤其是计算机技术飞速发展，大量实一是因为新技术尤其是计算机技术飞速发展，大量实际问题需要用计算机来处理，而计算机与实际问题际问题需要用计算机来处理，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。之间需要数学模型来沟通。二是社会对大学生要求越来越高二是社会对大学生要求越来越高，大学生毕业后要适，大学生毕业后要适应社会需求，一到工作岗位就能创造价值。应社会需求，一到工作岗位就能创造价值。第9页2 2 课程特点课程特点很强实用性：教材内容来自于实际。很强实用性：教材内容来自于实际。知识广泛性：依赖于各方面基础知识。知识广泛性：依赖于各方面基础知识。内容趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。内容趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。教学方式多样性：教师讲授方式，小组讨论方式，教学方式多样性：教师讲授方式，小组讨论方式，学生汇报方式，课堂教学方式等。学生汇报方式，课堂教学方式等。第10页3 教学目培养学生处理实际问题综合能力。培养学生处理实际问题综合能力。1 1）“双向翻译双向翻译”能力能力 2 2）利用数学思想进行综合分析能力）利用数学思想进行综合分析能力3 3）结合其它专业尤其是应用计算机处理问题能力）结合其它专业尤其是应用计算机处理问题能力4 4）观察力和想象力）观察力和想象力 5 5）提升撰写科研论文能力）提升撰写科研论文能力6 6）团结协作精神）团结协作精神第11页数学模型：数学模型：1 1）近藤次郎（日）定义：数学模型是将现象特征）近藤次郎（日）定义：数学模型是将现象特征或本质给以数学表述数学关系式。它是模型一个。或本质给以数学表述数学关系式。它是模型一个。2 2）本德（美）定义：数学模型是关于部分现实世）本德（美）定义：数学模型是关于部分现实世界和为一个特殊目标而作一个抽象简化数学结构。界和为一个特殊目标而作一个抽象简化数学结构。3 3）姜启源（中）定义：是指对于现实世界某一特）姜启源（中）定义：是指对于现实世界某一特定对象，为了某个特定目标，依据特有内在规律，定对象，为了某个特定目标，依据特有内在规律，做出一些必要简化和假设，利用适当数学工具得到做出一些必要简化和假设，利用适当数学工具得到一个数学结构。一个数学结构。第12页数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法数学题、图形图表等，这些基于数学思想与方法数学问题。问题。总之，数学模型是对实际问题一个抽象，基于数总之，数学模型是对实际问题一个抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物本质属性与其命题、图形图表等来刻画客观事物本质属性与其内在联络。内在联络。第13页数学建模过程数学建模过程航行问题航行问题：甲乙两地相距甲乙两地相距750750千米，船从甲到乙顺千米，船从甲到乙顺水航行需水航行需3030小时，从乙到甲逆水航行需小时，从乙到甲逆水航行需5050小时，小时，问船速、水速各多少？问船速、水速各多少？用用 分别代表船速、水速，能够列出方程分别代表船速、水速，能够列出方程解方程组，得解方程组，得答：船速、水速分别为答：船速、水速分别为2020千米千米/小时、小时、5 5千米千米/小时。小时。第14页v当然，实际问题数学模型通常要复杂得多，不过建当然，实际问题数学模型通常要复杂得多，不过建立数学模型基本思想已经包含在解这个代数应用题立数学模型基本思想已经包含在解这个代数应用题过程中了。那就是：过程中了。那就是：依据建立数学模型目标和问题背景做出必要简化假设依据建立数学模型目标和问题背景做出必要简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求未知（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求未知量（量（x，y 代表船速和水速）；代表船速和水速）；利用对应物理或其它规律（匀速运动距离等于速度乘以利用对应物理或其它规律（匀速运动距离等于速度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程）；时间），列出数学式子（二元一次方程）；求出数学上解（求出数学上解（x=20，y=5)；用这个答案处理问题（船速和水速分别为用这个答案处理问题（船速和水速分别为20km/h 和和5 km/h)；最终还要用实际现象来验证上述结果。最终还要用实际现象来验证上述结果。第15页数学建模过程数学建模过程v现实对象信息v数学模型解答v现实对象解答数学模型表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型关系第16页建立数学模型方法和步骤建立数学模型方法和步骤1 1、方法方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部机理机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部机理 规律。规律。统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在规律。行分析，得到其内在规律。如：多元统计分析。如：多元统计分析。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题研究方法。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题研究方法。把定性思维和结论用定量伎俩表示出来。把定性思维和结论用定量伎俩表示出来。如：层次分析法。如：层次分析法。第17页 数学建模示例数学建模示例建模示例之一建模示例之一 椅子稳定性问题椅子稳定性问题问题：将四条腿一样长正方形椅子放在不平地面问题：将四条腿一样长正方形椅子放在不平地面上，是否总能设法使它四条腿同时着地，即放稳上，是否总能设法使它四条腿同时着地，即放稳？实际上：将四条腿一样长正方形椅子放在不平地实际上：将四条腿一样长正方形椅子放在不平地面上，通常只有三只脚着地，方不稳，然而只要面上，通常只有三只脚着地，方不稳，然而只要稍微挪动几次，就能够使四只脚同时着地，放稳稍微挪动几次，就能够使四只脚同时着地，放稳了。怎样用数学工具来证实？了。怎样用数学工具来证实？第18页1 1假设假设 2 2 1 1）地面为光滑曲面；）地面为光滑曲面；3 3 2 2）相对地面弯曲程度而言，椅子腿是足够长；）相对地面弯曲程度而言，椅子腿是足够长；4 4 3 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面接）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面接 触视为几何上点接触；触视为几何上点接触；5 5 4 4）椅子中心不动。）椅子中心不动。第19页xyAABBCCDDO2 2 建模分析建模分析表示表示A,CA,C与地面距离之和与地面距离之和表示表示B,DB,D与地面距离之和与地面距离之和则由三点着地，有则由三点着地，有不失普通性，设初始时：不失普通性，设初始时：表示椅子绕中心旋转角度表示椅子绕中心旋转角度第20页假设：假设：是是 连续函数，连续函数，且且 对任意对任意 ，求证：最少存在求证：最少存在 ，使得，使得3数学模型数学模型数学命题：数学命题：第21页4 4 模型求解模型求解证实：证实：将椅子转动将椅子转动 ，对角线交换，由，对角线交换，由可得可得令令由由 连续性，连续性，依据介值定理，在依据介值定理，在 中至中至少存在一点少存在一点 ,使得使得 ,即即又又所以所以结论：能放稳。结论：能放稳。第22页思索题思索题1 1：长方形椅子会有一样：长方形椅子会有一样 性质吗？性质吗？第23页建模步骤建模步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型建立模型建立模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用第24页1）模型准备：了解问题实际背景实际背景，明确建模目目，掌握对象各种信息各种信息如统计数据等，搞清实际对象特征特征。有时需查资料或到相关单位了解情况等。建模步骤建模步骤第25页2）模型假设：依据实际对象特征特征和建模目标目标，对问题进行必要地合理地简化必要地合理地简化。不一样假设会得到不一样模型。假如假设过于简单可能会造成模型失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物体重问题”；假如假设过于详细，试图把复杂实际现象各个原因都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题主要方面和次要方面，抓主要原因，尽可能将问题均匀化、线性化。第26页3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题本质，简化变量之间关系；要有严密数学推理，模型本身要正确；要有足够准确度。4）模型求解：能够包含解方程、画图形、证实定理以及逻辑运算等。会用到传统和近代数学方法，计算机技术（编程或软件包）。尤其地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。第27页6）模型检验：把模型分析结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发觉新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决议控制。第28页模型分类模型分类1）按变量性质分：）按变量性质分：离散模型离散模型确定性模型确定性模型 线性模型线性模型单变量模型单变量模型连续模型连续模型随机性模型随机性模型 非线性模型非线性模型 多变量模型多变量模型2）按时间改变对模型影响分）按时间改变对模型影响分静态模型静态模型参数定常模型参数定常模型动态模型动态模型参数时变模型参数时变模型第29页3 3）按模型应用领域（或所属学科）分）按模型应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。数量经济学模型、数学社会学模型等。4 4）按建立模型数学方法（或所属数学分支）分）按建立模型数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。第30页5）按建模目分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6 6）按对模型结构了解程度分）按对模型结构了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚学科问题，包含力白箱模型：其内在机理相当清楚学科问题，包含力学、热学、电学等。学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚现象和问题，灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚现象和问题，包含生态、气象、经济、交通等。包含生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚现象，黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚现象，如生命科学、社会科学等。如生命科学、社会科学等。第31页练习练习1 1 某甲早某甲早8 8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午午5 5时抵达山顶并留宿；次日早时抵达山顶并留宿；次日早8 8时沿同一条路径时沿同一条路径下山，下午下山，下午5 5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中时回到旅店。某乙说，甲必在两天中同一时刻经过路径中同一地点。为何？同一时刻经过路径中同一地点。为何？A AB B甲甲乙乙第32页2 23737支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场每支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场每两支球队中胜者及轮空者进入下一轮，直至比两支球队中胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？共进行多少赛结束。问共需进行多少场比赛？共进行多少轮？假如是轮？假如是n n支球队呢？支球队呢？普通思维：普通思维：第33页逆向思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了就是淘汰了3636名球队，所以比赛进行了名球队，所以比赛进行了3636场。场。共进行共进行6 6轮比赛。轮比赛。n n队需要队需要n-1n-1场比赛场比赛若若 ，则需要，则需要k k轮。轮。第34页3 3 某人家住某人家住T T市在异乡工作，天天下班后乘火车于市在异乡工作，天天下班后乘火车于6 6时抵达时抵达T T市车站，它妻子驾车按时到车站接他回市车站，它妻子驾车按时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于家。一日他提前下班搭早一班火车于5 5时半抵达时半抵达T T市车站，随即步行回家，它妻子像往常一样驾车市车站，随即步行回家，它妻子像往常一样驾车前来，在半路上碰到他接回家时，发觉比往常提前来，在半路上碰到他接回家时，发觉比往常提前了前了1010分钟。问他步行了多长时间？分钟。问他步行了多长时间？车车站站家家5 5：3030相遇相遇早早1010钟钟5 5分钟分钟5 5分钟分钟6 6：00005 5：5555共走了共走了2525分钟。分钟。第35页4 4甲乙两站有电车相通，每隔甲乙两站有电车相通，每隔1010分钟甲乙两站互发分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人天天在随机时刻抵达丙站，并搭乘最间站丙，某人天天在随机时刻抵达丙站，并搭乘最先经过丙站那趟车，结果发觉先经过丙站那趟车，结果发觉100100天中约有天中约有9090天抵天抵达甲站，仅约有达甲站，仅约有1010天抵达乙站。问开往甲乙两站天抵达乙站。问开往甲乙两站电车经过丙站时刻表是怎样安排？电车经过丙站时刻表是怎样安排？8:008:108:208:30甲至乙甲至乙乙至甲乙至甲xX-8:00=0:09 x=8:098:098:19第36页5一男孩和一女孩分别在离家一男孩和一女孩分别在离家 2 km 和和 1 km 且方且方向相反两所学校上学，天天同时放学后分别以向相反两所学校上学，天天同时放学后分别以4 km/h和和 2 km/h 速度步行回家。一小狗以速度步行回家。一小狗以6 km/h速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔走了男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔走了多少旅程？多少旅程？6 假如男孩和女孩上课时小狗也往返奔走在他假如男孩和女孩上课时小狗也往返奔走在他们中间，问当他们抵达学校时小狗在何处？们中间，问当他们抵达学校时小狗在何处？第37页6 某人由某人由A处到处到B处去，途中需到河边取些水，以处去，途中需到河边取些水，以下列图。问走那条路最近？（用尽可能简单方下列图。问走那条路最近？（用尽可能简单方法求解。）法求解。）dAB河河第38页思索题思索题 思索题思索题1 长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题第39页oxyABCD 思索题思索题1 长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题表示表示A,B与地面距离之和与地面距离之和表示表示C,D与地面距离之和与地面距离之和则由三点着地，有则由三点着地，有ACABCD第40页讨论题讨论题1 大小包装问题大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品廉价这种现象吗？比如洁银牙膏商品廉价这种现象吗？比如洁银牙膏50g装每支装每支1.50元，元，120g装每支装每支3.00元，二者单位重量价格比元，二者单位重量价格比是是1.2:1，试用百分比方法结构模型解释这种现象。，试用百分比方法结构模型解释这种现象。（1）分析商品价格）分析商品价格C与商品重量与商品重量w关系。关系。（2）给出单位重量价格）给出单位重量价格c与与w关系，并解释其关系，并解释其 实际意义。实际意义。第41页提醒：提醒：决定商品价格主要原因：决定商品价格主要原因：生产成本、包装成本、其它成本。生产成本、包装成本、其它成本。单价随重量增加而降低单价随重量增加而降低单价降低随重量增加逐步降低单价降低随重量增加逐步降低第42页思索题思索题2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩赛艇是一个靠浆手划桨前进小船，分单人艇、双赛艇是一个靠浆手划桨前进小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不一人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不一样，但形状相同。样，但形状相同。T.A.McMahon比较了各种赛艇比较了各种赛艇19641970年四次年四次m比赛最好成绩比赛最好成绩(包含包含1964年和年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间关系。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间关系。第43页艇种艇种vm成绩t(min)艇长艇长l(m)艇宽艇宽 b(m)l/bW0(kg)与与n之之比比1234平均平均单人单人7.16 7.257.28 7.17 7.217.930.29327.016.3双人双人6.87 6.926.95 6.77 6.889.760.35627.413.6四人四人6.33 6.426.48 6.13 6.3211.750.57421.018.1八人八人5.87 5.925.82 5.73 5.8418.280.61030.014.7各种艇比赛成绩与规格各种艇比赛成绩与规格第44页建模示例之三建模示例之三 安全渡河问题安全渡河问题问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河任一岸，一旦二人，由他们自己划行。随从们密约，在河任一岸，一旦随从人数比商人多，就杀人越货。不过怎样乘船渡河大随从人数比商人多，就杀人越货。不过怎样乘船渡河大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？第45页