龙格库塔方法-PPT.ppt

Runge-Kuttua方法和matlab原理龙格库塔法（Runge-Kutta）数值分析中，龙格库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔龙格和马丁威尔海姆库塔于1900年左右发明。经典四阶龙格库塔法龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。四阶Runge-Kutta方法这样，下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：k1是时间段开始时的斜率；k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1 来决定y在点tn+h/2的值；k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；k4是时间段终点的斜率，其y值用k3 决定。当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：误差分析：误差分析：注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。四阶R-K方法的每一步需要计算四次函数值f，可以证明其局部截断误差为O(h5).R-K(R-K(高阶高阶)方法不唯一方法不唯一,选择不同的参数能得到选择不同的参数能得到不同的不同的R-KR-K公式公式注意的问题注意的问题R-KR-K方法的推导是基于方法的推导是基于TaylorTaylor展开法，因而要求展开法，因而要求解具有较好的光滑性，如果光滑性较差精度可解具有较好的光滑性，如果光滑性较差精度可能不如改进能不如改进EulerEuler方法方法,最好采用低阶算法而将最好采用低阶算法而将步长步长h 取小。取小。Runge-Kutta法的主要运算在于计算法的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算的值，即计算 f 的值。计算量与可达到的最高精度阶数的关系：的值。计算量与可达到的最高精度阶数的关系：753可达到的最高精度可达到的最高精度642每步须算每步须算Ki 的个数的个数四阶四阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法的方法的MATLABMATLAB实现原理：实现原理：四阶R-K方法实现开始开始输出输出x1,y1结束结束YNfunction ff=rk(yy,x0,y0,h,a,b)%yy为y的导函数,x0,y0,为初值,h为步长,a,b为区间c=(b-a)/h+1;i1=1;%c为迭代步数；i1为迭代步数累加值y=y0;z=zeros(c,6);%z生成c行，6列的零矩阵存放结果；%每行存放c次迭代结果，每列分别存放k1k4及y的结果不断迭代运算：for x=a:h:b if i1=c k1=feval(yy,x,y);k2=feval(yy,x+h/2,y+(h*k1)/2);k3=feval(yy,x+h/2,y+(h*k2)/2);k4=feval(yy,x+h,y+h*k3);y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);z(i1,1)=x;z(i1,2)=k1;z(i1,3)=k2;z(i1,4)=k3;z(i1,5)=k4;z(i1,6)=y;i1=i1+1;endend例例4解解例例 题题 4xnYn|yn-y(xn)|R-K3误差误差y(xn)0.1 1.0959 0.00051.095440.45e-41.09540.2 1.1841 0.0009 1.183220.17e-41.18320.3 1.2662 0.0013 1.264910.15e-41.26490.4 1.3434 0.0018 1.341650.48e-41.34160.5 1.4164 0.0022 1.414220.25e-41.41420.6 1.4860 0.0028 1.483260.55e-41.48320.7 1.5525 0.0033 1.549210.14e-41.54920.8 1.6165 0.0040 1.6124780.21e-41.61250.9 1.6782 0.0049 1.673350.54e-41.67331.0 1.7379 0.0058 1.732090.06e-41.7321改进改进EulerEuler法一步需要计算两个函数值法一步需要计算两个函数值(h=0.1)(h=0.1)四阶四阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法一步需要计算四个函数值方法一步需要计算四个函数值（h=0.2h=0.2）总计算量大致相当，但四阶总计算量大致相当，但四阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法精度更方法精度更高高五、变步长Runge-Kutta方法从每一步看，步长越小，截断误差越小；但随着从每一步看，步长越小，截断误差越小；但随着步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就会增加，步数的增加不但引起计算量的增大，就会增加，步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累，因此需要选而且可能导致舍入误差的严重积累，因此需要选择步长择步长如何衡量和检验计算结果的精度如何衡量和检验计算结果的精度如何依据所判定的精度来处理步长如何依据所判定的精度来处理步长实施方案以经典四阶以经典四阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法为例方法为例可以通过检查步长折半前后两次计算结果的偏差可以通过检查步长折半前后两次计算结果的偏差来判断所选取的步长是否合适来判断所选取的步长是否合适变步长方法变步长方法Thanks！