数学建模概论市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学建模概论数学建模概论数学建模概论数学建模概论 第1页 数学模型数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性抽象而又简练刻划，它或本质属性抽象而又简练刻划，它或 能解释一些客观现能解释一些客观现象，或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象发象，或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象发展提供某种意义下最优策略或很好策略。展提供某种意义下最优策略或很好策略。数学建模数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型过程。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型过程。1.1 数学模型与数学建模数学模型与数学建模 第2页 例例（万有引力定律发觉万有引力定律发觉）十五世纪中期十五世纪中期，哥白尼哥白尼 提出了震惊世界提出了震惊世界 日心说日心说。丹麦著名试验天文学丹麦著名试验天文学 家家第谷第谷花了二十多年时间花了二十多年时间 观察纪录下了当观察纪录下了当 时已发觉五大时已发觉五大 行星运动情况行星运动情况。第谷学生和助手第谷学生和助手 开普勒开普勒对这些资料进行了九年时间分对这些资料进行了九年时间分 析计算后析计算后 得出著名得出著名Kepler三定律三定律。牛顿牛顿依据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分依据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律万有引力定律。1.行星轨道是一行星轨道是一 个椭圆，太个椭圆，太 太阳位于此椭圆一个焦太阳位于此椭圆一个焦 点上。点上。2.行星在单位时间内行星在单位时间内 扫过扫过 面积不变。面积不变。3.行星运行周期平方正比行星运行周期平方正比 于椭圆长半轴三次方于椭圆长半轴三次方，百分比系数不随行星而百分比系数不随行星而 改改变变（绝对常数）（绝对常数）开普勒三大定律开普勒三大定律 第3页如图，有椭圆方程如图，有椭圆方程:矢径所扫过面矢径所扫过面 积积A微分为微分为:由开普勒第二定由开普勒第二定 律律:常数常数马上得出马上得出:即即:椭圆面积椭圆面积由此得出由此得出常数常数简单推导以下：简单推导以下：行星行星r太阳太阳第4页我们还需算出行星加速度，为此需要建立我们还需算出行星加速度，为此需要建立 两种两种 不不一样坐标架。第一个是固定，以太阳为坐标原点，沿长一样坐标架。第一个是固定，以太阳为坐标原点，沿长轴方向单位向量记轴方向单位向量记 为为i,沿短轴方向单位向量记沿短轴方向单位向量记 为为j，于是：，于是：进而有进而有 加速度加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交单位向量以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交单位向量分别是分别是所以得出所以得出因为因为第5页也就是说行星加速度为也就是说行星加速度为由开普勒第三定律知由开普勒第三定律知为常数。若记为常数。若记那么就导出著名那么就导出著名 万有引力定律：万有引力定律：再将椭圆方程再将椭圆方程 两边微分两次，得两边微分两次，得将前面得到结果将前面得到结果和焦参数和焦参数代入，即得代入，即得第6页 1.了解问题实际背景，明确建模目标，搜集掌握必了解问题实际背景，明确建模目标，搜集掌握必要数据资料。要数据资料。2.在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对资料分析计资料分析计 算，算，找出起主要作用原因，经必要精炼、找出起主要作用原因，经必要精炼、简化，提出若干符合客观实际假设。简化，提出若干符合客观实际假设。3.在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各变量之间关系，建立对应数学结构变量之间关系，建立对应数学结构 即建立数学即建立数学模型。模型。4.模型求解。模型求解。5.模型分析与检验。模型分析与检验。在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应该借助应该借助 计算机计算机 求出数值求出数值解。解。1.21.2 数学建模普通步骤数学建模普通步骤实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用第7页1.3 数学模型分数学模型分 类类分类标准分类标准分类标准分类标准详细类别对某个实际问题了解深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量特征连续型模型、离散型模型或确定性连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等模型、随机型模型等建模中所用数学方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等程模型、优化模型等研究课题实际范围人口模型、生人口模型、生 态系统模型态系统模型、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、济模型、基因模型等基因模型等第8页数学建模实践数学建模实践 每一步中都每一步中都 蕴含着能力上蕴含着能力上 锻炼，在调查锻炼，在调查研究阶段，需研究阶段，需 要用到要用到观察能力观察能力、分析能力分析能力和和数据处理能力数据处理能力等。在提出假设等。在提出假设 时，又需要用到时，又需要用到 想象力和归纳想象力和归纳 简化能力。简化能力。在真正开始自己研究之前，还应该尽可能先了解一下前在真正开始自己研究之前，还应该尽可能先了解一下前人或他人工作，使自己工人或他人工作，使自己工 作成为他人研究工作作成为他人研究工作 继续而不继续而不是他人工作重复，你能够把一些已知研究结果用作你假设，是他人工作重复，你能够把一些已知研究结果用作你假设，去探索新奥秘。所以我们还应该学会在尽可能短时间去探索新奥秘。所以我们还应该学会在尽可能短时间 内内查查到并学会到并学会我想应用知识本事。我想应用知识本事。还需要你多少要有点还需要你多少要有点 创新能力创新能力。这种能力不是生来就有，。这种能力不是生来就有，建模实践就为你提供了一个培养创新能力机会。建模实践就为你提供了一个培养创新能力机会。1.4 数学建模与能力培养数学建模与能力培养 开设数学建模课主要目标为了提升学开设数学建模课主要目标为了提升学 生生综合素质综合素质，增强，增强 应用数学知识应用数学知识 处理实际问处理实际问 题题本事。本事。第9页例例1 某人平时下班总是按预定时间抵达某处，然某人平时下班总是按预定时间抵达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟抵达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟抵达该处，于是此人就沿着妻子来接他方向步行回去并在途中碰到了妻子，这一天，他方向步行回去并在途中碰到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？1.51.5 一些简单实例一些简单实例 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。换一个想法，问题就迎刃而换一个想法，问题就迎刃而解了。假如他妻子碰到他后仍载解了。假如他妻子碰到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前十分他就不会提前回家了。提前十分钟时间从何而来？钟时间从何而来？显然是因为节约了从相遇点到显然是因为节约了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这一段路缘故，故由相遇点到会合点需开段路缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟抵达分钟。而此人提前了三十分钟抵达会合点，故相遇时他已步行了二十五会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。分钟。请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设？第10页例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。问：在什么条件下，地。问：在什么条件下，能够确保途中最少存在一地，此人在两天能够确保途中最少存在一地，此人在两天中同一时间抵达该地。中同一时间抵达该地。分析分析分析分析 本题多少本题多少本题多少本题多少 有点象有点象有点象有点象 数学中数学中数学中数学中 解存在解存在解存在解存在 性条件性条件性条件性条件 及证实，当及证实，当及证实，当及证实，当 然然然然 ，这里情况要简单得多。，这里情况要简单得多。，这里情况要简单得多。，这里情况要简单得多。假如我们换一个想法，把第二天返回改变成另一人在同一假如我们换一个想法，把第二天返回改变成另一人在同一天由天由B B去去A A，问题就化为在什么条件下，两人最少在途中相，问题就化为在什么条件下，两人最少在途中相遇一次，这么结论就很轻易得出了：只要任何一人抵达时遇一次，这么结论就很轻易得出了：只要任何一人抵达时间晚于另一人出发时间，两人必会在途中相遇。间晚于另一人出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证实）请自己据此给出严格证实）第11页例例3 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态一个过渡状态亮一段时间黄灯。亮一段时间黄灯。请分析黄灯应该亮多久。请分析黄灯应该亮多久。构想一下黄灯作用是什么，不难看出，构想一下黄灯作用是什么，不难看出，黄灯起是警告作用，意思是马上要转黄灯起是警告作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上停车。红灯了，假如你能停住，请马上停车。停车是需要时间，在这段时间内，车停车是需要时间，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是。这就是说，在离街口距离为说，在离街口距离为 L处存在着一条处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见停车线（尽管它没被画在地上），见图图1-4。对于那些黄灯亮时已过线车辆，。对于那些黄灯亮时已过线车辆，则应该确保它们仍能穿过马路。则应该确保它们仍能穿过马路。马路宽度马路宽度 D是轻易测得是轻易测得，问题关键在，问题关键在 于于L确实定。确实定。为确定为确定 L，还应该将，还应该将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其其中中 L1是司机在发觉黄灯亮及判断应该刹车反应时是司机在发觉黄灯亮及判断应该刹车反应时间内驶过旅程间内驶过旅程 ，L2为刹车制动后车辆驶过旅程。为刹车制动后车辆驶过旅程。L1较轻易计算，交通部门对司机平均反应时间较轻易计算，交通部门对司机平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道行驶速度此街道行驶速度 v 也是交管部门早已定好，目也是交管部门早已定好，目标是使交通流量最大，可另建模型研究，从而标是使交通流量最大，可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来也可利用牛顿第二定律计算出来（留作习题）留作习题）。黄灯终究应该亮多久现在已经变得清楚多了。第黄灯终究应该亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯司机停应多大才能使看见黄灯司机停得住车。第二步，黄灯亮时间应该让已过线车顺得住车。第二步，黄灯亮时间应该让已过线车顺利穿过马路，即利穿过马路，即T 最少应该到达最少应该到达 （L+D）/v。DL第12页例例4 4 餐馆天天都要洗大量盘子，为了方便，餐馆天天都要洗大量盘子，为了方便，某餐馆是这么清洗盘子：先用冷水粗粗洗一某餐馆是这么清洗盘子：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，不下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，不然会烫手，但也不能太低，不然不洁净。因然会烫手，但也不能太低，不然不洁净。因为想节约开支，餐馆老板想了解一池热水到为想节约开支，餐馆老板想了解一池热水到底能够洗多少盘子，请你帮他建模分析一下底能够洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。这一问题。盘子有大小吗盘子有大小吗?是什么样盘子？是什么样盘子？盘子是怎样洗盘子是怎样洗?不妨不妨假假设设我们了解到：盘子大小相同，我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后盘子浸泡在热水中，然后 一清一清洗。洗。不难看出，是水不难看出，是水 温度在决温度在决 定洗定洗盘子数量盘子数量。盘子是先用冷水洗过，。盘子是先用冷水洗过，其后可能还会再用清水冲洗，更其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是换热水并非因为水太脏了，而是因为因为 水不够热了水不够热了。那么热水为何会变冷呢？假如你那么热水为何会变冷呢？假如你想建一个较精细模型，你当然应想建一个较精细模型，你当然应该把水池、空气等吸热原因都考该把水池、空气等吸热原因都考虑进去，但餐馆老板原意只是想虑进去，但餐馆老板原意只是想了解一下一池热水平均大约能够了解一下一池热水平均大约能够洗多少盘子，洗多少盘子，杀鸡杀鸡 焉用牛刀焉用牛刀？不妨能够提出以下不妨能够提出以下 简化假设简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子大小、材料相同盘子吸热，盘子大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗盘子初始温度与气温相同，洗完后温度与水温相同完后温度与水温相同（3）水池中水量为常数，开始温度水池中水量为常数，开始温度为为T1，最终换水时温度为，最终换水时温度为 T2（4）每个盘子洗涤时间每个盘子洗涤时间 T是一个常是一个常数。（数。（这一假设甚至能够去掉这一假设甚至能够去掉 不要不要）依据上述简化假设，利用热量守依据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板问题就很轻易衡定律，餐馆老板问题就很轻易回答了，当然，你还应该调查一回答了，当然，你还应该调查一下一池水质量是多少，查一下瓷下一池水质量是多少，查一下瓷盘吸热系数和质量等。盘吸热系数和质量等。可见可见，假设条件，假设条件 提出不提出不 仅和你仅和你 研研 问题问题 相关，还和相关，还和 你准备利用哪些知你准备利用哪些知 识识、准备建立什么样模型以及你准、准备建立什么样模型以及你准 备研备研究深入程度相关，即在你提出假设时，究深入程度相关，即在你提出假设时，你建模框架已经基本搭好了。你建模框架已经基本搭好了。第13页例例5 5 将形状质量相同砖块一一向右往外叠将形状质量相同砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远能够放，欲尽可能地延伸到远方，问最远能够延伸多大距离。延伸多大距离。设砖块是均质，长度与重量均设砖块是均质，长度与重量均 为为1 1，其，其 重心重心在中点在中点1/21/2砖优点。砖优点。?Zn(n1)n(n1)第14页例例4 4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子位置，必须确定尽快找回匣子。确定黑匣子位置，必须确定其所在方向和距离，试设计一些寻找黑匣子其所在方向和距离，试设计一些寻找黑匣子方法。因为要确定两个参数，最少要用仪器方法。因为要确定两个参数，最少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线强度。强度。第15页方法一方法一点光源发出射线在各点处照度与其到点光源点光源发出射线在各点处照度与其到点光源 距离平方成距离平方成反比，即反比，即 黑匣子所在黑匣子所在 方向方向很轻易确定，关键在于确定很轻易确定，关键在于确定 距离距离。设在设在同一方向不一样位置检测了两次，测得照度分别为同一方向不一样位置检测了两次，测得照度分别为I1和和I2，两测量点间距离为两测量点间距离为 a，则有，则有第16页方法二方法二在在方法一方法一中，两检测点与黑匣子中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较轻易位于一直线上，这一点比较轻易 做到，主要缺点是结果对照度测做到，主要缺点是结果对照度测 量精度要求较高，极少误差会造成结果很大改变，量精度要求较高，极少误差会造成结果很大改变，即敏感性很强，现提出另一方法，在即敏感性很强，现提出另一方法，在 A A点测得黑点测得黑匣子方向后匣子方向后 ，到，到B B点再测方向点再测方向 ，ABAB 距离为距离为a ，BACBAC=，ABCABC=，利用正弦定理得出，利用正弦定理得出 d=asinsin/sin(/sin(+)。需要指出是，当黑匣子位。需要指出是，当黑匣子位于较远处而于较远处而 又较小时，又较小时，+可能非常靠近可能非常靠近（ACBACB靠近于靠近于0 0），而），而sinsin（+）又恰好位又恰好位于分母上，因而对结果准确性影响也会很大，为于分母上，因而对结果准确性影响也会很大，为了使结果很好，应使了使结果很好，应使a也相对较大。也相对较大。BACa第17页