数学物理方法分离变量法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、本章中心内容本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题用分离变量法求解各种有界问题第二章第二章 分离变量法分离变量法1第第1页页本章基本要求本章基本要求n掌握有界弦自由振动解及其物理意义掌握有界弦自由振动解及其物理意义n着重掌握分离变量法解题思绪、着重掌握分离变量法解题思绪、解题步骤及其关键问题解题步骤及其关键问题-本征值问题本征值问题2第第2页页分离变量法关键:分离变量法关键:本章考虑问题本章考虑问题(1 1)混合问题(混合问题(2 2)边值问题)边值问题本章层次:本章层次:3偏微分方程偏微分方程常微分方程常微分方程齐次方程齐次方程+齐次边界条件齐次边界条件非齐次方程非齐次方程+齐次边界条件齐
2、次边界条件非齐次方程非齐次方程+非齐次边界条件非齐次边界条件第第3页页分离变量法思绪起源分离变量法思绪起源物理上由乐器发出声音能够分解为各种不一样频率单物理上由乐器发出声音能够分解为各种不一样频率单音,每种单音振动时形成正弦曲线,能够表示成音,每种单音振动时形成正弦曲线,能够表示成42.1 2.1 齐次方程问题齐次方程问题特点:含两个变量函数能够表示为两个分别只含一个特点:含两个变量函数能够表示为两个分别只含一个变量函数之积。变量函数之积。第第4页页这个定解问题这个定解问题特点特点是:偏微分方程是是:偏微分方程是线性奇次线性奇次,边界,边界条件也是条件也是奇次奇次。研究两端固定弦自由振动研究两
3、端固定弦自由振动定解问题定解问题解:解:这是解分离变量这是解分离变量泛定方程:泛定方程:边界条件:边界条件:初始条件:初始条件:5研究两端固定弦自由振动研究两端固定弦自由振动定解问题定解问题(第一类齐次边界条件)(第一类齐次边界条件)由前面思绪,设由前面思绪,设第第5页页 x,t 是相互独立变量是相互独立变量(求非零解)(求非零解)1 1 1 1、分离变量分离变量分离变量分离变量代入方程中,代入方程中,分离过程:分离过程:得出两个常微分方程:得出两个常微分方程:代入边界条件:代入边界条件:6第第6页页高数中结论:高数中结论:2 2 2 2、求解本征值问题求解本征值问题求解本征值问题求解本征值问
4、题7若有二阶常系数线性齐次方程若有二阶常系数线性齐次方程其中其中p p、q q为常数,则特征方程为为常数,则特征方程为第第7页页 本方程特征方程本方程特征方程本方程特征方程本方程特征方程r r r r2 2 2 2+=0+=0+=0+=0,由上面结论知,方程解与,由上面结论知,方程解与,由上面结论知,方程解与,由上面结论知,方程解与不不不不一样取值相关,分情况讨论:一样取值相关,分情况讨论:一样取值相关,分情况讨论:一样取值相关,分情况讨论:8(1)(2)此时此时此时此时X X X X(x x x x)=0=0=0=0,只有零解,不合题意;,只有零解,不合题意;,只有零解,不合题意;,只有零解
5、,不合题意;一样只有零解,不合题意;一样只有零解,不合题意;一样只有零解,不合题意;一样只有零解,不合题意;第第8页页C2是是积分常数积分常数9非零解非零解(3)则则则则X X X X(x x x x)一族非零解为)一族非零解为)一族非零解为)一族非零解为 上解称为满足边界条件固有解(特征解),上解称为满足边界条件固有解(特征解),上解称为满足边界条件固有解(特征解),上解称为满足边界条件固有解(特征解),称为固称为固称为固称为固有值(特征值),有值(特征值),有值(特征值),有值(特征值),sinsinsinsin函数称为固有函数(特征函数)。函数称为固有函数(特征函数)。函数称为固有函数(
6、特征函数)。函数称为固有函数(特征函数)。第第9页页固得到下面一族解:固得到下面一族解:A、B 是积分常数是积分常数3 3 3 3、解出时间函数,得到一族解解出时间函数,得到一族解解出时间函数,得到一族解解出时间函数,得到一族解时间函数解时间函数解10解方程解方程 n=1,2,31,2,3 第第10页页代入初始条件,有代入初始条件,有 普通情况下满足不了,怎么办?!普通情况下满足不了,怎么办?!利用叠加原理!利用叠加原理!114 4 4 4、经过初始条件,求出通解经过初始条件,求出通解经过初始条件,求出通解经过初始条件,求出通解第第11页页此时要满足初始条件,则此时要满足初始条件,则 12第第
7、12页页则定解问题最终解为则定解问题最终解为13第第13页页5 5 5 5、物理意义:、物理意义:、物理意义:、物理意义:是驻波,(固有振动模式)是驻波,(固有振动模式)相邻节点之间距离等于半波长相邻节点之间距离等于半波长 波长波长=节点数节点数 n+1 n+1,位置位置 lnlnnlnlx,)1(,2,0-=14第第14页页15本征频率本征频率lnavlannn22,=p pw wp pw w n=1n=1 时时,1lap pw w=基频基频基波基波(决定了音调)(决定了音调)n n 1 1 时时lannp pw w=谐谐频频谐波(决定了音色)谐波(决定了音色)波腹波腹波节波节第第15页页(
8、4 4)确定级数解中待定常数(利用初始条件)确定级数解中待定常数(利用初始条件)6 6 6 6、分离变量法概要:分离变量法概要:分离变量法概要:分离变量法概要:(1 1)将偏微分方程化简为常微分方程()将偏微分方程化简为常微分方程(U=XT)U=XT)(2 2)确定固有值和固有函数(利用边界条件)确定固有值和固有函数(利用边界条件)(3 3)确定形式解(级数形式解)确定形式解(级数形式解)16第第16页页17例:求解例:求解(第二类齐次边界条件)(第二类齐次边界条件)解:解:设设第第17页页18此时边界条件为:此时边界条件为:对应对应特征值问特征值问题题为:为:此时此时此时此时X X X X(
9、x x x x)=0=0=0=0,只有零解,不合题意;,只有零解,不合题意;,只有零解,不合题意;,只有零解,不合题意;(1)第第18页页19 一样只有零解,不合题意;一样只有零解,不合题意;一样只有零解,不合题意;一样只有零解,不合题意;(2)非零解非零解(3)第第19页页20则特征解为则特征解为则特征解为则特征解为将特征值代入将特征值代入将特征值代入将特征值代入T T T T(t t t t)方程,解出)方程,解出)方程,解出)方程,解出则则则则u u u u(x x x x,t t t t)特解族为)特解族为)特解族为)特解族为第第20页页一样极难满足初始条件,由叠加原理得一样极难满足初
10、始条件,由叠加原理得 21此时要满足初始条件,有此时要满足初始条件,有 第第21页页22故定解问题最终解为故定解问题最终解为第第22页页2.2 有限长杆上热传导23第第23页页24第第24页页25此特解依然极难满足初始条件,由叠加原理得级数解为此特解依然极难满足初始条件,由叠加原理得级数解为第第25页页26由初始条件有由初始条件有 第第26页页2.3 二维拉普拉斯方程定解问题 (1)圆域)圆域 因为边界形状是个圆周,圆域边界条件中因为边界形状是个圆周,圆域边界条件中x、y是是不可直接分离,故化为极坐标求解。不可直接分离,故化为极坐标求解。27第第27页页28第第28页页第一步:求满足齐次方程、
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