球的体积和表面积公式具体推导过程.doc

1.。3。2球的体积和表面积(1)
设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积.
　　由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度，底面就是“小圆片”的下底面。
　　由勾股定理可得第i层(由下向上数）“小圆片"的下底面半径：
,（i＝1，2，3，···，n)
第i层“小圆片”的体积为：
V≈π·＝，（i＝1，2，3,···，n)
半球的体积：V半径＝V1＋V2＋···＋Vn
≈｛1＋（1－）＋（1－）＋···＋[1－］｝
＝［n－］（注：)
＝［n－＝）＝　　①
　　当所分的层数不断增加,也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的
体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。
　　事实上，n增大，就越来越小，当n无限大时，趋向于0,这时,有
V半径＝，所以，半径为R的球的体积为:　V＝

1.。3。2球的体积和表面积（2)
　　球的表面积推导方法（设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法）
（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2，……
Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn
　　把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来,整个球体被分成n个以“小球
面片”为底,球心为顶点的“小锥体".例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后
就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体"。这样“小锥体”
的底面是球面的一部分,底面是“曲”的。如果每一个“小球面片"都非常小，那么
“小锥体”的底面几乎是“平”的，(好象地球一样），这时，每一个“小锥体"就近
似于棱锥，它们的高近似于球的半径R.
　　（2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，…，Vn
那么球的体积为:V＝V1＋V2＋…＋Vn
　　由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的
近似值.第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点,以点O与第i个“小球面片”
顶点的连线为棱.设它的高为hi,底面面积为S’i，于是,它的体积为:
V’i＝hi S’i,（i＝1,2,…，n）
这样就有:Vi≈hi S’i，(i＝1,2,…，n）
V≈（h1 S’1＋h2 S’2 ＋…＋hn S’n）　　　　　　　　①
（3）转化为球的表面积.分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小,“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片"都无限变小，那么hi （i＝1，2，…，n）就趋向于R，S’i就趋向于 Si,于是，由①可得：V＝RS
又V＝，所以，有＝RS 即:　　　S＝4πR2