新版非线性方程的数值解法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、Tel:86613747E-mail:讲课讲课:68学分:学分:4第1页第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 引例引例在相距在相距100m两座建筑物两座建筑物(高度相等点高度相等点)之间之间悬挂一根电缆,仅允许电缆在中间最多下垂悬挂一根电缆,仅允许电缆在中间最多下垂1m,试计算所需电缆长度试计算所需电缆长度(如图所表示如图所表示)。因为空中电缆曲线是悬因为空中电缆曲线是悬链线链线,建立如图所表示坐建立如图所表示坐标系后标系后,悬链线方程为悬链线方程为第2页记笔记记笔记第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 由题设知曲线最底点由题设知曲线最底点(0,y(0)(0,y(0)与
2、最高点与最高点(50,y(50)(50,y(50)之间高度差为之间高度差为1m,1m,所以应有所以应有y(50)=y(0)+1,y(50)=y(0)+1,即即 要计算电缆长度要计算电缆长度,必须必须先求出上述方程中先求出上述方程中a,a,因为它是关于因为它是关于a a非线性方程非线性方程,没有现成公式没有现成公式可用可用,所以只能寻求其它解法所以只能寻求其它解法.第3页第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 再如求解方程再如求解方程近似根近似根方法方法1:将方程同解变换成将方程同解变换成然后画两条曲线然后画两条曲线这两条曲线交点横座标大致为这两条曲线交点横座标大致为x=2.5第4页第
3、二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 再如求解方程再如求解方程近似根近似根方法方法2:原方程可变换为原方程可变换为依据高等数学知识依据高等数学知识(零点定理零点定理)知知,设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,且且f(a)与与f(b)异号异号,在在(a,b)内最少存在一点内最少存在一点,使使f()=0而而f(2)f(3)1)当且仅当当且仅当第7页记笔记记笔记第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 当当f(x)f(x)不是不是x x线性函数时,称对应函数方程为非线性函数时,称对应函数方程为非线性方程。假如线性方程。假如f(x)f(x)是多项式函数,则称为代数
4、方程,是多项式函数,则称为代数方程,不然称为超越方程(三角方程,指数、对数方程等)。不然称为超越方程(三角方程,指数、对数方程等)。普通称普通称n n次多项式组成方程次多项式组成方程 为为n n次代数方程次代数方程,当当n n1 1时时,方程显然是非线性方程显然是非线性 普通稍微复杂普通稍微复杂3 3次以上代数方程或超越方程次以上代数方程或超越方程,极难极难甚至无法求得准确解。本章将介绍惯用求解非线性方甚至无法求得准确解。本章将介绍惯用求解非线性方程近似根几个数值解法程近似根几个数值解法 第8页记笔记记笔记第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 通常方程根数值解法大致分为三个步骤进行
5、通常方程根数值解法大致分为三个步骤进行判定根存在性。即方程有没有根?假如有判定根存在性。即方程有没有根?假如有根,有几个根?根,有几个根?确定根分布范围。即将每一个根用区间隔确定根分布范围。即将每一个根用区间隔离开来,这个过程实际上是取得方程各根离开来,这个过程实际上是取得方程各根初始近似值。初始近似值。根准确化。将根初始近似值按某种方法根准确化。将根初始近似值按某种方法逐步准确化,直到满足预先要求精度为止逐步准确化,直到满足预先要求精度为止第9页远在公元前1700年古巴比伦人就已经有关于一、二次方程解法。九章算术(公元前50100年)其中“方程术”有联立一次方程组一般解法。1535年意大利数
6、学家坦特格里亚(TorTaglia)发现了三次方程解法,卡当(HCardano)从他那里得到了这种解法,于1545年在其名著大法中公布了三次方程公式解,称为卡当算法。后来卡当学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程解法。此成果更激发了数学家们情绪,但在以后二个世纪中,求索工作始终没有成效,导致人们对高次代数方程解存在性产生了怀疑。第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法第10页1799年,高斯证实了代数方程必有一个实根或复年,高斯证实了代数方程必有一个实根或复根定理,称此为代数基本定理,并由此能够立刻推根定理,称此为代数基本定理,并由此能够立刻推理理n次代数方程必有次代数方程必有n
7、个实根或复根。个实根或复根。但在以后几十年中依然没有找出高次代数方程公式但在以后几十年中依然没有找出高次代数方程公式解。一直到解。一直到18世纪,法国数学家拉格朗日用根置世纪,法国数学家拉格朗日用根置换方法统一了二、三、四方程解法。换方法统一了二、三、四方程解法。但求解五次方程时未能如愿但求解五次方程时未能如愿,开始意识到有潜藏其开始意识到有潜藏其中奥妙中奥妙,用当代术语表示就是置换群理论问题。用当代术语表示就是置换群理论问题。在继续探索在继续探索5次以上方程解艰难历程中,第一个重次以上方程解艰难历程中,第一个重大突破是挪威数学家阿贝尔大突破是挪威数学家阿贝尔(NAbel1802-1829)1
8、824年阿贝尔发表了年阿贝尔发表了“五次方程代数解法不可能五次方程代数解法不可能存在存在”论文,但并未受到重视,连数学大师高斯也论文,但并未受到重视,连数学大师高斯也未了解这项结果主要意义。未了解这项结果主要意义。第11页1828年年17岁法国数学家伽罗华岁法国数学家伽罗华(EGalois 1811-1832)写出了划时代论文写出了划时代论文“关于五次方程代数解法关于五次方程代数解法问题问题”,指出即使在公式中允许用,指出即使在公式中允许用n次方根,并用次方根,并用类似算法求五次或更高次代数方程根是不可能类似算法求五次或更高次代数方程根是不可能文章呈交法兰西科学院后,因辈份太低遭到冷遇,文章呈
9、交法兰西科学院后,因辈份太低遭到冷遇,且文稿丢失。且文稿丢失。1830年伽罗华再进科学院递稿,得到年伽罗华再进科学院递稿,得到泊松院士判词泊松院士判词“完全不能了解完全不能了解”。以后伽罗华命运不佳,投考名校巴黎工科大学落榜,以后伽罗华命运不佳,投考名校巴黎工科大学落榜,屈就高等师院,并卷入政事两次入狱,被开除学籍,屈就高等师院,并卷入政事两次入狱,被开除学籍,又决斗受伤,死于又决斗受伤,死于1832年。决斗前,他把关于五次年。决斗前,他把关于五次代数求解研究结果写成长信,留了下来。代数求解研究结果写成长信,留了下来。第12页十四年后,法国数学家刘维尔十四年后,法国数学家刘维尔(JLiouvi
10、lle)整整理并发表了伽罗华遗作,人们才意识到这项近代理并发表了伽罗华遗作,人们才意识到这项近代数学发展史上主要结果宝贵。数学发展史上主要结果宝贵。38年后,即年后,即1870年,法国数学家若当年,法国数学家若当(CJordan)在专著论置换与代数方程中阐发在专著论置换与代数方程中阐发了伽罗华思想,一门当代数学分支了伽罗华思想,一门当代数学分支群论诞生了。群论诞生了。在前几个世纪中,曾开发出一些求解代数方程有在前几个世纪中,曾开发出一些求解代数方程有效算法,它们组成了数值分析中古典算法。至于效算法,它们组成了数值分析中古典算法。至于超越方程则不存在普通求根方式。超越方程则不存在普通求根方式。第
11、13页本章介绍方程迭代解法,它既能够用来本章介绍方程迭代解法,它既能够用来求解代数方程,也能够用来解超越方程,求解代数方程,也能够用来解超越方程,而且仅限于求方程实根。而且仅限于求方程实根。利用迭代法求解方程根应处理以下两个利用迭代法求解方程根应处理以下两个问题:问题:n确定根初值确定根初值;n将深入准确化到所需要精度。将深入准确化到所需要精度。记笔记记笔记第14页2.2 二分法二分法 二分法又称二分区间法二分法又称二分区间法,是求解方程是求解方程(2.1)(2.1)近似根近似根一个惯用简单方法。一个惯用简单方法。设函数设函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间 a,ba,b上连续上连续,且且f(
12、f(a)f()f(b)0,)0,依据连续函数性质可知依据连续函数性质可知,f(x)=0)=0在在(a,b)a,b)内必有实根内必有实根,称区间称区间 a,ba,b为有根区间。为明确为有根区间。为明确起见起见,假定方程假定方程f(x)=0f(x)=0在区间在区间 a,ba,b内有惟一实根内有惟一实根x x*。二分法基本思想是二分法基本思想是:首先确定有根区间首先确定有根区间,将区间将区间二等分二等分,经过判断经过判断f(x)f(x)符号符号,逐步将有根区间缩小逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小直至有根区间足够地小,便可求出满足精度要求近似便可求出满足精度要求近似根。根。第15页2.1.1确
13、定有根区间方法确定有根区间方法 为了确定根初值,首先必须圈定根所在范围,为了确定根初值,首先必须圈定根所在范围,称为称为圈定根或根隔离圈定根或根隔离。在上述基础上,采取适当数值方法确定含有一定在上述基础上,采取适当数值方法确定含有一定 精度要求初值。精度要求初值。对于代数方程,其根个数(实或复)与其次数对于代数方程,其根个数(实或复)与其次数 相同。至于超越方程,其根可能是一个、几个或无相同。至于超越方程,其根可能是一个、几个或无 解,并没有什么固定圈根方法解,并没有什么固定圈根方法 求方程根问题,就几何上讲求方程根问题,就几何上讲,是求曲线是求曲线 y=f(x)与与 x轴交点横坐标。轴交点横
14、坐标。第16页 由高等数学知识知由高等数学知识知,设设f(x)为区间为区间a,b上单值上单值连续连续,假如假如f(a)f(b)0,则则a,b中最少有一个实中最少有一个实根。假如根。假如f(x)在在a,b上还是单调地递增或递减,上还是单调地递增或递减,则仅有一个实根。则仅有一个实根。记笔记记笔记n由此可大致确定根所在子区间,方法有:由此可大致确定根所在子区间,方法有:(1)画图法画图法 (2)逐步搜索法逐步搜索法y=f(x)abyx第17页(1)画图法画图法 画出画出y=f(x)略图,从而看出曲线与略图,从而看出曲线与x轴交点轴交点 大致位置。大致位置。也可将也可将f(x)=0分解为分解为 1(
15、x)=2(x)形式,形式,1(x)与与 2(x)两曲线交点横坐标所在子区间即为含根两曲线交点横坐标所在子区间即为含根 区间。区间。比如比如 xlogx-1=0=0能够改写为能够改写为logx=1/x画出对数曲线画出对数曲线y=logx,与双曲线与双曲线y=1/x,它们交它们交 点横坐标位于区间点横坐标位于区间2,32,3内内第18页(1)画图法画图法023yx第19页n对于一些看不清根函数,能够扩大一下曲线对于一些看不清根函数,能够扩大一下曲线y0 xy=f(x)y=kf(x)(1)(1)画图法画图法画图法画图法记笔记记笔记第20页y0 xABa1b1a2b2(2)逐步搜索法逐步搜索法(2)(
16、2)搜索法搜索法 对于给定对于给定f(x),设有根区间为设有根区间为A,B,从从x0=A出发出发,以步长以步长h=(B-A)/n(n是是正整数正整数),在在A,B内取定节点内取定节点:xi=x0ih(i=0,1,2,n),从左至右检验从左至右检验f(xi)符号符号,如发觉如发觉xi与端点与端点x0函数值异号函数值异号,则得到一个缩小有根则得到一个缩小有根子区间子区间xi-1,xi。第21页例例1 1 方程方程f(x)=xf(x)=x3 3-x-1=0 -x-1=0 确定其有根区间确定其有根区间解:用试凑方法,不难发觉解:用试凑方法,不难发觉 f(0)0f(0)0 在区间(在区间(0 0,2 2
17、)内最少有一个实根)内最少有一个实根 设从设从x=0 x=0出发出发,取取h=0.5h=0.5为步长向右进行根为步长向右进行根 搜索搜索,列表以下列表以下x xf(x)f(x)0 0.5 1.0 1.5 20 0.5 1.0 1.5 2 +能够看出,在能够看出,在1.01.0,1.5,1.5内必有一根内必有一根第22页 用逐步搜索法进行实根隔离关键是选取步长用逐步搜索法进行实根隔离关键是选取步长h 要选择适当要选择适当h,使之既能把根隔离开来,工作量,使之既能把根隔离开来,工作量 又不太大。又不太大。为获取指定精度要求初值为获取指定精度要求初值,可在以上隔离根可在以上隔离根 基础上采取对分法继
18、续缩小该含根子区间基础上采取对分法继续缩小该含根子区间 二分法能够看作是搜索法一个改进。二分法能够看作是搜索法一个改进。第23页 取有根区间取有根区间a,b之中点之中点,将它分为两半将它分为两半,分点分点 ,这么就可缩小有根区间这么就可缩小有根区间2.2.2 二分法求根过程二分法求根过程 设设方方程程f(x)=0在在区区间间a,b内内有有根根,二二分分法法就就是是逐步收缩有根区间,最终得出所求根。逐步收缩有根区间,最终得出所求根。详细过程以下详细过程以下 第24页 对压缩了有根区间对压缩了有根区间 施行一样手法施行一样手法,即取中点即取中点 ,将区间将区间 再分为两半再分为两半,然然 后再确定
19、有根区间后再确定有根区间 ,其长度是其长度是 二分之一二分之一 如此重复下去如此重复下去,若不出现若不出现 ,即可得出一即可得出一 系列有根区间序列:系列有根区间序列:上述每个区间都是前一个区间二分之一上述每个区间都是前一个区间二分之一,所以所以 长度长度 当当k时趋于零时趋于零,这些区间最终收敛于一点这些区间最终收敛于一点x x*即为即为 所求根所求根。第25页每次二分后每次二分后,取有根区间取有根区间 中点中点作为根近似值,得到一个近似根序列作为根近似值,得到一个近似根序列 该序列以根该序列以根x x*为极限为极限 只要二分足够屡次只要二分足够屡次(即即k足够大足够大),),便有便有这里这
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