数学实验概率论与数理统计问题的求解省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第六讲 概率论与数理统计问题求解(下)概率分布与伪随机数生成统计量分析数理统计分析方法及计算机实现统计假设检验方差分析及计算机求解第1页 8.1概率分布与伪随机数生成 8.1.1 概率密度函数与分布函数概述第2页通用函数计算概率密度函数值 函数 pdf格式 P=pdf(name,K,A)P=pdf(name,K,A,B)P=pdf(name,K,A,B,C)说明 返回在X=K处、参数为A、B、C概率密度值,对于不一样分布,参数个数是不一样;name为分布函数名。比如二项分布:设一次试验,事件Y发生概率为p,那么,在n次独立重复试验中,事件Y恰好发生K次概率P_K为:P_K=PX=K=pdf(b
2、ino,K,n,p)第3页例:计算正态分布N(0,1)随机变量X在点0.6578密度函数值。解:pdf(norm,0.6578,0,1)ans=0.3213例:自由度为8卡方分布,在点2.18处密度函数值。解:pdf(chi2,2.18,8)ans=0.0363第4页 随机变量累积概率值(分布函数值)通用函数cdf用来计算随机变量概率之和(累积概率值)函数 cdf格式 cdf(name,K,A)cdf(name,K,A,B)cdf(name,K,A,B,C)说明 返回以name为分布、随机变量XK概率之和累积概率值,name为分布函数名.第5页例:求标准正态分布随机变量X落在区间(-,0.4)
3、内概率。解:cdf(norm,0.4,0,1)ans=0.6554例:求自由度为16卡方分布随机变量落在0,6.91内概率。解:cdf(chi2,6.91,16)ans=0.0250第6页随机变量逆累积分布函数 MATLAB中逆累积分布函数是已知,求x。命令 icdf icdf 计算逆累积分布函数格式 icdf(name,K,A)icdf(name,K,A,B)icdf(name,K,A,B,C)说明 返回分布为name,参数为a1,a2,a3,累积概率值为P临界值,这里name与前面相同。假如F=cdf(name,X,A,B,C),则 X=icdf(name,F,A,B,C)第7页例:在标准
4、正态分布表中,若已知F=0.6554,求X解:icdf(norm,0.6554,0,1)ans=0.3999例:公共汽车门高度是按成年男子与车门顶碰头机会不超出1%设计。设男子身高X(单位:cm)服从正态分布N(175,6),求车门最低高度。解:设h为车门高度,X为身高。求满足条件 FXh=0.99,即 FX=0.01故 h=icdf(norm,0.99,175,6)h=188.9581第8页8.1.2 常见分布概率密度函数与分布函数 8.1.2.1 Poisson分布其要求x是正整数。第9页其中:x为选定一组横坐标向量,y为x各点处概率密度函数值。第10页例:绘制 l l=1,2,5,10
5、时 Poisson 分布概率密度函数与概率分布函数曲线。x=0:15;y1=;y2=;lam1=1,2,5,10;for i=1:length(lam1)y1=y1,poisspdf(x,lam1(i);y2=y2,poisscdf(x,lam1(i);end plot(x,y1),figure;plot(x,y2)第11页8.1.2.2 正态分布正态分布概率密度函数为:第12页例:x=-5:.02:5;y1=;y2=;mu1=-1,0,0,0,1;sig1=1,0.1,1,10,1;sig1=sqrt(sig1);for i=1:length(mu1)y1=y1,normpdf(x,mu1(
6、i),sig1(i);y2=y2,normcdf(x,mu1(i),sig1(i);end plot(x,y1),figure;plot(x,y2)第13页8.1.2.3 分布第14页例:x=-0.5:.02:5;x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5;x=sort(x);替换 y1=;y2=;a1=1,1,2,1,3;lam1=1,0.5,1,2,1;for i=1:length(a1)y1=y1,gampdf(x,a1(i),lam1(i);y2=y2,gamcdf(x,a1(i),lam1(i);end plot(x,y1),figure;plot(x,y2)第15页8.1
7、.2.4 分布(卡方分布)其为一特殊 分布,a=k/2,l l=1/2。第16页例:x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:2;x=sort(x);k1=1,2,3,4,5;y1=;y2=;for i=1:length(k1)y1=y1,chi2pdf(x,k1(i);y2=y2,chi2cdf(x,k1(i);end plot(x,y1),figure;plot(x,y2)第17页8.1.2.5 分布概率密度函数为:其为参数k函数,且k为正整数。第18页例:x=-5:0.02:5;k1=1,2,5,10;y1=;y2=;for i=1:length(k1)y1=y1,tpdf(x,
8、k1(i);y2=y2,tcdf(x,k1(i);end plot(x,y1),figure;plot(x,y2)第19页8.1.2.6 Rayleigh分布第20页例:x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5;x=sort(x);b1=.5,1,3,5;y1=;y2=;for i=1:length(b1)y1=y1,raylpdf(x,b1(i);y2=y2,raylcdf(x,b1(i);end plot(x,y1),figure;plot(x,y2)第21页8.1.2.7 F 分布其为参数p,q函数,且p,q均为正整数。第22页例:分别绘制(p,q)为(1,1),(2,1),
9、(3,1)(3,2),(4,1)时F分布概率密度函数与分布函数曲线。x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:1;x=sort(x);p1=1 2 3 3 4;q1=1 1 1 2 1;y1=;y2=;for i=1:length(p1)y1=y1,fpdf(x,p1(i),q1(i);y2=y2,fcdf(x,p1(i),q1(i);end plot(x,y1),figure;plot(x,y2)第23页8.1.3 概率问题求解图4-9第24页例:b=1;p1=raylcdf(0.2,b);p2=raylcdf(2,b);P1=p2-p1P1=0.8449 p1=raylcdf(1,
10、b);P2=1-p1P2=0.6065第25页例:syms x y;f=x2+x*y/3;P=int(int(f,x,0,1/2),y,0,1/2)P=5/192 syms x y;f=x2+x*y/3;P=int(int(f,x,0,1),y,0,2)P=1第26页8.1.4 随机数与伪随机数第27页第28页例:b=1;p=raylrnd(1,30000,1);xx=0:.1:4;yy=hist(p,xx);hist()找出随机数落入各个子区间点个数,并由之拟合出生成数据概率密度。yy=yy/(30000*0.1);bar(xx,yy),y=raylpdf(xx,1);line(xx,y)第
11、29页8.2 统计量分析 8.2.1 随机变量均值与方差第30页例:均值 syms x;syms a lam positive p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x);m=int(x*p,x,0,inf)m=1/lam*a 方差 s=simple(int(x-1/lam*a)2*p,x,0,inf)s=a/lam2第31页已知一组随机变量样本数据组成向量:求该向量各个元素均值、方差和标准差、中位数medianmedian第32页例:生成一组 30000 个正态分布随机数,使其均值为 0.5,标准差为1.5,分析数据实际均值、方差和标准差,假如减小随机变量个数,会有
12、什么结果?p=normrnd(0.5,1.5,30000,1);mean(p),var(p),std(p)ans=0.4879 2.2748 1.5083300个随机数 p=normrnd(0.5,1.5,300,1);mean(p),var(p),std(p)ans=0.4745 1.9118 1.3827可见在进行较准确统计分析时不能选择太小样本点。第33页例:m,s=raylstat(0.45)m=0.5640s=0.0869第34页8.2.2 随机变量矩第35页例:求解原点矩 syms x;syms a lam positive;p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-
13、lam*x);for n=1:5,m=int(xn*p,x,0,inf),endm=1/lam*a m=1/lam2*a*(a+1)m=1/lam3*a*(a+1)*(a+2)m=1/lam4*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)m=1/lam5*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4)有规律第36页 syms n;m=simple(int(x)n*p,x,0,inf)直接求出m=lam(-n)*gamma(n+a)/gamma(a)for n=1:6,s=simple(int(x-1/lam*a)n*p,x,0,inf),end 中心距s=0s=a/lam2 s=2*a/lam3
14、s=3*a*(a+2)/lam4s=4*a*(5*a+6)/lam5s=5*a*(3*a2+26*a+24)/lam6 好像无规律第37页第38页例:考虑前面随机数,能够用下面语句得出随机数各阶矩。A=;B=;p=normrnd(0.5,1.5,30000,1);n=1:5;for r=n,A=A,sum(p.r)/length(p);B=B,moment(p,r);end A,BA=0.5066 2.4972 3.5562 18.7530 41.5506B=0 2.2405 0.0212 15.1944 0.0643第39页求各阶距理论值:syms x;A1=;B1=;p=1/(sqrt(2
15、*pi)*1.5)*exp(-(x-0.5)2/(2*1.52);for i=1:5 A1=A1,vpa(int(xi*p,x,-inf,inf),12);B1=B1,vpa(int(x-0.5)i*p,x,-inf,inf),12);end A1,B1A1=.500000000001,2.50000000000,3.50000000001,18.6250000000,40.8125000000 B1=0,2.25000000000,0,15.1875000000,0第40页8.2.3 多变量随机数协方差分析第41页第42页例:p=randn(30000,4);cov(p)ans=1.0033
16、 0.0131 0.0036 0.0020 0.0131 1.0110 0.0061 -0.0154 0.0036 0.0061 1.0055 -0.0004 0.0020 -0.0154 -0.0004 0.9881第43页8.2.4 多变量正态分布联合概率密度即分布函数第44页例:mu1=-1,2;Sigma2=1 1;1 3;%输入均值向量和协方差矩阵 X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4);xy=X(:)Y(:);%产生网格数据并处理(两列2501*2)p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2);%求取联合概率密度 P=reshape(p,size(X);C
17、hange size(2501*161*41)surf(X,Y,P)第45页 对协方差矩阵进行处理,可计算出新联合概率密度函数。Sigma2=diag(diag(Sigma2);%消除协方差矩阵非对角元素 p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2);P=reshape(p,size(X);surf(X,Y,P)R为m行n列。第46页例:mu1=-1,2;Sigma2=1 1;1 3;R1=mvnrnd(mu1,Sigma2,);plot(R1(:,1),R1(:,2),o)Sigma2=diag(diag(Sigma2);figure;R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,);plot
18、(R2(:,1),R2(:,2),o)第47页8.3数理统计分析方法及计算机实现 8.3.1 参数预计与区间预计 不论总体X分布函数F(x;)类型已知或未知,我们总是需要去预计一些未知参数或数字特征,这就是参数预计问题.即参数预计就是从样本(X1,X2,Xn)出发,结构一些统计量 X1,X2,Xn)(i=1,2,k)去预计总体X中一些参数(或数字特征)(i=1,2,k).这么统计量称为预计量预计量.第48页1、点预计、点预计:结构(X1,X2,Xn)函数 (X1,X2,Xn)作为参数 点预计量,称统计量 为总体X参数 点预计量.2.区间预计区间预计:结构两个函数 (X1,X2,Xn)和 (X1
19、,X2,Xn)做成区间,把这 ()作为参数 区间预计.第49页区间预计求法区间预计求法 设总体X分布中含有未知参数 ,若对于给定概率 ,存在两个统计量 (X1,X2,Xn)和 (X1,X2,Xn),使得 则称随机区间 为参数 置信水平为 置信区间置信区间,称 为置信下限置信下限,称 为置信上限置信上限.第50页 由极大拟然法预计出该分布均值、方差 及其置信区间。置信度越大,得出置信区间越小,即得出结果越靠近于真值。还有gamfit(),raylfit(),poissfit(),unifit()(均匀分布)等参数预计函数第51页例:p=gamrnd(1.5,3,30000,1);Pv=0.9,0
20、.92,0.95,0.98;A=;for i=1:length(Pv)a,b=gamfit(p,Pv(i);A=A;Pv(i),a(1),b(:,1),a(2),b(:,2)end AA=0.9000 1.5137 1.5123 1.5152 2.9825 2.9791 2.9858 0.9200 1.5137 1.5126 1.5149 2.9825 2.9798 2.9851 0.9500 1.5137 1.5130 1.5144 2.9825 2.9808 2.9841 0.9800 1.5137 1.5135 1.5140 2.9825 2.9818 2.9831第52页 num=30
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