数值分析教案省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
《数值分析教案省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值分析教案省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx(143页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、第第1页页绪论绪论 第一章插值法第一章插值法第二章数值积分和数值微分第二章数值积分和数值微分第三章曲线拟合最小二程法第三章曲线拟合最小二程法第四章第四章 求非线性方程根近似方法求非线性方程根近似方法第五章第五章 线性代方程组直接法线性代方程组直接法第六章第六章 解线性方程组迭代法第七章矩阵特征值和特征向量计算第七章矩阵特征值和特征向量计算第八章常微分方程数值解法第八章常微分方程数值解法计算方法计算方法第第2页页参考书1.数值分析,翟瑞彩,天津大学出版社;2.计算方法,中山大学与武汉大学编写 3.数值计算计算原理,李庆杨,关治,白峰彬,清华大学出版社4.计算方法引论,徐萃薇,科学出版社第第3页页
2、1.1.计算方法任务与特点计算方法任务与特点绪论绪论实际问题数学问题提供计算方法实际问题数学问题提供计算方法程序设计上机计算结果分析程序设计上机计算结果分析计算方法计算方法第第4页页2.2.基本数学问题基本数学问题:1.大型线性代数方程组大型线性代数方程组Ax=b求解求解;2.矩阵矩阵A特征值和特征向量计算特征值和特征向量计算;3.非线性方程非线性方程求解求解(求根求根);4.积分积分计算计算;5.常微分方程初值问题求解常微分方程初值问题求解;6.其它。其它。第第5页页求准确解求准确解(值值)普通非常困难。比如:普通非常困难。比如:1.1.方程组阶数方程组阶数n n很大,比如很大,比如n=20
3、,n=20,计算机运算速度计算机运算速度 1 1亿次亿次/秒秒,用不好方法用不好方法,大约需算大约需算3030多万年多万年;好方法不到一分钟。另外,有计算结果可靠性好方法不到一分钟。另外,有计算结果可靠性 问题。问题。2.2.特征值定义特征值定义 第第6页页3.3.形式复杂时求根和求积分很困难。形式复杂时求根和求积分很困难。4.4.线性微分方程易解,线性微分方程易解,如如 非线性方程难解,如非线性方程难解,如 希希望:望:求近似解,但方法简单可行,行之有效求近似解,但方法简单可行,行之有效(计算量小,误差小等)。以计算机为工(计算量小,误差小等)。以计算机为工具,易在计算机上实现。具,易在计算
4、机上实现。计算机运算计算机运算:只能进行加,减,乘,除等算术运只能进行加,减,乘,除等算术运算和一些逻辑运算。算和一些逻辑运算。计算方法:计算方法:把求解数学问题转化为按一定次序只把求解数学问题转化为按一定次序只进行加,减,乘,除等基本运算进行加,减,乘,除等基本运算数值方法。数值方法。第第7页页3.3.数值分析研究对象与特点数值分析研究对象与特点第第8页页先看两个例子。先看两个例子。例例1 1 求方程求方程 x x2 2=2sinx=2sinx,在区间,在区间(1,2)(1,2)内根。内根。理论上可知显然找不出根解析式,即无法求出准理论上可知显然找不出根解析式,即无法求出准确解。确解。例例2
5、 2 用用CramerCramer法则求解法则求解n n元线性方程组。元线性方程组。显然理论上可行,且有准确表示式。实际计算时显然理论上可行,且有准确表示式。实际计算时会出现什么问题呢?会出现什么问题呢?第第9页页实际问题实际问题数学模型数学模型上机计算求出结果上机计算求出结果数值计算方法数值计算方法看用数学和计算机处理实际问题过程:看用数学和计算机处理实际问题过程:应用数学研究任务应用数学研究任务 数值分析研究对象数值分析研究对象最终提供是针对各类数学问题数值算法(即最终提供是针对各类数学问题数值算法(即计算公式、计算方案、计算过程)计算公式、计算方案、计算过程)第第10页页 3 3、含有好
6、计算复杂性、含有好计算复杂性 4.4.数值分析提供算法含有下面四个特点:数值分析提供算法含有下面四个特点:1 1、面向计算机、面向计算机 2 2、有可靠理论分析、有可靠理论分析4 4、经过数值试验验证有效性、经过数值试验验证有效性第第11页页 3 3、化整为零、化整为零 5.5.数值分析共同思想和方法:数值分析共同思想和方法:1 1、迭代法、迭代法 2 2、以直代曲、以直代曲4 4、外推法、外推法第第12页页1.1.认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务,主动适应任务,主动适应“公式多公式多”特点;特点;2.2.重视各章建立算法问题提法,搞清
7、问题基重视各章建立算法问题提法,搞清问题基 本提法,逐步深入;本提法,逐步深入;3.3.了解每个算法建立数学背景,数学原理和基本了解每个算法建立数学背景,数学原理和基本 线索,对最基本算法要非常熟悉;线索,对最基本算法要非常熟悉;4.4.认真进行数值计算训练,学习各章算法完全是认真进行数值计算训练,学习各章算法完全是 为用于实际计算,必须真会算。为用于实际计算,必须真会算。第第13页页n本课程基本要求本课程基本要求掌握数值方法基本原理掌握数值方法基本原理掌握惯用科学与工程计算基本方法掌握惯用科学与工程计算基本方法能用所学方法在计算机上算出正确结果能用所学方法在计算机上算出正确结果第第14页页课
8、程学习结束后你具备能力1.对详细数值计算问题,你会选择适当算法,并经过计算机计算出正确结果;2.对给定算法会从理论上分析其优劣性;3.会依据原理结构处理较简单数值计算问题算法。第第15页页1.2 1.2 误差基础知识误差基础知识一一.误差起源(分类)误差起源(分类)1.模型误差。模型误差。2.观察误差。观察误差。3.截断误差,如截断误差,如右端是截断误差。右端是截断误差。第第16页页4.4.舍入误差。计算机字长有限,普通实数不能准确舍入误差。计算机字长有限,普通实数不能准确存放,于是产生舍入误差。比如:在存放,于是产生舍入误差。比如:在1010位十进位十进制数限制下:制数限制下:舍入误差很小,
9、本课程将研究它在运算过程中舍入误差很小,本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。是否能有效控制。第第17页页实际问题实际问题确定数确定数值解法值解法上机求解上机求解用计算机处理实际问题普通过程用计算机处理实际问题普通过程建立数建立数学模型学模型模型误差、观察误差模型误差、观察误差截断误差截断误差舍入误差舍入误差应用数学处理问题应用数学处理问题数值分析处理问题数值分析处理问题在此主要研究这两种误差在此主要研究这两种误差第第18页页二误差基本概念二误差基本概念1 1绝对误差。设绝对误差。设 准确值,准确值,近似值。近似值。称称 为为 绝对误差。绝对误差。为为 绝对误差限。绝对误差限。2 2相对
10、误差。称相对误差。称 为为 相对误差。相对误差。实用中,惯用实用中,惯用 表示表示 相对误差。相对误差。称称 为为 相对误差限。相对误差限。第第19页页3 3有效数字有效数字设设 若若 (1.1)(1.1)则说则说 含有含有n n位有效数字,分别是位有效数字,分别是 若若 ,则称,则称 为有效数。为有效数。第第20页页例例1.11.1 设设 =0.0270=0.0270是是某某数数 经经“四四舍舍五五入入”所所得得,则则 误差误差 不超出不超出 末位半个单位,即:末位半个单位,即:又又 ,故该不等式又可写为故该不等式又可写为 由有效数字定义可知由有效数字定义可知,有有3 3位有效数字,分别位有
11、效数字,分别 是是2,72,7,0 0。第第21页页例例1.2 1.2 =32.93,=32.89,=32.93,=32.89,故故 有有3 3位有效数字,分别是位有效数字,分别是3,23,2,8 8。因因为为 中中数数字字9 9不不是是有有效效数数字字,故故 不不是是有有效效数。数。第第22页页三、有效数位与误差关系三、有效数位与误差关系1.1.有效数位有效数位n n越多,则绝对误差越多,则绝对误差 越小越小 (由定义由定义1.1)1.1)2.2.定理定理1.1 1.1 若近似数若近似数 含有含有n n位有效数字,则位有效数字,则 (1.2)(1.2)反之,反之,若若 则则 最少有最少有n
12、n位有效数字。位有效数字。第第23页页 两边除以两边除以 得得 (1.3)(1.3)和(和(1.41.4)给出了由自变量误差引发函)给出了由自变量误差引发函 数值误差近似式(误差传输)。数值误差近似式(误差传输)。四、数值运算误差预计四、数值运算误差预计(误差传输误差传输)1.1.一元函数情形一元函数情形 设设 则则 ,由,由TaylorTaylor展开公式展开公式 (1.4)(1.4)(1.3)第第24页页2.2.多元函数情形多元函数情形 设设 ,则,则,由多元函数由多元函数TaylorTaylor展开公式类似可得展开公式类似可得 (1.51.5)(1.61.6)在(在(1.61.6)式中,
13、分别取)式中,分别取,可得可得同号)(1.71.7)(1.81.8)(1.91.9)(,第第25页页例例1.31.3:测得某桌面长测得某桌面长a a近似值近似值a*=120cm,a*=120cm,宽宽b b 近似值近似值b*=60cmb*=60cm。若已知。若已知|e(a*)|0.2cm,|e(a*)|0.2cm,|e(b*)|0.1cm|e(b*)|0.1cm。试求近似面积试求近似面积s*=a*b*s*=a*b*绝对误差限与相对误差限。绝对误差限与相对误差限。解解:面积面积s=ab,s=ab,在公式(在公式(1.51.5)中)中,将将 换为换为 s=ab,s=ab,则则相对误差限为相对误差限
14、为第第26页页 1.3 1.3 选取算法应遵照标准选取算法应遵照标准1.1.尽可能简化计算步骤,降低乘除运算次数尽可能简化计算步骤,降低乘除运算次数.比如,计算多项式比如,计算多项式 通常运算乘法次数为通常运算乘法次数为 若采取递推算法若采取递推算法,则乘法次数仅为则乘法次数仅为n.n.又如又如 第第27页页2.2.预防大数预防大数“吃掉吃掉”小数小数 当当|a|b|a|b|时,尽可能防止时,尽可能防止a+b a+b。比如,假设计算。比如,假设计算机机 只能存放只能存放1010位尾数十进制数,则位尾数十进制数,则3.3.尽可能防止相近数相减尽可能防止相近数相减 比如,当比如,当x x很大时,应
15、很大时,应 ,当当x x靠近于靠近于0 0时,应时,应第第28页页 4.4.防止绝对值很小数做分母防止绝对值很小数做分母 当当|b|a|b|a|时,应尽可能防止时,应尽可能防止 。5.5.选取数值稳定性好算法,以控制舍入误差高速选取数值稳定性好算法,以控制舍入误差高速 增加增加 比如比如 若若 (误差(误差 )则计算)则计算 时误差扩大了时误差扩大了 倍倍,而而 (n=1,2,n=1,2,)是稳定。是稳定。第第29页页范数n范数是长度概念推广范数是长度概念推广,是一个度量定义是一个度量定义,是测量两个函数是测量两个函数,向量向量,矩阵等之间矩阵等之间距离一个非负实数距离一个非负实数.范数定义形
16、式各种多样范数定义形式各种多样,采取同范数定义采取同范数定义,可得不一样可得不一样范数范数,但都满足以下三个条件但都满足以下三个条件(公理化定义公理化定义):1.(非负性非负性)2.(齐次性齐次性)3.(三角不等式三角不等式)称实数称实数|X|为向量为向量X范数范数.#不一样范数间关系不一样范数间关系:等价等价.第第30页页基本要求:基本要求:1.1.熟悉计算方法在处理实际问题中所处地位,熟悉熟悉计算方法在处理实际问题中所处地位,熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解数值方法;计算方法是以计算机为工具求近似解数值方法;2.2.熟悉绝对误差(限),相对误差(限)及有效数熟悉绝对误差(限),相对误差
17、(限)及有效数字概念;字概念;3.3.熟悉公式(熟悉公式(1.21.2)-(1.91.9););4.4.熟悉选取算法应遵照标准;熟悉选取算法应遵照标准;第第31页页 计算方法计算方法 f(x)=0 f(x)=0根或根或f(x)f(x)零点,当零点,当f(x)f(x)复杂时,极难求复杂时,极难求 (找近似有效简单方法)。(找近似有效简单方法)。第二章第二章 求方程根近似方法求方程根近似方法 2.1 2.1 区间二分法区间二分法理理 论论 :f(x)Ca,b,:f(x)Ca,b,单调,单调,f(a)f(b)0 f(a)f(b)0 f(x)=0 f(x)=0在在(a,b)(a,b)有惟一根。有惟一根
18、。根分离:画草图,试算根分离:画草图,试算.多项式方程根模多项式方程根模 上下界。上下界。第第32页页例例2.1 2.1 用二分法求用二分法求 在在(1,2)(1,2)内根,要求绝对误差不超出内根,要求绝对误差不超出 解解:f(1)=-50-(1,2)+f(1.25)0(1.25,1.375)f(1.313)0(1.313,1.375)f(1.344)0(1.344,1.375)f(1.360)0(1.360,1.368)f(1.5)0(1,1.5)第第33页页 优点:条件简单优点:条件简单.缺点:收敛慢缺点:收敛慢.不易求偶数重根不易求偶数重根.如图如图,则则 (事后预计事后预计)xy第第3
19、4页页 2.2 2.2 迭代法迭代法一一.迭代法建立与收敛性迭代法建立与收敛性第第35页页第第36页页2.2.收敛定理(定理收敛定理(定理2.22.2)第第37页页第第38页页(2)(2),故收敛。,故收敛。()1第第39页页(3)(3)注:注:L L越小,收敛越快。越小,收敛越快。第第40页页3 3编程停机判断编程停机判断(取定初值(取定初值)计算,当)计算,当时,由()时,由()3 3 式知式知 比较小,此时停机,比较小,此时停机,二、迭代加速公式(略)二、迭代加速公式(略)由由第第41页页 2.3 2.3Newton Newton 迭代法迭代法一一 Newton Newton 迭代法迭代
20、法 1.1.迭代公式建立迭代公式建立 在在 点点TaylorTaylor展开展开 TaylorTaylor展开线性化(主要思想)展开线性化(主要思想)近似于近似于解出解出 记为记为,则,则 将将第第42页页2.Newton2.Newton迭代法几何意义迭代法几何意义 过过 切线切线 与与 求交点,解出求交点,解出 ,则则第第43页页3.Newton3.Newton迭代法收敛定理(定理迭代法收敛定理(定理 2.6 2.6)在在有根有根,且,且在在(1 1)连续,且分别不变号;连续,且分别不变号;,使使则则 Newton Newton 迭代法(迭代法(2.12.1)产生数列)产生数列收敛到根收敛到
21、根。为例证实(其它情况类似)为例证实(其它情况类似)(2 2)取初值取初值设设 证:证:以以第第44页页将将 处处TaylorTaylor展开展开 说明数列说明数列 有下界有下界 又又 故故单调递减。单调递减。收敛。设收敛。设则由(则由(2.12.1),),第第45页页例例2.22.2 解:设解:设取取,则由(,则由(2.12.1)用用 Newton Newton 迭代法求迭代法求第第46页页基本要求基本要求1.1.熟悉区间分法;熟悉区间分法;2.2.熟悉迭代法建立,会使用收敛定理;熟悉迭代法建立,会使用收敛定理;3.3.熟悉熟悉NewtonNewton迭代法及其几何意义和收敛条件。迭代法及其
22、几何意义和收敛条件。作业:作业:习题习题4 4:1 1、2 2、3 3、4 4、6 6第第47页页 计算方法计算方法二二.迭代法收敛阶迭代法收敛阶(收敛速度收敛速度)1.1.定义定义:设设 若有实数若有实数p0,p0,使使 则称则称 p p阶收敛阶收敛,对应迭代法称为对应迭代法称为p p阶方法阶方法.尤其尤其,p=1p=1时叫线性收敛时叫线性收敛,p=2p=2时叫平方收敛时叫平方收敛.p p越大越好越大越好(why?)(why?)第第48页页2.2.定理定理2.72.7 第第49页页 所以,此时所以,此时NewtonNewton法最少二阶收敛法最少二阶收敛.(2)(2)由由2.62.6证实有:
23、证实有:第第50页页3.Newton3.Newton法改进:法改进:2.4 2.4 弦截法弦截法(略略)第第51页页第三章第三章 线性代数方程组解法线性代数方程组解法解线性方程组解线性方程组 第第52页页一、一、GaussGauss消去法消去法设设 有有线性代数:方法不好时工作量非常大,线性代数:方法不好时工作量非常大,工作量小方法是工作量小方法是 Gauss Gauss 消去法。消去法。消消 元:元:3.1 3.1直接法直接法第第53页页二二 列主元素消去法列主元素消去法-计算结果可靠计算结果可靠第第54页页到此原方程组化为到此原方程组化为 第第55页页 到此原方程组化为到此原方程组化为第第
24、56页页(3.3)3.3)是回代过程。是回代过程。(上三角方程组上三角方程组)(3.2)3.2)(n)(n)回代求解公式回代求解公式 (n-1)(n-1)原方程组化为原方程组化为以上为消元过程。以上为消元过程。(3.3)3.3)第第57页页三、三、Gauss Gauss 全主元消去法:全主元消去法:优点优点-计算结果更可靠;计算结果更可靠;缺点缺点-挑主元花机时更多,挑主元花机时更多,次序有变动,程序复杂。次序有变动,程序复杂。说明:说明:(1)(1)也可采取无回代列主元消去法也可采取无回代列主元消去法(叫叫Gauss-Gauss-Jordan -Jordan消去法消去法),但比有回代列主元消
25、,但比有回代列主元消 去法乘除运算次数多。去法乘除运算次数多。(2)(2)有回代列主元消去法所进行乘除运算有回代列主元消去法所进行乘除运算 次数为次数为 ,量很小。,量很小。第第58页页 四、应用四、应用 (1)求行列式)求行列式 (2)求逆矩阵)求逆矩阵 (以上过程都应选主元以上过程都应选主元)第第59页页 记记,则,则 (三角因子分解)(三角因子分解)Gauss Gauss消元,初等行变换,化原方程组为上三角型。消元,初等行变换,化原方程组为上三角型。五矩阵三角分解法五矩阵三角分解法第第60页页定义定义3.13.1 叫叫三角(因子)分解,其中三角(因子)分解,其中 是是是上三角。是上三角。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数值 分析 教案 公共课 一等奖 全国 获奖 课件
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【人****来】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【人****来】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。