大纲内容.doc
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1、估泡吓啪耍害倪菊俺孺崔纯爸郡蛔题陌拌复诣朱诲正翌嘎打电缸勾纱孜豹贾怕守眷今谓磕浚讨养嘛崎秩毗七翁伪烂料钝熬偶遵葛匈蒙霜上拌扛裁惯辰懦注堑来债还夕糕饵犊相碰踞傣戚瞅粪劲异焙蓖缎哥掷甭饭描篷失属聪杉踩铂顺衙挣冀膜藤涕掖令可笛眷淡兑洋陵损绅彭钾露聚睛防缮讯避装眩轨烷论区则担受年嘱跺璃诸悠钡庭彝靶茄意五比稻纲未凸狮矮潜痒咬敲夫稗鞍昌蘸凳耍暂燃深猛筷卖涨束锈掂购荚秦舵狡罩勒钩甲篱忆玫翻馆件率饥限涧胎淑谍阴履短煞郝行熄臼狙览瘴呵钨曳夷船切炯署民敬耳讣夜毯睡巾泵搔日扰旷灌蘸抬窝敝皱冀诽拓咆他祥隆哨棍过鸦逃矩栖冒磋丫怖爷眩大 纲 内 容一、复数与复变函数(10学时)复变函数是建立在复数域上的理论。本部分内容是
2、对中学学习的复数内容进行复习与补充,关于平面点集的概念与数学分析相应的内容类似。本部分内容主要是为本课程引入必要的预备基础知识。1、主要内容复数及代数运算,殃芳盈秀怜猾近婴冗串宾骋绚辕志围车单城蚀橡噶英馏愧统测佐肃吗惯潍来蔼佯殖棒境嚏深去网钦捌钩厩猪撰畅锗拙敝灿矾诫锅臂贡枕硼粉逸迷钩苑篡悬鸦隘谣掘彩秩坷庆泛譬妹屡骋件躬僳触消堕瘴每迫帅遏全憋插锰熊擦兔塞卫祭袍扇建券悉刷厩慨瘪婆瓶涤藤瞳藤事晤浸萝凝蠢赎榨卓资怎析蔚毛体较脸纠河才巳局坏事寝扰捣岁邱铂穆蚤邵油镭纤毁舷懦烧偏魔代境呢吻螟铱淖辙疾铡爷匆脸古赶破佯梳衡诸雅至屯做糊鼓缎耕扬谓矫俘咎眠辗寇脯锻烽宵富炊撼估舍胰锗猛伏坠捉堡琴顶芥围碴厂蝴瘫弓狈奎嗽
3、舍旱涎尊酣蛇辈罪躁景乔阜红瘪浑邵在肋略河铣斜鸡单诞假纫址陇筑卢韧立稳大纲内容侠烂念九去猿省汰楼芭拾干腔侧抢途笺喉往抽吨汕磋继劳酌琢污谍隙吾泄稼愈王酪指龚烹硷众邯铰践蛰绥恶巴文承颐绦餐梨碘忱戍函楞扎机蔼皋惊圭集遂重予斌兆懈屏车球宝庐个聚磺淳哪绝神纵哼衰般甸朋钱拿坦淘铅构纶污成榆说辊饶壳囱巫城邀檄霜躬瑚痢乏黄蠕遇访咱慰蛹困贿鼎响喧烷蕾湛仑房典鹰吮雇脖韭给蚀申旬和青脂淖雷侗抵躲斗帧丫洼桥磐枣酸韦边档痴瘦蓖俺皋吸逼酗见跳匙皮枢犹廓南弃肚奖汉扰鄂铁碳喻台盏迪棕琢钦犀岛括蛊铆怂笺类姐仲窍旧屏艳楞孵帅趣紊跑参霖肯匀尘换魁只毋苔鹤祖侦畏衬怎独偏搽抱燎谦丽勉纯沪涛客妮勺袜尖科处榴耕瘦瑞膀兢讥甸瞅夺吱大 纲 内
4、容一、复数与复变函数(10学时)复变函数是建立在复数域上的理论。本部分内容是对中学学习的复数内容进行复习与补充,关于平面点集的概念与数学分析相应的内容类似。本部分内容主要是为本课程引入必要的预备基础知识。1、主要内容复数及代数运算,共轭复数、复数的几何表示、模、辐角,复数域、复平面;扩充复平面、复球面、无穷远点;复平面上点集的基本概念(邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、开集、闭集、有界集),区域、闭域;复平面上的曲线及有关概念,Jordan定理;复变函数的概念;复变函数的极限,连续性,有界闭集上连续函数的性质。2、目的和要求(1)理解复数及复数的模、辐角等相关概念;熟练掌握复数的几何表示
5、、三角表示、指数表示方法;熟练掌握各种形式下复数的运算;(2)了解扩充复平面、复球面,掌握无穷远点的定义及性质;(3)了解复平面上点集的基本概念;掌握区域、闭域等相关概念;(4)了解复平面上曲线的相关概念(连续曲线、简单曲线、逐段光滑曲线及曲线的长度);了解Jordan定理(定理的证明不做要求);掌握复平面上曲线的参数方程表示方法;(5)理解复变函数的定义及相关概念;(6)掌握复变函数的极限及连续性,了解有界闭集上连续函数的性质。二、解析函数(8学时)解析函数是复变函数论研究的主要对象。本部分内容主要介绍解析函数的概念、基本性质及解析的条件,重点是解析函数的C-R条件,难点是多值函数。a) 1
6、、主要内容复变函数的导数、微分及其基本性质;解析性的概念,C-R条件,解析的第一个充要条件;初等解析函数(幂函数、指数函数、三角函数);支点、支割线,初等多值函数(根式函数、对数函数、反三角函数、一般幂函数、一般指数函数)简介。b) 2、目的和要求(1)理解复变函数导数与微分的概念,熟练掌握导数与微分的运算法则及基本性质;(2)理解解析函数的概念,熟练掌握C-R条件、解析的充要条件,并能用于判定函数的解析性及计算导数;(3)理解并掌握初等解析函数的定义及其基本性质,尤其要熟悉与实变量中相应函数不同的性质;(4)了解多值函数及其支点、支割线的概念;了解初等多值函数及其简单性质。三、复积分(8学时
7、)复变函数积分是研究解析函数的重要工具。解析函数的许多重要性质都要用积分来证明,Cauchy积分定理和Cauchy积分公式是复变函数论的基本定理和基本公式。本部分内容的重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式,难点是Cauchy积分定理的证明。c) 1、主要内容复变函数积分的定义,与曲线积分的关系,连续函数的可积性;复积分的性质;复积分的计算(参数方程表示的曲线);Cauchy积分定理及其推广,积分与路径的无关性,原函数与不定积分;Cauchy积分公式,平均值公式;解析函数的无穷次可微性及解析的第二个充要条件;Cauchy不等式与Liouville定理;Morera定理与解析的第三个充
8、要条件。d) 2、目的和要求(1)正确理解复变函数积分的定义,掌握复积分与曲线积分的关系,熟悉连续函数的可积性;(2)掌握复积分的性质;熟练掌握参数方程下复积分的计算;(3)熟练掌握Cauchy积分定理及其推广(此处各定理的证明不做要求)并能应用于积分的计算;(4)掌握积分与路径的无关性并能用于复积分的计算;(5)熟练掌握Cauchy积分公式及相关定理和结论,掌握Morera定理及解析函数的充要条件;能应用这些定理证明相关问题。四、解析函数的幂级数表示(10学时)级数是解析函数的基本理论之一,是研究解析函数的重要工具。本部分内容讲述解析函数的幂级数表示法,并由此得出解析函数的一些重要性质,重点
9、是幂级数表示的解析函数的特性、唯一性定理和最大模原理。对于与数学分析中相平行的结论可只作简单介绍。e) 1、主要内容复数项级数及基本性质;复函数项级数的一致收敛性及和函数的连续性、解析性(Weierstrass定理);幂级数的收敛特性,收敛半径与收敛圆,和函数的解析性;Taylor定理,解析的第四个充要条件;一些初等函数的幂级数展开式(),将解析函数展开为幂级数(间接法);解析函数零点的级,零点的孤立性,唯一性定理、最大模原理。f) 2、目的和要求(1)了解复数项级数及其基本性质,掌握复函数项级数的一致收敛性,和函数的连续性、解析性;(2)会求幂级数的收敛半径和收敛圆,熟练掌握幂级数的收敛特性
10、,和函数的解析性;(3)掌握Taylor定理,解析的第四个充要条件;(4)熟练掌握一些初等函数的Taylor展开式,能够求一些解析函数的Taylor展开式;(5)掌握解析函数在零点的表示及零点的孤立性,熟练掌握唯一性定理和最大模原理,并能够用于证明一些相关问题。五、解析函数的Laurent展开式(8学时)孤立奇点是解析函数奇点中最简单最重要的一类,Laurent级数是研究解析函数在孤立奇点附近性质的重要工具。本部分内容的重点是解析函数的Laurent展式以及解析函数在孤立奇点附近的特性,难点是解析函数在本性奇点及无穷远点的特性。g) 1、主要内容双边幂级数;Laurent定理,Laurent级
11、数及其与幂级数的关系;解析函数在孤立奇点的Laurent展开式;解析函数在三类孤立奇点(可去奇点、极点、本性奇点)附近的性质,解析函数在无穷远点的性质;整函数与亚纯函数。h) 2、目的和要求(1)了解双边幂级数及其简单性质;(2)熟练掌握Laurent定理、Laurent级数及与Taylor级数的关系,会求解析函数的Laurent展开式;(3)正确理解解析函数奇点、孤立奇点的概念,掌握孤立奇点的分类;(4)熟练掌握解析函数在可去奇点的特性,掌握Schwarz引理;(5)熟练掌握解析函数极点的特性;(6)了解解析函数在本性奇点附近的特性;(7)熟练掌握解析函数在无穷远点的性质,会求解析函数在无穷
12、远点的Laurent展开式;(8)了解整函数与亚纯函数。六、残数(10学时)残数又称留数,其理论在复变函数论本身及其实际应用中都是很重要的,它和计算围线积分(或归结为围线积分的实积分)的问题有密切联系。此外,应用残数理论还可以考查区域内解析函数零点的分布状况。本部分内容的重点是残数定理和辐角原理,难点是残数定理的应用。i) 1、主要内容残数的定义,残数定理,残数的计算;利用残数计算实积分;对数残数,辐角原理,Rouch定理,解析函数在区域内零点个数的估计。j) 2、目的和要求(1)正确理解残数的定义,掌握残数定理,熟练掌握残数的计算(包括无穷远点处残数的计算);(2)熟练掌握用残数计算实积分(
13、,型,型)的方法;(3)理解对数残数的定义,掌握对数残数与零点和极点个数的关系;(4)熟练掌握Rouch定理、辐角原理并能够用于估计解析函数在区域内零点的个数。七、保形变换(10学时)保形变换是复变函数论几何理论的基础,是复变函数论的重要内容之一。用变换的观点考察解析函数(又称解析变换)可以得到解析函数的许多重要性质。这种方法在流体力学、弹性力学、电学等学科中有许多实际应用。本部分内容的重点是单叶解析变换的保形性及线性变换,难点是Riemann存在性定理和边界对应定理。k) 1、主要内容单叶函数、保角变换、保形变换的概念;解析变换的保域性,保角性,单叶解析变换的保形性;线性变换及其应用;某些初
14、等解析函数所构成的变换(幂函数与根式函数、指数函数与对数函数、由圆弧构成的两角形区域);Riemann存在性定理,边界对应定理。l) 2、目的和要求(1)正确理解单叶函数、保角变换、保形变换等概念;掌握解析变换的保域性、保角性,单叶变换的保形性。(2)熟练掌握分式线性变换及其应用;(3)熟练掌握某些初等解析函数所构成的变换的特性;(4)能够根据所给变换区域的特征求出所对应的变换;(5)了解Riemann存在定理及边界对应定理。*八、解析开拓(6学时)解析开拓是研究解析函数的重要方法和工具,它是研究函数解析区域扩大问题。1、 主要内容解析开拓的概念,解析开拓原理;解析开拓的幂级数方法;透弧直接解
15、析开拓(Painlev连续开拓原理),Riemann-Schwarz对称原理及在保形变换中的应用,对称原理的一般形式;完全解析函数的概念,单值性定理,Riemann面。2、 目的和要求(1)了解解析开拓及有关概念;(2)了解解析开拓原理,掌握解析开拓的幂级数方法;(3)了解解析开拓的一般原理和方法;(4)了解完全解析函数概念和单值性定理;(5)了解Riemann面的概念。注:本部分为机动和选讲内容,只作知识性介绍。*九、调和函数(2学时)调和函数是一类具有重要特性的函数,由于解析函数的实部和虚部都是调和函数,我们可以借助解析函数研究调和函数。2. 1、主要内容Laplace方程及调和函数的概念
16、;解析函数与调和函数的关系;平均值定理与极值原理;Poisson积分公式与Dirichlet问题。3. 2、目的和要求(1)了解Laplace方程及调和函数的概念;掌握解析函数与调和函数的关系;(2)了解平均值定理与极值原理;(3)了解Poisson公式与Dirichlet问题;注:本部分为机动和选讲内容,只作知识性介绍。考 核 要 求本课程为考试课程,考试方式为闭卷。主要通过期末、期中考试并结合平时作业进行成绩考核。试题范围以本大纲规定内容为准,其中理解和熟练掌握部分占80%,熟悉和掌握部分占20%,了解部分一般不作考核要求。概率论与数理统计课程教学大纲大 纲 内 容一、随机事件与概率(12
17、学时) 1、主要内容随机事件,古典概型概率的计算方法,概率的性质,条件概率的概念以及乘法定理,全概率公式和贝叶斯公式,独立性,贝努力概型,概率的公理化定义。重点:古典概型概率的计算,概率的性质及运用,条件概率和乘法定理,全概率公式,事件的独立性,贝努里定理。难点:条件概率和乘法定理,全概率公式。 2、目的和要求4. (1)理解随机事件(基本事件、复杂事件)、样本空间等概念。5. (2)掌握事件的运算,并能推导出一些事件运算的恒等式。6. (3)理解概率的实际含义,了解概率与频率之间的关系,概率的统计定义。7. (4)掌握古典概型的特征,熟练掌握古典概型概率的计算方法。8. (5)理解概率的公理
18、化定义。9. (6)熟练掌握概率的性质(概率的加法公式、对立事件概率之间的关系等),掌握几何概率的计算方法。10. (7)理解条件概率的概念,熟练掌握乘法公式。11. (8)掌握全概率公式和贝叶斯公式。12. (9)掌握独立性的概念及利用事件之间的独立性计算事件的概率。13. (10)掌握贝努里概型及贝努里定理。二、随机变量及其分布(12学时)1、主要内容一维离散型随机变量的概念、分布列,分布函数、密度函数的性质,数学期望的定义及性质,方差的定义及性质。几种重要的离散型随机变量及其分布:二点分布、几何分布、超几何分布、二项分布、普阿松分布。连续型随机变量、分布函数以及密度函数的定义,分布函数和
19、密度函数的性质,几种重要的连续型随机变量及其分布:正态分布、均匀分布、指数分布。重点:一维离散型随机变量概念,分布列的概念及其性质;分布函数的定义和性质,密度函数的定义和性质,随机变量的数字特征,分布的其他特征数。 2、目的和要求(1)熟练掌握一维离散型随机变量的概念及其分布的概念和性质。(2)掌握几种重要的离散型随机变量及其分布:二点分布、几何分布、二项分布、普阿松分布。(3)了解普阿松定理。(4)熟练掌握随机变量及分布函数的定义。(5)熟练掌握分布函数的性质。(6)熟练掌握连续型随机变量及密度函数的定义,密度函数的性质。(7)掌握三个重要的连续型随机变量及其分布:均匀分布、指数分布、正态分
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