求极限的方法及例题总结.doc

1．定义:
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；
(2）在后面求极限时,（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明.
利用导数的定义求极限
　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则
定理1 已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1)
（2）
（3）
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限.通常情况下，要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简.

8。用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限
例1
解：原式=。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2
解:原式=。
例3
解：原式.
3．两个重要极限
（1）
（2）；
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,
例如：，,；等等。
利用两个重要极限求极限
例5
解：原式=。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6
解：原式=.
例7
解：原式=.
4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0)。
定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
～~～~～~。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成时(），仍有上面的等价
关系成立，例如:当时，～；～.
定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～,则当存在时，也存在且等于,即=。
利用等价无穷小代换（定理4)求极限
例9
解：~,～,
原式=。
例10
解：原式=。
注：下面的解法是错误的:
原式=。
正如下面例题解法错误一样：
。
例11
解：，
所以,原式=。(最后一步用到定理2)
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小.用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1. 2。
1/21
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大）时,函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；
（2)和都可导，且的导数不为0；
（3)存在（或是无穷大）；
则极限也一定存在,且等于，即=。
说明：定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时，应注意条件是否满足,只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足.另外,洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法.同时，洛比达法则还可以连续使用.
例12 （例4）
解：原式=。（最后一步用到了重要极限）
例13
解：原式=。
例14
解:原式==.（连续用洛比达法则，最后用重要极限)
例15
解：
先用等价无穷小，再用洛必达法则
例18
解:错误解法：原式=。
正确解法：
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19
解:易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:
原式=（分子、分母同时除以x）
=（利用定理1和定理2）
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有.
利用函数的连续性(定理6)求极限
例4
解:因为是函数的一个连续点，
所以原式=。
7．极限存在准则
定理7（准则1）单调有界数列必有极限.
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
例1。 设,
求极限。
定理8（准则2)已知为三个数列,且满足:
（1）
（2)，
则极限一定存在，且极限值也是a ,即。
10。 夹逼定理

利用极限存在准则求极限
例20 已知,求
解:易证:数列单调递增，且有界（0〈〈2），由准则1极限存在，设。对已知的递推公式两边求极限，得：
，解得：或（不合题意，舍去）
所以。
例21
解：易见:
因为，
所以由准则2得：。
9。 洛必达法则与等价无穷小替换结合法
对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用,往往能化简运算，收到奇效。

11. 泰勒展开法

12. 利用定积分的定义求极限法
积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题.

　　 8. 利用复合函数求极限

十、利用级数收敛的必要条件求极限
级数收敛的必要条件是:若级数收敛,则,故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。
例
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
例求
7等比等差数列公式应用（对付数列极限)（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，  xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化

11 还有个方法  ,非常方便的方法
  就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！!！!！！！！！！！！!！
x的x次方快于  x！   快于  指数函数   快于   幂数函数   快于        对数函数（画图也能看出速率的快慢）  !！!!！！
当x趋近无穷的时候  他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法  是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中  

16直接使用求导数的定义来求极限,
  （一般都是x趋近于0时候,在分子上f（x加减麽个值）加减f(x）的形式，    看见了有特别注意)

8