数值分析函数逼近省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第六章第六章 函数迫近函数迫近1 数据拟合最小二乘法数据拟合最小二乘法3 函数最正确平方迫近函数最正确平方迫近2 正交多项式正交多项式1第1页 Lagrange插值与最插值与最小二乘迫近图像描述小二乘迫近图像描述2第2页 方法方法1:用用3次次Lagrange插值插值多项式近似多项式近似x,y函数关系函数关系.为何要用最小二乘迫近为何要用最小二乘迫近.xiyi24681.12.84.97.2例例 给定一组试验数据以下给定一组试验数据以下求求x,y函数关系函数关系.方法方法2:用直用直线来线来近似近似x,y函函数关系数关系.3第3页 用直线用直线 y=a0+a1x 来反应来反应x,y之间函数关系之间函数关系.怎样选取怎样选取a0,a1?才能使直线最好地反应数据点基才能使直线最好地反应数据点基本趋势本趋势?残差向量残差向量 残差残差4第4页 衡量近似函数好坏标准：残差向量大小衡量近似函数好坏标准：残差向量大小(1)使残差绝对值之和最小使残差绝对值之和最小,即即(2)使残差最大绝对值最小使残差最大绝对值最小,即即(3)使残差平方和最小使残差平方和最小,即即 最正确平方迫近或数据拟合最小二乘法最正确平方迫近或数据拟合最小二乘法最正确一致迫近最正确一致迫近5第5页问题问题:给定给定n个数据点个数据点(xi,yi)(i=1,2,n)求直线求直线 y=a0+a1x 使得使得到达最小到达最小.最小二乘一次多项式拟合最小二乘一次多项式拟合1 数据拟合最小二乘法数据拟合最小二乘法6第6页 令令则原问题等价于求则原问题等价于求a0,a1使使F(a0,a1)到达最小到达最小.利用多元函数取极值必要条件得利用多元函数取极值必要条件得正则方程组正则方程组7第7页 由上式求得由上式求得a0,a1,代入代入 y=a0+a1x 得到得到最小二乘最小二乘拟合拟合(直线直线)一次多项式一次多项式.8第8页xiyi24681.12.84.97.2例例 给定一组试验数据以下给定一组试验数据以下求求x,y函数关系函数关系.解解正则方程组正则方程组9第9页直线拟合误差很大直线拟合误差很大抛物线拟合效果更加好抛物线拟合效果更加好10第10页问题问题:给定给定n个数据点个数据点(xi,yi)(i=1,2,n)求求使得使得到达最小到达最小.最小二乘二次多项式拟合最小二乘二次多项式拟合11第11页 令令则原问题等价于求则原问题等价于求a0,a1,a2,使使F(a0,a1,a2)到达最小到达最小.利用多元函数取极值必要条件得利用多元函数取极值必要条件得12第12页 用用 Cholesky分解法求此对称正定阵分解法求此对称正定阵 用用 MATLAB 函数函数 z=Ar 由上式求得由上式求得a0,a1,a2,得到得到最小二乘拟合二次多项最小二乘拟合二次多项式式正则方程组正则方程组13第13页 最小二乘三次多项式拟合最小二乘三次多项式拟合正则方程组正则方程组14第14页 最小二乘最小二乘m次多项式拟合次多项式拟合(mn)正则方程组正则方程组15第15页 指数拟合指数拟合假如数据点假如数据点(xi,yi)(i=1,2,n)分布近似分布近似指数指数曲线曲线,则可考虑用指数函数则可考虑用指数函数去拟合数据去拟合数据.不过这是一个关于不过这是一个关于a,b非线性模型非线性模型,故应经过适当变换故应经过适当变换,将其将其化为线性模型化为线性模型,然后利用然后利用最小二乘法求解最小二乘法求解.为此为此,对指数函数两端取对数对指数函数两端取对数,得得16第16页则数据组则数据组(xi,yi)(i=1,2,n)最小二乘拟合最小二乘拟合指数曲线为指数曲线为这表明这表明(xi,lnyi)(i=1,2,n)分布近似于直线分布近似于直线,求出此数据组最小二乘拟合直线求出此数据组最小二乘拟合直线17第17页xiyi例例 给定一组试验数据以下给定一组试验数据以下求求x,y函数关系函数关系.1 2 3 4 6 7 82 3 6 7 5 3 2(1)作散点分布图作散点分布图点分布近似为抛物线点分布近似为抛物线18第18页(2)确定近似表示式确定近似表示式设拟合曲线为二次多项式设拟合曲线为二次多项式(3)建立正则方程组建立正则方程组19第19页故正则方程组为故正则方程组为(4)求解正则方程组得求解正则方程组得故所求拟合曲线为故所求拟合曲线为20第20页xiyi例例 给定一组试验数据以下给定一组试验数据以下求求x,y函数关系函数关系.1 2 3 4 6 7 82 3 6 7 5 3 2 Matlab解法解法:polyfit(1,2,3,4,6,7,8,2,3,6,7,5,3,2,2)ans=-0.3864 3.4318 -1.318221第21页例例 测得一发射源发射强度测得一发射源发射强度 I 与时间与时间 t 一组数据以下一组数据以下tiIi0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.83.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56试用最小二乘法确定试用最小二乘法确定 I 与与 t 函数关系函数关系.(1)作散点分布图作散点分布图能够考虑用指数函数近似能够考虑用指数函数近似22第22页 列数据表列数据表tiIi0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.83.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56lnIi1.1506 0.8671 0.5596 0.2927 0 0.3011 0.5798求求lnI与与t最小二乘直线最小二乘直线.将上表数据代入正则方程组将上表数据代入正则方程组得得其解为其解为故所求拟合曲线为故所求拟合曲线为 Matlab解法解法:polyfit(0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,1.1506,0.8671,0.5596,0.2927,0,-0.3011,-0.5798,1)ans=-2.8883 1.728323第23页 求数据组最小二乘拟合函数步骤求数据组最小二乘拟合函数步骤(1)由给定数据确定近似函数表示式由给定数据确定近似函数表示式,普通可普通可经过描点观察或经验预计得到经过描点观察或经验预计得到(2)按最小二乘标准确定表示式中参数按最小二乘标准确定表示式中参数,即由即由残差平方和最小导出正则方程组残差平方和最小导出正则方程组,求解得参数求解得参数.24第24页 实际问题中实际问题中,因为各点观察数据精度或主要因为各点观察数据精度或主要性不一样性不一样,经常引入加权方差经常引入加权方差,即确定参数准即确定参数准则为则为:使得使得最小最小,其中其中 i (i=1,2,n)为加权系数为加权系数.25第25页 函数内积函数内积设设 f(x),g(x)是区间是区间a,b上连续函数上连续函数,定定义义 f 与与 g 内积为内积为:2 正交多项式正交多项式26第26页 函数正交函数正交设设 f(x),g(x)是区间是区间a,b上连续函数上连续函数,若若 f 与与 g 内积为内积为0,则称则称 f 与与 g 在区间在区间a,b上正交上正交.27第27页 正交函数系正交函数系则称此函数系为区间则称此函数系为区间a,b上上正交函数系正交函数系.尤其地尤其地,若若 k=1(k=0,1,2,),则称其为则称其为标准正交函数系标准正交函数系28第28页假如正交函数系中函数均为代数多项式假如正交函数系中函数均为代数多项式,则称其为则称其为正交多项式系正交多项式系.正交多项式系正交多项式系比如比如三角函数系三角函数系就是区间就是区间,上正交函数系上正交函数系.29第29页 区间区间1,1上正交多项式系上正交多项式系(Legendre多项式多项式)普通表示式普通表示式 详细表示式详细表示式30第30页 Legendre多项式性质多项式性质 (2)Legendre多项式满足递推公式多项式满足递推公式31第31页 任意区间上正交多项式系任意区间上正交多项式系当当x在区间在区间a,b上改变时上改变时,令令对应对应 t 在在1,1上改变上改变,则则是区间是区间a,b上正交多项式系上正交多项式系.32第32页 0,1区间上正交多项式系区间上正交多项式系33第33页 最小平方线性多项式迫近最小平方线性多项式迫近3 函数最正确平方迫近函数最正确平方迫近 设设 f(x)是区间是区间a,b上连续函数上连续函数,求线性多项式求线性多项式函数函数 (x)=a0+a1x 使得使得,(x)称为函数称为函数 f(x)在区间在区间 a,b 上上一次最正确平方一次最正确平方迫近多项式迫近多项式.即求即求a0,a1使得使得34第34页 解法解法由题意可知由题意可知,求求 f(x)一次最正确平方多项式等价一次最正确平方多项式等价于求二元函数于求二元函数 F 最小值最小值.由由得得35第35页化简得化简得或者或者正则方程组正则方程组36第36页例例 求求在在0,1上一次最正确平方迫近多项式上一次最正确平方迫近多项式解解正则方程组为正则方程组为f(x)一次最正确平方迫近多项式为一次最正确平方迫近多项式为37第37页 二次最正确平方迫近多项式二次最正确平方迫近多项式设设 f(x)是区间是区间a,b上连续函数上连续函数,求二次多项式函求二次多项式函数数 (x)=a0+a1x+a2x2 使得使得,(x)称为函数称为函数 f(x)在区间在区间 a,b 上上二次最正确二次最正确平方迫近多项式平方迫近多项式.38第38页 解法解法由题意可知由题意可知,求求 f(x)二次最正确平方多项式等价二次最正确平方多项式等价于求三元函数于求三元函数F最小值最小值由由得得39第39页化简得化简得或者或者正则方程组正则方程组40第40页 m次最正确平方迫近多项式次最正确平方迫近多项式设设 f(x)是区间是区间a,b上连续函数上连续函数,求求m 次多项式函数次多项式函数 (x)=a0+a1x+a2x2+amxm 使得使得,(x)称为函数称为函数 f(x)在区间在区间 a,b 上上 m 次最正确平次最正确平方迫近多项式方迫近多项式.41第41页 与一次二次最正确平方迫近多项式类似与一次二次最正确平方迫近多项式类似,可可得以下正则方程组得以下正则方程组42第42页上机作业上机作业第第205页第页第2题题.43第43页