数学建模培训讲座市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、数学建模课程 (Mathematics Modeling)数学建模培训主讲教师:任驰远第1页建模普通步骤及范例建模普通步骤及范例2评阅标准及论文写作评阅标准及论文写作4试题分析及论文导读试题分析及论文导读3 3建模普通思维方法建模普通思维方法3 1第2页2评阅标准及论文写作评阅标准及论文写作4试题分析及论文导读试题分析及论文导读3 3建模普通思维方法建模普通思维方法3 1建模普通步骤及范例建模普通步骤及范例第3页群体思维方法群体思维方法 平等地位、相互尊重、充分交流平等地位、相互尊重、充分交流杜绝武断评价杜绝武断评价不要回避责任不要回避责任不要对交流失去信心不要对交流失去信心 第4页发散性思维
2、方法发散性思维方法借助于一系列问题来展开思绪借助于一系列问题来展开思绪这个问题与什么问题相同?这个问题与什么问题相同?假如将问题分解成两个或几个部分会怎样?假如将问题分解成两个或几个部分会怎样?极限情形(或理想状态)怎样?极限情形(或理想状态)怎样?综合问题条件可得到什么结果?综合问题条件可得到什么结果?要实现问题目标需要什么条件?要实现问题目标需要什么条件?借助于下意识联想(灵感)来展开思绪借助于下意识联想(灵感)来展开思绪抓住问题个别条件或关键词展开联想或猜测抓住问题个别条件或关键词展开联想或猜测综合所得到联想和猜测,得到一些结论综合所得到联想和猜测,得到一些结论深入思索找出新思绪和方法深
3、入思索找出新思绪和方法第5页建模普通步骤及范例建模普通步骤及范例2评阅标准及论文写作评阅标准及论文写作4试题分析及论文导读试题分析及论文导读3 33 1建模普通思维方法建模普通思维方法第6页 数学建模普通步骤数学建模普通步骤问题分析问题分析模型假设模型假设建立模型建立模型模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用问问题题分分析析了解实际背景了解实际背景明确建模目搜集相关信息搜集相关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清楚比较清楚问题问题第7页模模型型假假设设针对问题特点和建模目作出合理、简化假设作出合理、简化假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中
4、建建立立模模型型用数学语言、符号描述问题用数学语言、符号描述问题发挥想象力发挥想象力使用类比法使用类比法尽可能采取简单数学工具尽可能采取简单数学工具 数学建模普通步骤数学建模普通步骤第8页模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术.如结果误差分析、统计分析、如结果误差分析、统计分析、模型对数据稳定性分析模型对数据稳定性分析.模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较,与实际现象、数据比较,检验模型合理性、适用性检验模型合理性、适用性.模型应用模型应用 数学建模普通步骤数学建模普通步骤第9页1、问题分析、问题分析 问题前期分析问题前期分析 包含:包含:
5、明确问题、分析条件、分析数据明确问题、分析条件、分析数据 为何问题前期分析至关主要?为何问题前期分析至关主要?数学建模问题往往含混不清数学建模问题往往含混不清,可能原因有可能原因有:*提出问题人未能清楚地表述问题提出问题人未能清楚地表述问题.*不一样领域人交流出现故障不一样领域人交流出现故障.*各领域应用者提出问题时,未给出恰当各领域应用者提出问题时,未给出恰当条件条件.*未能准确了解问题未能准确了解问题.第10页 对问题进行充分前期分析以前对问题进行充分前期分析以前,过早着手决问过早着手决问题题,往往会陷入一些意想不到陷阱往往会陷入一些意想不到陷阱,或者偏离处理或者偏离处理问题方向问题方向.
6、(1)明确问题明确问题例例1 一家大商业印刷企业经理就关于应该雇一家大商业印刷企业经理就关于应该雇 多少推销员问题咨询你意见多少推销员问题咨询你意见.“终究需要做什么?终究需要做什么?”为明确问题为明确问题,可向相关人员问询以下问题:可向相关人员问询以下问题:1.企业规模有多大?企业规模有多大?2.该企业推销员工作方式?该企业推销员工作方式?碰到一个新问题时碰到一个新问题时,首先应问自己首先应问自己第11页着眼点着眼点是对各类推销队伍工作效果进行分析是对各类推销队伍工作效果进行分析 原问题原问题“推销员人数问题推销员人数问题”明确为:明确为:(1 1)不一样规模销售队伍会有什么影响;)不一样规
7、模销售队伍会有什么影响;(2 2)怎样从他们销售工作中获取最大收益)怎样从他们销售工作中获取最大收益.明确了工作目标明确了工作目标,即设置好问题目标态即设置好问题目标态.第12页(2)条件及数据分析条件及数据分析 设置好问题目标态,着手工作还需要做设置好问题目标态,着手工作还需要做以下工作:以下工作:1.1.搜集必要资料和数据。搜集必要资料和数据。2.2.分析现有数据和条件,使问题深入分析现有数据和条件,使问题深入 明确化。明确化。第13页怎样搜集数据和资料?怎样搜集数据和资料?可在各类图书馆、网上查阅、向教授问询、可在各类图书馆、网上查阅、向教授问询、经过试验来得到经过试验来得到。搜集数据应
8、列入工作计划,并注意:搜集数据应列入工作计划,并注意:1.1.向相关人员调查情况应事先设计好问题;向相关人员调查情况应事先设计好问题;2.事先确定所需资料清单、资料起源、事先确定所需资料清单、资料起源、搜集方式。搜集方式。第14页有条理收集计划可认为后期工作创造良好条件 对搜集到或者现有资料和数据要做对搜集到或者现有资料和数据要做仔细分析,使问题深入明确仔细分析,使问题深入明确。5.哪些条件是能够变动?等等哪些条件是能够变动?等等2.数据起源是否可靠?数据起源是否可靠?3.所给条件有什么意义?所给条件有什么意义?4.哪些条件是本质?哪些条件是本质?还应该分析还应该分析1.从数据中可得到什么信息
9、?从数据中可得到什么信息?第15页建建模模过过程程中中几几个个关关键键点点模型整体设计模型整体设计合理假设合理假设建立数学表示式建立数学表示式建立数学结构建立数学结构时刻牢记建模目2、建立模型建立模型第16页完整数学模型应该同时描述出完整数学模型应该同时描述出相关原因之间相关原因之间数量关系数量关系和和结构关系结构关系。应清楚变量、变量之间数学表示式在整个应清楚变量、变量之间数学表示式在整个模型中模型中地位地位和和作用作用.例例1 考虑一个简化城镇供水系统考虑一个简化城镇供水系统,水是由水库经水是由水库经由管道流入水箱由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水再由水箱向各用户供水.问题:问题:怎样才
10、能怎样才能有效地保障有效地保障各用户正惯用水?各用户正惯用水?(1)(1)模型整体设计模型整体设计第17页按下述步骤对模型进行整体设计按下述步骤对模型进行整体设计 1.分析系统组成部分分析系统组成部分(研究对象、实体)(研究对象、实体)相关实体有:水库相关实体有:水库,管道管道,水箱和用户水箱和用户.*实体间实体间结构关系结构关系可表示以下:可表示以下:水库水库管道管道水箱水箱用户用户*以上各实体都可能是我们研究对象以上各实体都可能是我们研究对象.*应分析相对于各个实体原因对供水影响应分析相对于各个实体原因对供水影响2.分析各实体之间关系分析各实体之间关系,找出联络各实体找出联络各实体变量变量
11、.第18页实体之间作用关系图实体之间作用关系图 各各实实体体之之间间关关系系 管道与水箱:管道水流量管道与水箱:管道水流量水库与管道:水库水深水库与管道:水库水深水箱与用户:出水口水流量水箱与用户:出水口水流量 (或有效水深(或有效水深)用户:总用水量用户:总用水量 3.依据各实体相互关系,依据各实体相互关系,提炼整理需考虑提炼整理需考虑变量变量以及变量之关系表示式以及变量之关系表示式.第19页 假设假设“水库能确保管道所需水流量水库能确保管道所需水流量”,现需考虑现需考虑t 时刻以下变量:时刻以下变量:*总需水量总需水量D(t);*水箱有效储水量水箱有效储水量Q(t)及及 QM;或流出水流量
12、或流出水流量F(t)及)及 FM;*管道能提供供水量管道能提供供水量G(t)及及GM.分析各变量特征:分析各变量特征:*D(t)不可控,但能够对其进行描述;不可控,但能够对其进行描述;*G(t)是可控变量。是可控变量。第20页4.4.用数学语言描述用数学语言描述要处理问题要处理问题 选择适当函数选择适当函数G(t),使得,使得有有 Q(t)=G(t)F(t),F(t)=D(t),0G(t)GM,0Q(t)QM,同时成立同时成立.建模工作整体设计建模工作整体设计:1)确定需求函数确定需求函数D(t),是确保有效控制,是确保有效控制基础;基础;2)制订恰当评价指标,以评价方案优劣;制订恰当评价指标
13、,以评价方案优劣;第21页 3)求出相对于评价指标最优水箱供水方案;求出相对于评价指标最优水箱供水方案;4)分析各种参数对方案影响;分析各种参数对方案影响;5)分析随机原因影响分析随机原因影响.模型整体设计作用模型整体设计作用 1)可将整个建模过程分解为一些可串行可将整个建模过程分解为一些可串行 或并行子任务。或并行子任务。2)可把握住工作重点、关键点和难点可把握住工作重点、关键点和难点.做出模型整体设计后,着手建立模型做出模型整体设计后,着手建立模型之前,撰写一份工作提要之前,撰写一份工作提要.提议提议:第22页(2)做出假设 依据对象特征和建模目标对问题进行依据对象特征和建模目标对问题进行
14、必要、合理简化,用准确语言做出假必要、合理简化,用准确语言做出假设,是建模设,是建模关键步骤关键步骤。合合理理假假设设作作用用 简化问题简化问题 明确问题明确问题 限定模型限定模型适用范围适用范围 一个实际问一个实际问题不经过简题不经过简化假设化假设,极难极难抽象转化为抽象转化为数学问题。数学问题。第23页例例2 飞行管理问题中有叙述:飞行管理问题中有叙述:“对以下对以下数据数据进行进行计算计算(方向角误差(方向角误差不超出不超出0.01度度)”怎样了解?怎样了解?经过假设:经过假设:*所给飞行方向角数据误差不超出所给飞行方向角数据误差不超出0.01度度.或或 *数据运算结果误差限控制为数据运
15、算结果误差限控制为0.01度度.使问题完全明确使问题完全明确.例例3 渔业管理问题中关于渔业管理问题中关于“季节性集中产卵繁季节性集中产卵繁殖殖”,怎样了解怎样了解“产卵孵化期是一年产卵孵化期是一年最终四个最终四个月月”?最优打鱼策略最优打鱼策略 飞行管理模型飞行管理模型 第24页有以下几个假设有以下几个假设:*产卵是均匀地分布在整个四个月期间内,产卵是均匀地分布在整个四个月期间内,从而孵化也是均匀进行从而孵化也是均匀进行.*产卵时间服从方差很小正态分布产卵时间服从方差很小正态分布.*鱼群个体在后四个月第一天集中产卵,鱼群个体在后四个月第一天集中产卵,在最终一天孵化出来在最终一天孵化出来.哪一
16、条哪一条“最好最好”?第三种与第二种没有本质差异,第三种与第二种没有本质差异,处理较轻易处理较轻易.分析:分析:第一个不符合鱼类生物学实际;第一个不符合鱼类生物学实际;第二种比较符合实际,但大大增加了处理第二种比较符合实际,但大大增加了处理问题难度;问题难度;第25页假设起到简化问题作用假设起到简化问题作用 假设假设“渔场是非开放式,不与其它水域发生渔场是非开放式,不与其它水域发生关系,从而组成独立生态群落关系,从而组成独立生态群落”将建立数学模型限定在一定适用范围将建立数学模型限定在一定适用范围.设计假设应遵照标准设计假设应遵照标准 *假设应是有依据,基于对问题内在规律认假设应是有依据,基于
17、对问题内在规律认识和对数据及现象分析;识和对数据及现象分析;*善于区分问题主次,抓主要原因,尽可能善于区分问题主次,抓主要原因,尽可能使问题简化使问题简化.*防止过于简单、过于详细或不合理防止过于简单、过于详细或不合理.第26页 例例4 渔业管理问题中有条件:渔业管理问题中有条件:“平均每条平均每条4 龄鱼产卵量为龄鱼产卵量为1.109105个,个,3 龄鱼产卵量龄鱼产卵量为这个数二分之一,为这个数二分之一,2 龄鱼和龄鱼和1 龄鱼不产卵龄鱼不产卵”.分析分析:为了计算鱼群产卵量,需明确此条件:为了计算鱼群产卵量,需明确此条件.*“平均每条鱼产卵量平均每条鱼产卵量”了解为对全部鱼了解为对全部鱼
18、平均,平均,故在计算总产卵量时,不考虑雌雄区分故在计算总产卵量时,不考虑雌雄区分.有两种假设:有两种假设:*雌雄鱼百分比是雌雄鱼百分比是1:1;哪一个较为合理?哪一个较为合理?最优打鱼策略最优打鱼策略 第27页 可假设:可假设:*每到第二年初,头一年每到第二年初,头一年1、2、3 龄鱼均增龄鱼均增1岁,将岁,将5龄鱼归并为龄鱼归并为4龄鱼龄鱼.合理性解释:事实上,资料表明此种鱼寿命一般为3年,其次经过捕捞后4 龄鱼数量很少,可以忽略不计.对于假设:对于假设:*有时需要对假设以及假设推论进行检验;有时需要对假设以及假设推论进行检验;问题问题:当年当年4 龄鱼,第二年怎样处理?龄鱼,第二年怎样处理
19、?*应意识到隐含假设应意识到隐含假设.第28页 3、求解模型、求解模型求数学模型解主要而困难求数学模型解主要而困难求解纯数学问题求解纯数学问题求解数学模型求解数学模型 *包括不一样数学分支知识,同时还需借助包括不一样数学分支知识,同时还需借助与背景知识与背景知识.*针对现实问题建立数学模型,往往仅可求数针对现实问题建立数学模型,往往仅可求数值解值解.*有类问题可采取分析法得到问题实际解答有类问题可采取分析法得到问题实际解答(如微分方程定性分析如微分方程定性分析).第29页4、模型解分析和检验、模型解分析和检验始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界数学建数学建模工作模工作最终要得到
20、现最终要得到现实问题解答实问题解答 求出模型数学解以后,求出模型数学解以后,必须对解意义进行分析、检验必须对解意义进行分析、检验第30页需讨论以下类似问题:需讨论以下类似问题:1.这个讲解明了什么问题?这个讲解明了什么问题?2.是否到达了建模目标?是否到达了建模目标?3.模型适用范围怎样?模型适用范围怎样?4.所建模型是否合理?是否合乎实际?是否有所建模型是否合理?是否合乎实际?是否有 原理性错误、常识性错误?原理性错误、常识性错误?第31页o 量纲一致性检验;量纲一致性检验;o假设合理性检验;假设合理性检验;o对模型参数灵敏度分析;对模型参数灵敏度分析;o模模型型及及模模型型解解误误差差分分
21、析析,分分析析误误差差及及误误差差起起源源等;等;o参数或变量临界值;参数或变量临界值;模型与模型解分析与检验,通常需要做模型与模型解分析与检验,通常需要做以下几类工作:以下几类工作:第32页一个例子:一个例子:Google搜索引擎奥妙搜索引擎奥妙o引言n互联网高速发展使得网络上信息量爆炸似增加,高效搜索信息越来越主要,信息引擎已经成为除电子邮件之外第二大互联网网应用。n在众多搜索引擎中,Google以其庞大搜索量,快速而准确搜索结果和极高著名度成为搜索引擎代名词。n可是你知道它是怎样工作吗?第33页1、Google及其查询过程第34页2、搜索引擎需要完成工作o从页面上能够看到,与关键词“ma
22、th modeling”匹配结果有3000多万条;与关键词“数学建模”匹配关键词有130多万条;用户需要显然不是全部,而是其中最主要,怎样实现快速搜索,怎样合理定义网页主要性无疑是Google制胜关键。o怎样最快速最准确提供搜索结果?o搜索引擎完成工作:n自动下载尽可能多网页;n建立快速有效索引;n依据相关性对网页进行公平准确排序。第35页2、搜索引擎需要完成工作o从页面上能够看到,与关键词“math modeling”匹配结果有3000多万条;与关键词“数学建模”匹配关键词有130多万条;用户需要显然不是全部,而是其中最主要,怎样实现快速搜索,怎样合理定义网页主要性无疑是Google制胜关键
23、。o怎样最快速最准确提供搜索结果?o搜索引擎完成工作:n自动下载尽可能多网页;n建立快速有效索引;n依据相关性对网页进行公平准确排序。第36页o它要用到图论中遍历(Traverse)算法。n图论中所讨论图由一些节点和连接这些节点弧组成。假如我们把中国城市当成节点,连接城市国道当成弧,那么全国公路干线网就是图论中所说图。关于图算法有很多,但最主要是图遍历算法,也就是怎样经过弧访问图各个节点。n以中国公路网为例,我们从北京出发,看一看北京和哪些城市直接相连,比如说和天津、济南、石家庄、南京、沈阳、大同直接相连。我们能够依次访问这些城市,然后我们看看都有哪些城市和这些已经访问过城市相连,比如说北戴河
24、、秦皇岛与天津相连,青岛、烟台和济南相连,太原、郑州和石家庄相连等等,我们再一次访问北戴河这些城市,直到中国全部城市都访问过一遍为止。这种图遍历算法称为“广度优先算法”(BFS),因为它先要尽可能广地访问每个节点所直接连接其它节点。n外还有一个策略是从北京出发,随便找到下一个要访问城市,比如是济南,然后从济南出发到下一个城市,比如说南京,再访问从南京出发城市,一直走到头。然后再往回找,看看中间是否有还未访问城市。这种方法叫“深度优先算法”(DFS),因为它是一条路走到黑。这两种方法都能够确保访问到全部城市。需要统计已经访问过城市,以防同一个城市访问屡次或者遗漏哪个怎样自动下载互联网全部网页呢?
25、第37页o经过超链接,我们能够从任何一个网页出发,用图遍历算法,自动地访问到每一个网页并把它们存起来。完成这个功效程序叫做网络爬虫,或者在一些文件中称为“机器人”(Robot)。o假定我们从一家门户网站首页出发,先下载这个网页,然后经过分析这个网页,能够找到藏在它里面全部超链接,也就等于知道了这家门户网站首页所直接连接全部网页,诸如雅虎邮件、雅虎财经、雅虎新闻等等。我们接下来访问、下载并分析这家门户网站邮件等网页,又能找到其它相连网页。我们让计算机不停地做下去,就能下载整个互联网。当然,我们也要记载哪个网页下载过了,以免重复。在网络爬虫中,我们使用一个称为“哈希表”(Hash Table)列表
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