数学五简介专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、数学五介绍数学五介绍章建跃第1页一、内容和要求一、内容和要求 第一章第一章 解三角形解三角形本本章章主主要要内内容容是是介介绍绍三三角角形形正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理,及及其其简简单单应应用用,意意在在经经过过对对任任意意三三角角形形边边长长和和角角大大小小关关系系探探索索,掌掌握握正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理,并并能能处处理理一一些些简简单单三三角角形形度度量量问问题题以以及及能能够够利利用用正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理等等知知识识处处理理一一些些与与测测量量和和几几何何计计算算相相关实际问题。关实际问题。第2页1.1 1.1 “正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理”对于
2、正弦定理,教科书首先让学生回想任意三角对于正弦定理,教科书首先让学生回想任意三角形中有形中有“大边对大角,小边对小角边角关系大边对大角,小边对小角边角关系”,引导学生思索是否能得到这个边、角关系准确量引导学生思索是否能得到这个边、角关系准确量化表示问题。因为包括边角之间数量关系,就比化表示问题。因为包括边角之间数量关系,就比较自然地引出三角函数。在直角三角形中,边之较自然地引出三角函数。在直角三角形中,边之间比就是锐角三角函数。研究特殊直角三角形中间比就是锐角三角函数。研究特殊直角三角形中正弦,就很轻易得到直角三角形中正弦定理。正弦,就很轻易得到直角三角形中正弦定理。第3页分分析析直直角角三三
3、角角形形中中正正弦弦定定理理,考考查查结结论论是是否否适适合合用用于于锐锐角角三三角角形形,能能够够发发觉觉和和实实际际上上表表示示了了锐锐角角三三角角形形边边ABAB上上高高。这这么么,利利用用高高两两个个不不一一样样表表示示,就就能能够够证证实实锐锐角角三三角角形形中中正正弦弦定定理理。钝钝角角三三角角形形中中定定理理证证实实要要应应用用正正弦弦函函数数诱诱导导公公式式,教教科科书书要要求学生自己经过探究来加以证实。求学生自己经过探究来加以证实。第4页利用正弦定了解三角形是正弦定理一个直利用正弦定了解三角形是正弦定理一个直接应用,教科书首先说明了什么是解三角接应用,教科书首先说明了什么是解
4、三角形:普通地,把三角形三个角形:普通地,把三角形三个角A,B,C和和它们对边叫做三角形元素。由已知三角形它们对边叫做三角形元素。由已知三角形几个元素求其它元素过程叫做解三角形。几个元素求其它元素过程叫做解三角形。应该注意,上述对于解三角形描述是对传应该注意,上述对于解三角形描述是对传统关于解三角形一个简化。在传统解三角统关于解三角形一个简化。在传统解三角形问题中,还把三角形中线、高、角平分形问题中,还把三角形中线、高、角平分线等也作为三角形元素。教科书对此作了线等也作为三角形元素。教科书对此作了简化处理,仅把边和角作为元素。简化处理,仅把边和角作为元素。第5页正正弦弦定定理理实实际际上上包包
5、含含了了三三个个等等式式,每每一一个个等等式式都都表表示示了了三三角角形形两两个个角角和和它它们们对对边边关关系系,所所以以,正正弦弦定定理理能能够够用用于于两两类类解解三三角角形问题:形问题:(1 1)已已知知三三角角形形任任意意两两个个角角与与一一边边,求求其其它两边和另一角。它两边和另一角。(2 2)已已知知三三角角形形两两边边与与其其中中一一边边对对角角,求求另一边对角,进而求出其它边和角。另一边对角,进而求出其它边和角。第6页教科书用两个例题说明应用正弦定了解三教科书用两个例题说明应用正弦定了解三角形方法。已知三角形两边及其中一边对角形方法。已知三角形两边及其中一边对角解三角形时,在
6、一些条件下会出现无解角解三角形时,在一些条件下会出现无解情形,教科书在探究与发觉:情形,教科书在探究与发觉:“关于解三关于解三角形深入讨论角形深入讨论”中对此作了说明。教科书中对此作了说明。教科书例例2 2也包括了这种情况。也包括了这种情况。第7页对于余弦定理,教科书首先研究把已知两边及其对于余弦定理,教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等方法进行量化,也就是研究夹角判定三角形全等方法进行量化,也就是研究怎样从已知两边和它们夹角计算出三角形另一边怎样从已知两边和它们夹角计算出三角形另一边和两个角问题。依据判定三角形全等方法,已知和两个角问题。依据判定三角形全等方法,已知三角形两条边及其
7、所夹角,这个三角形是大小、三角形两条边及其所夹角,这个三角形是大小、形状完全确定三角形。解这个三角形,就是从量形状完全确定三角形。解这个三角形,就是从量化角度来研究这个问题。教科书先研究怎样用已化角度来研究这个问题。教科书先研究怎样用已知两条边及其夹角来表示第三条边,设法找出一知两条边及其夹角来表示第三条边,设法找出一个用已知两条边及其夹角来表示第三条边一个公个用已知两条边及其夹角来表示第三条边一个公式问题。包括边长问题,考虑用向量数量积来加式问题。包括边长问题,考虑用向量数量积来加以证实。教科书利用向量数量积证实了余弦定理。以证实。教科书利用向量数量积证实了余弦定理。第8页余余弦弦定定理理指
8、指出出了了三三角角形形三三条条边边与与其其中中一一个个角角之之间间关关系系,每每一一个个等等式式中中都都包包含含四四个个不不一一样样量量,它它们们分分别别是是三三角角形形三三边边和和一一个个角角,知知道道其其中中三三个个量量,就就能能够够求求得得第第四四个个量量。从从已已知知三三角角形形三三边边确确定定三三角角形形角角,这这就就是是余余弦弦定定理理推推论论,也也能能够够说说是是余余弦弦定理第二种形式。定理第二种形式。应应用用余余弦弦定定理理及及其其推推论论,并并结结合合正正弦弦定定理理,能能够够处理解三角形问题有:处理解三角形问题有:(1 1)已知两边和它们夹角解三角形;)已知两边和它们夹角解
9、三角形;(2 2)已知三角形三边解三角形。)已知三角形三边解三角形。第9页分分析析了了余余弦弦定定理理与与勾勾股股定定理理之之间间关关系系,即即余余弦弦定定理理能能够够看看作作是是勾勾股股定定理理推推广广,教教科科书书中中例例3 3和和例例4 4说说明明了了余余弦弦定定理理及及其其推推论论能能够够处处理理解解三三角角形形问问题题。在在已已知知两两边边及及其其夹夹角角解解三三角角形形时时,能能够够用用余余弦弦定定理理求求出出第第三三条条边边,这这么么就就把把问问题题转转化化成成已已知知三三边边解解三三角形问题。角形问题。第10页1 12 2 “应用举例应用举例”正正弦弦定定理理和和余余弦弦定定理
10、理在在实实际际测测量量中中有有许许多多应应用用,教教科科书书在在第第1.21.2节节“应应用用举举例例”介介绍绍了了它它们们在在测测量量距距离离、高高度度、角角度度等等问问题题中中一一些些应应用用。对对于于未未知知距距离离、高高度度等等,存存在在着着许许多多能能够够供供选选择择测测量量方方案案,能能够够应应用用全全等等三三角角形形方方法法,也也能能够够应应用用相相同同三三角角形形方方法法,或或借借助助解解直直角角三三角角形形方方法法,以以及及在在本本节节介介绍绍应应用用两两个个定定理理方方法法,等等等等。不不过过,因因为为在在测测量量问问题题实实际际背背景景下下,一一些些方方法法可可能能不不能
11、能实实施施,如如因因为为没没有有足足够够空空间间,不不能能用用全全等等三三角角形形方方法法来来测测量量,所所以以,一一个个方方法法会会有有不不足足。这这里里介介绍绍许许多多问问题题是是用用以以前前方方法法所所不不能能处处理。理。第11页本节例1和例2是两个有关测量距离问题。例1 是测量从一个可抵达点到一个不可抵达点之间距离问题,例2 是测量两个不可抵达点之间距离问题。例3、例4和例5是有关测量底部不可抵达建筑物等高度问题。因为底部不可抵达,这类问题不能直接用解直角三角形方法去解决,但经常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可抵达点之间距离,然后转化为解直角三角形问题。例6是一个有关
12、测量角度问题。第12页关于三角形相关几何计算,教科书包括了关于三角形相关几何计算,教科书包括了三角形高和面积问题。教科书直接给出了三角形高和面积问题。教科书直接给出了计算三角形高公式,这三个公式实际上在计算三角形高公式,这三个公式实际上在正弦定理证实过程中就已经得到。教科书正弦定理证实过程中就已经得到。教科书证实了已知三角形两边及其夹角时面积公证实了已知三角形两边及其夹角时面积公式。式。第13页在在不不一一样样已已知知条条件件下下求求三三角角形形面面积积问问题题,与与解解三三角角形形问问题题有有亲亲密密关关系系,我我们们能能够够应应用用解解三三角角形形知知识识,求求出出需需要要元元素素,就就能
13、能够够求求出出三三角角形形面面积积。教教科科书书例例7 7和和例例8 8说说明明了了在在不不一一样样已已知知条条件件下下求求三三角角形形面面积积问问题题常常看看法法法法。已已知知三三角角形形三三边边求求三三角角形形面面积积问问题题在在历历史史上上是是一一个个主主要要问问题题,在在西西方方有有海海伦伦公公式式,在在我我国国数数学学史史上上有有秦秦九九韶韶“三三斜斜求求积积公公式式”,教教科科书书在在阅阅读读与与思思索索中中对对此此作作了了介介绍绍,在在习习题题中中要要求求学学生生加加以证实。以证实。第14页例例9 9是是关关于于三三角角形形边边角角关关系系恒恒等等式式证证实实问问题题,课课程程标
14、标准准要要求求不不在在这这类类问问题题上上作作过过于于繁繁琐琐训训练练,教教科科书书选选择择例例题题仅仅限限于于直直接接用用正正弦弦定定理理和余弦定理能够证实问题。和余弦定理能够证实问题。第15页本本章章内内容容有有很很强强实实践践性性,教教科科书书安安排排了了第第1.31.3节节“实习作业实习作业”。依据课程标准,本章有以下教学要求:依据课程标准,本章有以下教学要求:(1 1)经经过过对对任任意意三三角角形形边边长长和和角角度度关关系系探探索索,掌掌握握正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理,并并能能处处理理一一些些简简单单三三角角形度量问题。形度量问题。(2 2)能能够够利利用用正正弦弦定定理
15、理、余余弦弦定定理理等等知知识识和和方方法法处理一些与测量和几何计算相关实际问题。处理一些与测量和几何计算相关实际问题。第16页本章教学重点是经过对于三角形边角探究,证明正弦定理和余弦定理,并运用两个定了解决一些有关实际问题。本章教学难点是经过对于三角形边角关系探究,证明正弦定理和余弦定理,以及应用定了解决实际问题。第17页第二章第二章 数列数列本章着重研究两类特殊数列本章着重研究两类特殊数列等差数列、等比数等差数列、等比数列通项公式及前列通项公式及前n n项和公式。教科书首先经过所谓项和公式。教科书首先经过所谓三角形数、正方形数引入数列概念,然后将数列看三角形数、正方形数引入数列概念,然后将
16、数列看作一个特殊函数,介绍了数列几个简单表示法(列作一个特殊函数,介绍了数列几个简单表示法(列表、图象、通项公式、递推公式)。教科书对等差表、图象、通项公式、递推公式)。教科书对等差数列是从现实生活中一些实际问题引入,然后从等数列是从现实生活中一些实际问题引入,然后从等差数列定义入手,让学生经过探索得到等差数列通差数列定义入手,让学生经过探索得到等差数列通项公式。对于等差数列前项公式。对于等差数列前n n项和问题,教科书介绍项和问题,教科书介绍了少年高斯计算方法,推广得到计算等差数列前了少年高斯计算方法,推广得到计算等差数列前n n项和两个公式,并介绍了这两个公式应用。项和两个公式,并介绍了这
17、两个公式应用。第18页与等差数列展现方式类似,教科书经过细与等差数列展现方式类似,教科书经过细胞分裂个数问题、计算机病毒感染、银行胞分裂个数问题、计算机病毒感染、银行中复利,以及我国古代关于中复利,以及我国古代关于“一尺之棰,一尺之棰,日取其半,万世不竭日取其半,万世不竭”等问题研究,得到等问题研究,得到等比数列定义,然后要求学生类比等差数等比数列定义,然后要求学生类比等差数列通项公式推导过程,探索发觉等比数列列通项公式推导过程,探索发觉等比数列通项公式,并介绍了公式应用。教科书经通项公式,并介绍了公式应用。教科书经过国际象棋棋盘与麦粒总数著名例子引入过国际象棋棋盘与麦粒总数著名例子引入求等比
18、数列前求等比数列前n n项和问题,推导得到求和项和问题,推导得到求和公式,并介绍了公式应用。公式,并介绍了公式应用。第19页2.1 2.1 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法教教科科书书从从三三角角形形数数、正正方方形形数数入入手手,指指出出数数列列实实际际上上就就是是按按照照一一定定次次序序排排列列着着一一列列数数,并并介介绍绍了了关关于于数数列列一一些些基基本本概概念念,接接着着又又指指出出能能够够把把数数列列看看成成是是定定义义在在正正整整数数集集或或其其有有限限子子集集上上函函数数,这这么么就就沟沟通通了了数数列列与与函函数数概概念念之之间间联联络络,使使学学生生能能从从函函数数
19、角角度度来来认认识识数数列列,并并了了解解能能够够用用列列表表、图图象象、通通项项公公式式等等方方式式来来表表示示数数列列,认认识识到到数数列列是是刻刻画画离离散散过过程程一个主要数学工具。一个主要数学工具。第20页2.2 2.2 等差数列等差数列等等差差数数列列在在生生产产和和生生活活中中有有广广泛泛应应用用教教科科书书首首先先从从分分析析四四个个实实际际问问题题中中数数据据出出发发引引入入等等差差数数列列以以及及相相关关一一些些基基本本概概念念,如如等等差差数数列列公公差差,等等差差中中项项等等,然然后后依依据据等等差差数数列列定定义义推推导导了了等等差差数数列列通通项项公公式式,并并举举
20、例例说说明明处处理理相相关关等等差差数数列列问题。问题。第21页2.3 2.3 等差数列前等差数列前n n项和项和教教科科书书首首先先介介绍绍了了少少年年高高斯斯计计算算方方法法,以以1+2+3+1+2+3+n n求求和和为为过过渡渡,最最终终推推广广到到推推导导普普通通等等差差数数列列前前n n项项和和公公式式。本本节节例例1 1和和例例2 2介介绍绍了了等等差差数数列列求求和和公公式式应应用用;例例3 3介介绍绍从从数数列列前前n n项项和和解解析析式式求求数数列列通通项项公公式式方方法法,例例题题后后“探探究究”栏栏目目让让学学生生经经过过探探究究去去发发觉觉等等差差数数列列前前n n项
21、项和和解解析析表表示示式式特特点点,即即等等差差数数列列前前n n项项和和解解析析式式是是一一个个常常数数项项为为0 0二二次次函函数数,例例4 4也也是是关关于于等等差差数数列列前前n n项项和和一个例题。一个例题。本本节节对对等等差差数数列列前前n n项项和和公公式式推推导导是是从从特特殊殊到到普普通一个研究过程。通一个研究过程。第22页2.4 2.4 等比数列等比数列与等差数列类似,教科书经过对于日常生与等差数列类似,教科书经过对于日常生活中实际问题概括得到等比数列基本概念,活中实际问题概括得到等比数列基本概念,并让学生经过探究得到等比数列通项公式。并让学生经过探究得到等比数列通项公式。
22、本节本节4 4个例题说明等比数列通项公式应用,个例题说明等比数列通项公式应用,并注意了与算法知识联络、问题应用性及并注意了与算法知识联络、问题应用性及基础性。基础性。第23页2.5 2.5 等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式本节以国际象棋盘与麦粒总数著名例子来本节以国际象棋盘与麦粒总数著名例子来引入等比数列前引入等比数列前n n项求和问题,并应用了项求和问题,并应用了“错位相减错位相减”方法推导了等比数列前方法推导了等比数列前n n项和公项和公式。教科书例式。教科书例1 1和例和例2 2 说明了前说明了前n n项和公式项和公式应用,例应用,例3 3则是一个普通数列问题,表达了则是一个普
23、通数列问题,表达了计算机技术在数学中应用。本节中计算机技术在数学中应用。本节中“阅读阅读与思索:九连环与思索:九连环”和和“探究与发觉:购房探究与发觉:购房中数学中数学”说明了数列知识在实际中应用。说明了数列知识在实际中应用。第24页本章教学要求:本章教学要求:1 1经经过过日日常常生生活活中中实实例例,了了解解数数列列概概念念和和几几个个简简单单表表示示方方法法(列列表表、图图象象、通通项项公公式式),了解数列是一个特殊函数。,了解数列是一个特殊函数。2 2经过实例,了解等差数列、等比数列概经过实例,了解等差数列、等比数列概念;探索并掌握等差数列、等比数列通项公念;探索并掌握等差数列、等比数
24、列通项公式与前式与前n n项和公式;能在详细问题情境中,项和公式;能在详细问题情境中,发觉数列等差关系或等比关系,并能用相关发觉数列等差关系或等比关系,并能用相关知识处理对应问题。体会等差数列、等比数知识处理对应问题。体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数关系。列与一次函数、指数函数关系。第25页第三章第三章 不等式不等式不不等等关关系系与与相相等等关关系系都都是是客客观观世世界界基基本本数数量量关关系系,是是数数学学研研究究主主要要内内容容。依依据据课课程程标标准准,在在本本章章中中学学生生将将经经过过详详细细情情境境,感感受受在在现现实实世世界界和和日日常常生生活活中中存存在在大大量量
25、不不等等关关系系,了了解解不不等等式式(组组)对对于于刻刻画画不不等等关关系系意意义义和和价价值值;掌掌握握求求解解一一元元二二次次不不等等式式基基本本方方法法,并并能能处处理理一一些些实实际际问问题题;能能用用二二元元一一次次不不等等式式组组表表示示平平面面区区域域,并并尝尝试试处处理理一一些些简简单单二二元元线线性性规规划划问问题题;认认识识基基本本不不等等式式及及其其简简单应用;体会不等式、方程及函数之间联络。单应用;体会不等式、方程及函数之间联络。第26页3.1 3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式依据课程标准依据课程标准“经过详细情境,感受在现经过详细情境,感受在现实世界和日常生
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