数学定积分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

v定积分概念定积分概念v定积分性质定积分性质 中值定理中值定理v微积分基本公式微积分基本公式v定积分换元积分定积分换元积分v定积分分部积分定积分分部积分v广义积分与广义积分与 函数函数v定积分应用定积分应用第五章第五章 定积分定积分第1页第一节 定积分概念定积分概念第2页定定 积积 分分引例：曲边梯形面积引例：曲边梯形面积设 y=f(x)在区间a,b上非负、连续。求由 曲线y=f(x)与直线x=a,x=b(ag(x)与直线x=a,x=b(ab)所围图形面积。aby=f(x)y=g(x)xx+dx(i)取x为积分变量，则(ii)对应于a,b上任一小区间x,x+dx小窄条面积近似值，即面积元素(iii)所求面积第61页(i)求交点(ii)对应于0,1上任一小区间x,x+dx小窄条面积近似值，即面积元素(iii)所求面积解解yxo例例求由抛物线所围图形之面积。x x+dx第62页(i)求交点(ii)对应于-2,4上任一小区间y,y+dy小窄条面积近似值，即面积元素(iii)所求面积解解yxo例例求由抛物线与直线所围图形面积。yy+dy方法方法1第63页yxo(i)取x为积分变量，则(ii)面积元素(iii)所求面积方法方法2比较方法比较方法1 1和方法和方法2 2知：知：适当选择积分变量能适当选择积分变量能够简化计算过程。够简化计算过程。第64页(i)两切线交点为(ii)面积元素(iii)所求面积解解yxo练习练习求由抛物线及其在点(0,-3)和(3,0)处切线所围图形面积。则点(0,-3)和(3,0)处切线方程分别为y=4x-3 y=-2(x-3)(3/2,3)第65页二、极坐标情形(ii)面积元素(iii)所求面积设由曲线 与射线，围成一图形,求该图形面积。(i)取极角为积分变量，则xo第66页面积元素所求面积例例求由阿基米得螺线上对应于一段弧与极轴所围图形面。解解xo第67页设曲线弧由参数方程给出，求由这曲线弧所围图形面积。(i)取 t 为积分变量，则(iii)所求面积(ii)面积元素三、参数方程情形第68页椭圆参数方程为面积元素所求面积例例求由椭圆所围图形面。解解xyo-aa-bb第69页练习练习1.求由曲线 所围图形面积。2.求由曲线 及 所围图形公共部分面积xyoaa-a-axS1S2第70页答案答案 1.所求面积 2.所求面积第71页所求面积S1S2Ax第72页体积定积分几何应用之二旋转体旋转体：由一平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成立体，称为旋转体。一、旋转体体积定直线旋转轴第73页旋转体体积计算(i)取x为积分变量，则(ii)对应于a,b上任一小区间x.x+dx小旋转 体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积旋转轴为x轴：曲边梯形绕 x轴旋转一周而成立体体积。yabxoxx+dx第74页例例求由连接坐标原点O及P(h,r)直线及x=h,x轴所围三角形绕x轴所成旋转体之体积。(i)取x为积分变量，则(ii)对应于a,b上任一小区间x,x+dx小旋转 体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积解解OP方程为yxoP(h,r)第75页旋转体体积计算(i)取y为积分变量，则(ii)对应于c,d上任一小区间y,y+dy小旋转 体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积旋转轴为y轴：曲边梯形绕y轴旋转一周而成立体体积。yxocddy第76页解解:（）取y为积分变量，则（）对应于0,1上任一小区间y,y+dy体积元素（）所求体积例例求由曲线 和 及x轴所围图形绕y轴旋转所成旋转体体积。(1,1)yo1x第77页解解:（）旋转轴为x轴体积元素：（）旋转轴为y轴例例求由曲线 和直线所围图形分别绕x轴和y轴旋转而成旋转体体积。所求体积:体积元素：2yox所求体积：第78页 如图，在距坐标原点为x处取一底边长为dx小曲边梯形ABCD,易知它绕y轴旋转所得旋转体体积近似值，即体积元素例例4证实：由平面图形 绕 y轴旋转而成旋转体体积为于是,所求体积为：（这是一个底面积为，高为圆柱体体积）A BC Dxyoab证实证实第79页解解:（）旋转轴为 x 轴（）旋转轴为 y 轴练习练习求由曲线 和直线 x=1 所围图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成旋转体体积。所求体积：所求体积：yox1或(1,1/e)(1,e)体积元素：第80页体积定积分几何应用之二二、平行截面面积已知立体体积若立体不是旋转体，但立体垂直于某定轴各截面面积已知，该立体体积亦可用定积分计算。.过点x而垂直于x轴平面截立体得截口面积为则立体体积为第81页2.过点y而垂直于y轴平面截立体得截口面积为则立体体积为yocdyB(y)第82页在所围立体上，作平行于坐标面 yoz 截面KLMN，因为NM=ML，所以KLMN为正方形，其面积为例例5求 及 两圆柱面所围立体体积。所求体积:NLMKyozx解解:第83页所求立体体积为例例6一平面经过半径为圆柱体底圆中心，并与底面成交角（如图）。计算这平面截圆柱体所得立体体积。如图建立坐标系，则底圆方程为截面积为xyyxR-RO立体中过点 x 且垂直于 x 轴直角截面为直角三角形，直角边长分别 y 为及ytana，解解第84页一、平面曲线弧长概念定理：定理：若 且 均缩为一点时xy定积分几何应用之三平 面 曲 线 弧 长定义：定义：设A、B为曲线弧上两端点，在AB上任取分点光滑曲线弧是可求长。极限存在，称此极限 为曲线弧弧长；并称该曲 线弧是可求长。第85页.直角坐标情形xx+dxdy定积分xyoaby=f(x)曲线弧由方程y=f(x)给出，其中f(x)在a,b上含有连续一阶导数，求该曲线(如图)长度。(i)取x为积分变量,则(iii)所求弧长(ii)弧长元素（弧微分）二、光滑曲线弧长计算第86页设曲线弧由参数方程给出，其中、在 上含有连续导数，求这曲线(i)取 t 为积分变量，则(iii)所求弧长(ii)弧长元素 参数方程情形长度。第87页曲线弧由极坐标方程给出，其中在上含有连续导数，利用所求弧长极坐标情形有求该曲线弧长。第88页解解从而弧长元素所求弧长例例1求由曲线 对应于 一段弧（如图）长度。令yox第89页解解所求弧长例例计算星形线 全长。aa-a-a弧长元素xyo第90页解解所求弧长例例计算心形线 全长。x弧长元素第91页