第一章-1.2.3-第2课时学习专用.docx

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第2课时　平面与平面垂直
学习目标　1.理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形.2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化.3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用．
知识点一　平面与平面垂直的定义
1．条件：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．
2．结论：两个平面互相垂直．
3．记法：平面α，β互相垂直，记作α⊥β.
知识点二　平面与平面垂直的判定定理
思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
答案　都是垂直．
梳理　平面与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直
图形语言

符号语言
a⊥α，a⊂β⇒α⊥β
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答案　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．
梳理　
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，
BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β
1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(　√　)
2．若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.(　×　)
3．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
类型一　面面垂直的判定
例1　如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PDB.
证明　设AC∩BD＝O，连接OE，
∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
反思与感悟　应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤
跟踪训练1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.
证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，
即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.
又DC1⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.
类型二　面面垂直的性质定理及应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明　如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
反思与感悟　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直．(2)直线必须在其中一个平面内．(3)直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．
求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
证明　(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，
∴AD⊥PB.
类型三　垂直关系的综合应用
例3　如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M，N分别是AE，AC的中点，求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDMN⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
解　(1)取CE的中点F，连接DF，易知DF∥BC，
因为CE⊥平面ABC，
所以CE⊥BC，所以CE⊥DF.
因为BD∥CE，所以BD⊥平面ABC，
所以BD⊥AB.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
因为EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，
所以Rt△EFD≌Rt△DBA，
所以DE＝DA.
(2)因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，
因为△ABC为正三角形，所以BN⊥AC.
因为EC∩AC＝C，
所以BN⊥平面ECA.
又因为BN⊂平面BDMN，
所以平面BDMN⊥平面ECA.
(3)因为M，N分别是AE，AC的中点，
所以MN綊CF綊BD，所以四边形MNBD是平行四边形，
所以DM∥BN，
由(2)知BN⊥平面ECA，
所以DM⊥平面ECA.
又因为DM⊂平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
反思与感悟　在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明　(1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.
又AD⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(3)在平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD.①
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF.②
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.
由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
1．下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．
其中错误的命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　B
解析　①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立．故选B.
2．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(　　)
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
答案　A
解析　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，
得AD⊥平面PAB.
∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.
3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的正投影H必在(　　)
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
答案　A
解析　在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.
又∵AC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，
D在面ABC内的射影H必在AB上．
故选A.
4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
答案　6
解析　∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴AF∥DE.
又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，
故EF＝AD＝6.
5．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
证明　连接AC与BD交于O点，连接OE.
∵O为AC的中点，E为SA的中点，
∴EO∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又∵EO⊂平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD.
1．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：
2．运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
一、选择题
1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列说法正确的是(　　)
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
答案　A
解析　∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有(　　)
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
答案　A
解析　B错，有可能m与β相交；C错，可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．
3．下列命题中正确的是(　　)
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
答案　C
解析　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．
4.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，则图中互相垂直的平面有(　　)
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
答案　D
解析　∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.
同理BC⊥平面PAB，
又AB⊥平面PAD，
∴DC⊥平面PAD，
∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
答案　D
解析　由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.
又AB⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC.
6．下列命题中错误的是(　　)
A．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
B．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
C．如果α不垂直于平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
答案　A
解析　若α⊥β，则α内必有垂直于β的直线，并非α内所有直线都垂直于β，A错．
7．过两点与一个已知平面垂直的平面(　　)
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
答案　C
解析　设两点为A，B，平面为α，若直线AB⊥α，则过A，B与α垂直的平面有无数个；若直线AB与α不垂直，即直线AB与α平行、相交但不垂直或在平面α内，均存在唯一平面垂直于已知平面．
8．在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
答案　C
解析　如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF，∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
得BC⊥平面PAE，
∴DF⊥平面PAE，∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，
∴D正确．
二、填空题
9.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________.
答案　2
解析　如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC.
又CE⊂平面ABC
可知DE⊥CE.
由已知可得DE＝，EC＝1，
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
10．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长为________．
答案　
解析　取CD的中点G，连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝＝.
11.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析　由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
三、解答题
12.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明　(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC.
因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.
又A1D⊂平面A1B1C1，
故CC1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，
故A1D⊥平面BB1C1C，
又A1D⊂平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
13.如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E点为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
证明　(1)在△ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F，
因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
所以DF⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，所以DF⊥AP.
作DG⊥AB于点G，

推进一带一路建设既要同理可证DG⊥AP.
因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，

教师教材学生所以PA⊥平面ABC.

《春雨》阅读答案小学(2)连接BE并延长，交PC于点H.

欧洲西部教学反思因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE.

欧洲西部教学反思又BE∩AE＝E，所以PC⊥平面ABE.

文成公主进藏教学实录因为AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB.

歌唱学校热爱班级又因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

时间像小马车教学反思所以PA⊥AB.
又PC∩PA＝P，所以AB⊥平面PAC.
又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形．

教育调查报告小学四、探究与拓展

摆渡自己的阅读及答案14．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
答案　②④
解析　因为PA⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．
15.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
(1)证明　∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.
(2)证明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，
又∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC.
(3)解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
证明如下：
取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.
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