通信原理讲义.doc

通信原理
电子讲义

单 位：天津工业大学 信息与通信工程学院
课程编号：10920215
课程组负责人：郭翠娟
授课对象：电科、电信、通信、电子大三本科生
授课方式：多媒体
教材：《现代通信原理及应用》，苗长云等
讲义版本：2009年（第一版）

第一章 绪论

知识结构

- 通信系统的组成
- 通信系统的分类及通信方式
- 信息及其量度
- 通信系统的主要性能指标
教学目的
- 了解通信系统的基本概念、模型以及性能指标；
- 掌握信息及其度量、有效性和可靠性这两个性能指标的计算。
教学重点
- 数字通信系统的组成及各部分作用
- 信息量、信息熵、码元速率、信息速率、误码率的计算
教学难点
- 信源编码与信道编码的区分及关系
- 信息熵的概念
教学方法及课时
- 多媒体授课（4学时）（分2个单元）
备注

单元一（2学时）
§1.1 引言
本节知识要点：通信的定义 通信的目的 消息的载体
广义的“通信”的概念：通信是指由一地向另一地进行消息的有效传递。
通信的目的：传递消息。
消息的形式：消息具有不同的形式，例如：语言、文字、数据、图像、符号等等。
消息的载体：信号（如电压电流信号、光信号、电磁场信号等等）。
狭义的“通信”的概念：利用电子等技术手段，借助电信号（含光信号）实现从一地向另一地进行消息的有效传递称为通信。

§1.2 通信系统的组成及其模型
本节知识要点：
通信系统的一般模型 模拟通信系统 数字通信系统 数字通信的优点
§1.2.1 通信系统的一般模型
实现信息传递所需的一切技术设备和传输媒质的总和称为通信系统。以基本的点对点通信为例，通信系统的组成（通常也称为一般模型）如图 1-1 所示。

图 1-1 点对点通信系统的一般模型
图中，信源（信息源，也称发终端）的作用是把待传输的消息转换成原始电信号。信源输出的信号称为基带信号。
所谓基带信号 是指没有经过调制（进行频谱搬移和变换）的原始电信号，其特点是信号频谱从零频附近开始，具有低通形式。根据原始电信号的特征，基带信号可分为数字基带信号和模拟基带信号，相应地，信源也分为数字信源和模拟信源。
发送设备的基本功能是将信源和信道匹配起来，即将信源产生的原始电信号（基带信号）变换成适合在信道中传输的信号。变换方式是多种多样的，在需要频谱搬移 的场合，调制是最常见的变换方式；对传输数字信号来说，发送设备又常常包含信源编码和信道编码等。
信道是指信号传输的通道，可以是有线的，也可以是无线的，甚至还可以包含某些设备。图中的噪声源，是信道中的所有噪声以及分散在通信系统中其它各处噪声的集合。
在接收端，接收设备的功能与发送设备相反，即进行解调、译码、解码等。它的任务是从带有干扰的接收信号中恢复出相应的原始电信号来。
信宿（也称受信者或收终端）是将复原的原始电信号转换成相应的消息，如xx机将对方传来的电信号还原成了声音。
图 1-1 给出的是通信系统的一般模型，按照信道中所传信号的形式不同，可进一步具体化为模拟通信系统和数字通信系统。
§1.2.2 模拟通信系统的模型
我们把信道中传输模拟信号的系统称为模拟通信系统。
它主要包含两种重要变换：一是把连续消息变换成电信号（发端信息源完成）和把电信号恢复成最初的连续消息（收端信宿完成）。由信源输出的电信号（基带信号）由于它具有频率较低的频谱分量，一般不能直接作为传输信号而送到信道中去。
因此，模拟通信系统里常有第二种变换，即将基带信号转换成其适合信道传输的信号，这一变换由调制器完成。
在收端同样需经相反的变换，它由解调器完成。经过调制后的信号通常称为已调信号。
已调信号有三个基本特性：一是携带有消息，二是适合在信道中传输，三是频谱具有带通形式，且中心频率远离零频。因而已调信号又常称为频带信号。

必须指出，从消息的发送到消息的恢复，事实上并非仅有以上两种变换，通常在一个通信系统里可能还有滤波、放大、天线发射与接收、控制等过程。对信号传输而言，由于上面两种变换对信号形式的变化起着决定性作用，它们是通信过程中的重要方面。而其它过程对信号变化来说，没有发生质的作用，只不过是对信号进行了放大和改善信号特性等，因此，这些过程我们认为都是理想的，而不去讨论它。
§1.2.3 数字通信系统的模型
信道中传输数字信号的系统，称为数字通信系统。数字通信系统可进一步细分为数字频带传输通信系统、数字基带传输通信系统、模拟信号数字化传输通信系统。
1、 数字频带传输通信系统
数字通信的基本特征是，它的消息或信号 具有 “离散”或“数字”的特性。点对点的数字通信系统模型一般可用图 1-3 所示。

2、 数字基带传输通信系统
与频带传输系统相对应，我们把没有调制器 / 解调器的数字通信系统称为数字基带传输通信系统，如图 1-4 所示。

图中基带信号形成器可能包括编码器、加密器以及波形变换等，接收滤波器亦可能包括译码器、解密器等。
3、 模拟信号数字化传输通信系统
上面论述的数字通信系统中，信源输出的信号均为数字基带信号，实际上，在日常生活中大部分信号（如语音信号）为连续变化的模拟信号。那么要实现模拟信号在数字系统中的传输，则必须在发端将模拟信号数字化，即进行 A/D 转换；在接收端需进行相反的转换，即 D/A 转换。实现模拟信号数字化传输的系统如图 1-5 所示。

§1.2.4 数字通信的优点
抗干扰能力强、差错可控、易加密、易于与计算机等现代技术相结合；
§1.3 通信系统的分类及通信方式
本节知识要点：通信的分类 通信工作方式的分类
§1.3.1 通信系统的分类
通信的目的是传递消息，按照不同的分法，通信可分成许多类别，下面我们介绍几种较常用的分类方法。
1. 按传输媒质分
两大类：一类称为有线通信，另一类称为无线通信。所谓有线通信，
通常，有线通信可进一步再分类，如明线通信、电缆通信、光缆通信等。无线通信常见的形式有微波通信、短波通信、移动通信、卫星通信、散射通信和激光通信等，其形式较多。
2. 按信道中所传信号的特征分
前面已经指出，按照信道中传输的是模拟信号还是数字信号，可以相应地把通信系统分为模拟通信系统与数字通信系统。
3. 按工作频段分
按通信设备的工作频率不同，通信系统可分为长波通信、中波通信、短波通信、微波通信等。
4. 按调制方式分
可将通信系统分为基带传输和频带（调制）传输。基带传输是将没有经过调制的信号直接传送，如音频市内xx；频带传输是对各种信号调制后再送到信道中传输的总称。
5. 按业务的不同分
按通信业务分，通信系统可分为话务通信和非话务通信。
6. 按通信者是否运动分
通信还可按收发信者是否运动分为移动通信和固定通信。移动通信是指通信双方至少有一方在运动中进行信息交换。另外，通信还有其它一些分类方法，如按多地址方式可分为频分多址通信、时分多址通信、码分多址通信等；按用户类型可分为公用通信和专用通信以及按通信对象的位置分为地面通信、对空通信、深空通信、水下通信等。
§1.3.2 通信方式
从不同角度考虑问题，通信的工作方式通常有以下几种。
1. 按消息传送的方向与时间分
对于点对点之间的通信，按消息传送的方向与时间，通信方式可分为单工通信、半双工通信及全双工通信三种。
所谓单工通信，是指消息只能单方向进行传输的一种通信工作方式。
所谓半双工通信方式，是指通信双方都能收发消息，但不能同时进行收和发的工作方式。对讲机、收发报机等都是这种通信方式。
所谓全双工通信，是指通信双方可同时进行双向传输消息的工作方式。在这种方式下，双方都可同时进行收发消息。很明显，全双工通信的信道必须是双向信道。
2. 按数字信号排序方式分
按照数字信号代码排列顺序的方式不同，可将通信方式分为串序传输和并序传输。
所谓串序传输，是将代表信息的数字信号序列按时间顺序一个接一个地在信道中传输的方式，如图 1-7 （ a ）所示。如果将代表信息的数字信号序列分割成两路或两路以上的数字信号序列同时在信道上传输，则称为并序传输通信方式，如图 1-7 （ b ）所示。

3. 按网络结构分：专线通信和网通信。
单元二（2学时）
§1.4 信息及其量度
本节知识要点：符号的信息量 信息熵
由概率论可知，事件的不确定程度，可用事件出现的概率来描述。事件出现（发生）的可能性愈小，则概率愈小；反之，概率愈大。基于这种认识，我们得到：消息中的信息量与消息发生的概率紧密相关。消息出现的概率愈小，则消息中包含的信息量就愈大。且概率为零时（不可能事件）信息量为无穷大；概率为 1 时（必然事件）信息量为 0 。
综上所述，可以得出消息中所含信息量与消息出现的概率之间的关系应反映如下规律：
（ 1 ）消息 中所含信息量 是消息 出现概率 的函数，即
(式1-1)
（ 2 ）消息出现的概率愈小，它所含信息量愈大；反之信息量愈小。且
    时
    时
（ 3 ）若干个互相独立事件构成的消息（ ），所含信息量等于各独立事件 信息量的和，即
(式1-2)
可以看出，若 与 间的关系式为
(式1-3)
由式（ 1-3 ），有
（ bit ）
即二进制等概时，每个符号的信息量相等，为 1bit 。
  同理，对于离散信源，若 个符号等概率（ ）出现，且每一个符号的出现是独立的，即信源是无记忆的，则每个符号的信息量相等，为
（ bit ）  （式 1-4 ）
式中， 为每一个符号出现的概率， 为信源中所包含符号的数目。一般情况下，
为2 的整幂次，即 ，则上式可改写成：
（ bit ）   （式 1-5 ）
该结果表明，独立等概情况下 （ ）进制的每一符号包含的信息量，是二进制每一符号包含信息量的 倍。由于 就是每一个 进制符号用二进制符号表示时所需的符号数目，故传送每一个 进制符号的信息量就等于用二进制符号表示该符号所需的符号数目。
例 1.1 试计算二进制符号不等概率时的信息量（设 ）。
解:由 ， 有
  利用式（ 1-3 ），得
            （ bit ）
            （ bit ）
  可见不等概率时，每个符号的信息量不同。
  计算消息的信息量，常用到平均信息量的概念。平均信息量 定义为每个符号所含信息量的统计平均值，即等于各个符号的信息量乘以各自出现的概率再相加。
  二进制时
            （ bit/ 符号）
  多进制时，设各符号独立，且出现的概率为
             且 （ 式1-6 ）
  则每个符号所含信息的平均值（平均信息量）

                （ 式1-7 ）
由于式（ 1-7 ）同热力学中熵的形式一样，故通常又称 为信息源的熵，其单位为 bit/ 符号。显然，当信源中每个符号等概、独立出现时，式（ 1-7 ）即成为（ 1-4 ）。可以证明，此时信息源的熵为最大值。

例 1.2 设由 5 个符号组成的信息源，相应概率为

  试求信源的平均信息量 。
解:利用式 （ 1-7 ） ，有

例 1.3 一信息源由 4 个符号 0 、 1 、 2 、 3 组成，它们出现的概率分别为 3/8 、 1/4 、 1/4 、 1/8 ，且每个符号的出现都是独立的。试求某消息为 “201020130213001203210100321010023102002010312032100120210” 的信息量。
  解：信源输出的信息序列中， 0 出现 23 次， 1 出现 14 次， 2 出现 13 次， 3 出现 7 次，共有 57 个。则
  出现 0 的信息量为     （ bit ）
  出现 1 的信息量为     （ bit ）
  出现 2 的信息量为     （ bit ）
  出现 3 的信息量为     （ bit ）
  该消息总的信息量为  （ bit ）
  每一个符号的平均信息量为 （ bit/ 符号）
上面的计算中，我们没有利用每个符号出现的概率，而是用每个符号在 57 个符号中出现的次数（频度）来计算的。实际上，若直接用熵的概念来计算，由平均信息量公式（ 1-7 ）可得
（ bit/ 符号）
  则该消息总的信息量为   （ bit ）
  可以看出，本例中两种方法的计算结果是有差异的，原因就是前一种方法中把频度视为概率来计算。当消息很长时，用熵的概念计算比较方便，而且随着消息序列长度的增加，两种计算方法的结果将趋于一致。
§1.5 通信系统的主要性能指标
本节知识要点：码元速率、信息速率、误码率的概念、相互关系和计算
数字通信系统的有效性可用传输速率来衡量，传输速率越高，系统的有效性越好。通常可从以下两个不同的角度来定义传输速率。
§1.5.1 通信系统的有效性指标
1. 码元传输速率RB
通常又称为数码率、传码率、码率、信号速率或波形速率，用符号 来表示。码元速率是指单位时间（每秒钟）内传输码元的数目，单位为波特（ Baud ），常用符 号 “ B ” 表示。例如，某系统在 2 秒内共传送 4800 个码元，则该系统的传码率为 2400B 。
数字信号一般有二进制与多进制之分，但码元速率 与信号的进制数无关，只与码元宽度 有关。
           （式 1-8 ）
通常在给出系统码元速率时，有必要说明码元的进制。
2. 信息传输速率Rb
信息传输速率简称信息速率，又可称为传信率、比特率等。信息传输速率用符号 表示。 是指单位时间（每秒钟）内传送的信息量。单位为比特 / 秒（ bit/s ），简记为 b/s 或 bps 。例如，若某信源在 1 秒钟内传送 1200 个符号，且每一个符号的平均信息量为 l （ bit ），则该信源的信息传输速率 =1200b/s 或 1200bps 。
因为信息量与信号进制数 N 有关，因此， 也与 N 有关。
3. Rb与 RB之间的互换
根据码元速率和信息速率的定义可知， 与 之间在数值上有如下关系
                 （式 l-9 ）
应当注意两者单位不同，前者为 bit/s ，后者为 B 。
二进制时，式（ 1-9 ）为
        （ 式1-10 ）
4. 多进制与二进制传输速率之间的关系
根据式（ 1-9 ）、式（ 1-10 ），不难求得多进制与二进制传输速率之间具有如下关系：
（ 1 ）在码元速率保持不变 条件下，二进制信息速率 与多进制信息速率 之间的关系为
          （ 式1-11 ）
（ 2 ）在系统信息速率不变（ ＝ ）的情况下，多进制码元速率 与二进制码元速率 之间的关系式为
                （式1-12 ）
或                      　  　　（式1-13 ）

一般情况下， ＝ （ =1 ， 2 ， 3 ， 4… ），则式（ 1-11 ）和（ 1-13 ）变为
                   （式1-14 ）
                   （式1-15 ）
例 1.4 用二进制信号传送信息，已知在 30 秒钟内共传送了 36000 个码元，（ 1 ）问其码元速率和信息速率各为多少？（ 2 ）如果码元宽度不变（即码元速率不变），但改用八进制信号传送信息，则其码元速率为多少？信息速率又为多少？
解：（ 1 ）依题意，有
          （ B ）
     根据公式 （ 1-10 ），得
          （ b/s ）
  （ 2 ）若改为 8 进制，则
          （ B ）
  根据公式 （ 1-9 ），得
          （ b/s ）
  或者，根据关系式 （ 1-11 ）得
          （ b/s ）
  两种方法计算结果一致。
§1.5.2 通信系统的可靠性指标
衡量数字通信系统可靠性的指标，可用信号在传输过程中出错的概率来表述，即用差错率来衡量。差错率越大，表明系统可靠性愈差。差错率通常有两种表示方法。
l.码元差错率Pe
码元差错率 Pe简称误码率，是指发生差错的码元数在传输总码元数中所占的比例，更确切地说，误码率就是码元在传输系统中被传错的概率。用表达式可表示成
             （ 式1-16 ）
2. 信息差错率Peb
信息差错率 简称误信率，或误比特率，是指发生差错的信息量在信息传输总量中所占的比例，或者说，它是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。用表达式可表示成
           （式1-17 ）
显然，在二进制中有
例 1.5 已知某八进制数字通信系统的信息速率为 3000b/s ，在收端 10 分钟内共测得出现了 18 个错误码元，试求系统的误码率。
解：依题意
  则
  由式（ 1-16 ），得系统误码率

这里需要注意的是，一定要把码元速率 和信息速率 的条件搞清楚，如不细心，此题容易误算出 的结果。
[教学总结]：
容易混淆的几个概念：
1、“码元”和“bit”
在以往的教学中，发现同学们容易将“码元”和“bit”相互混淆。而区分这两个概念对于后面“数字信号的基带传输”和“数字调制”两章的学习非常重要。因此有必要通过画波形和习题来澄清这两个概念。
2、码元速率的量纲
是“B”，即“波特”，很多同学记为“B/s”或“bit/s”。

第二章 确知信号分析

知识结构

- 确知信号的概念、研究目的和分析方法
- 确知信号的能量谱密度和功率谱密度
- 确知信号的自相关函数及与谱密度的关系
教学目的
- 了解确知信号的范畴和基本分析方法；
- 掌握给定确知信号的能量谱密度或功率谱密度的计算。
教学重点
- Parseval定理
- 谱密度的计算（注意有两种途径）
教学难点
- 谱密度的理解和计算
教学方法及课时
- 多媒体授课（2学时）（1个单元）
备注
（在上课之前最好让学生复习一下“信号与系统”中付氏变换）
单元三（2学时）
§2.1 确知信号的范畴和基本分析方法
本节知识要点：付氏变换（必要时需要带同学们简要复习信号与系统知识）
§2.1.1 为什么要研究确知信号
通信系统中主要存在2大类信号：一种是来自于发送端的、携带信息的信号；另一种是遍布于整个传输过程中的附加的、不含有用信息的噪声信号。对于第一种信号，又分2小类信号：一是模拟信号，二是数字信号。其中模拟信号大多为随机信号，而数字信号虽然严格来说也是随机信号，但它是由若干确知信号按某种概率出现组成的。另外传输中的有些信号（如导频信号）本身就是确知信号。因此有必要对确知信号的特性进行研究。
§2.1.2 确知信号的基本分析方法
信号的基本分析方法有时域分析法和频域分析法。实践证明在很多情况下用后者分析更加方便。频域分析法中最基本、最常用的方法就是付氏变换，由于该分析方法在“信号与系统”课程中已详细讨论，在这里从略。
§2.2 能量信号和功率信号
本节知识要点：能量信号 功率信号
在我们常用的通信系统中，信号以电压或电流值表示，它在电阻 上的瞬时功率为：
或 (式2-1)
功率正比于信号幅度的平方。其归一化瞬时功率或能量（=1Ω）表示式为：
(式2-2)
在=1Ω负载上的电压或者电流信号的（归一化）能量为：
(式2-3)
单位时段2内的平均能量等于该被截短时段内信号平均功率。而信号的总平均功率则为：
(式2-4)
一般地，能量有限的信号称为能量信号，即 0<<∞；而平均功率有限的信号称为功率信号，即 0<<∞。
能量信号与功率信号是不相容的——能量信号的总平均功率（在全时轴上时间平均）等于0，而功率信号的能量等于无限大。通常，周期信号和随机信号是功率信号；确知而非周期信号为能量信号。
§2.3 能量谱密度和功率谱密度
本节知识要点：Parseval定理 能量谱密度 功率谱密度
§2.3.1 Parseval定理
Parseval定理属于卷积的性质之一，内容如下：
1、对于能量信号，在时域中计算的信号总能量,等于在频域中计算的信号总能量。即:
(式2-5)
式(2-5)又叫能量等式。其推导过程如下（此部分可针对考研同学选讲）：
设有下列傅里叶变换对：x1(t)<->X1(f) ，x2(t)<->X2(f)
按照频域卷积定理有：x1(t)×x2(t)<->X1(f)*X2(f)  即:
令f0=0得:

又令x1(t)=x2(t)=x(t)得:

x(t)是实函数，则X(-f)=X*(f)，所以:

|X(f)|2 称为能量谱,它是沿频率轴的能量分布密度。
(以上方框中是Parseval定理的证明 )
2、对于功率信号，若信号是周期函数，则可用付式级数的指数函数表示形式：

其中

则有 (式2-6)
（证明从略）
§2.3.2 能量谱密度和功率谱密度
一、能量谱密度和功率谱密度的定义
有巴塞伐尔定理可知，|F(w)|2和|Vn|2分别体现了能量信号的能量，以及周期性功率信号的功率，在频率域的分布情况。如果引入“密度函数”的概念：即，对密度函数积分就是总的能量或功率。那么对照巴塞伐尔定理可得：
能量信号的能量谱密度为：G( f )＝|S( f )|2 （J / Hz） (式2-7)
周期性功率信号的功率谱密度为： (式2-8)
二、对于非周期函数，可以采用截短函数的方法分析
信号的功率可表示为 (式2-9)
其中，　　是x(t)在区间　　　　　 内的截断信号，为能量信号。
根据能量信号帕斯瓦尔定理得： (式2-10)
将（2-10）代入（2-9）得：

(式2-9)

其中 (式2-10)
（对应教材的公式(2.3.10)）即为非周期功率函数的功率谱密度。
[教学总结]：
容易混淆的几个概念：
1、“频谱”和“能量/功率谱”
前者是对时间信号进行付氏变换直接得到的，体现的是各频率分量信号振幅的分布，对其积分没有任何物理意义。而后者是信号能量/功率的分布，对其积分后就是信号的总能量/平均功率。
2、能量信号和功率信号
可以通过作图来直观地区分二者。

第三章 随机信号分析

知识结构

- 随机过程的基本概念和统计特征
- 平稳随机过程与各态历经性
- 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度
- 高斯过程及其应用
- 随机过程通过线形系统
教学目的
- 了解随机信号的概念和基本分析方法；
- 掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算
- 掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点
- 随机过程的基本概念和数字特征
- 自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）
- 平稳随机过程通过线形系统
教学难点
- 各态历经性的理解
- 随机过程的自相关函数的性质
- 维纳-辛钦定理
教学方法及课时
- 多媒体授课（4学时）（2个单元）
备注
（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）
单元四（2学时）
§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）
本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法
随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知 （如能预知，通信就失去意义）。我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。通信系统中还必然遇到噪声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪 声、散粒噪声等，它们更不能预知。凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。
从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念
本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征
1、随机过程的一般概念
通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
例如，设有n台 性能相同的通信机，它们的工作条件也相同。现用n部记录仪同时记录各部通信机的输出噪声波形。测试结果将会表明，得到的n张记录图形并不因为有相同的条件而输出相同的波 形。恰恰相反，即使n足够的大，也找不到两个完全相同的波形。

图3-1 观察3次的噪声波形
这就是说，通信机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。这样的一次记录就是一个实现，无数个记录构成的总体就是一个随机过程。
2、随机过程的定义
定义：随机过程是依赖于时间参量t变化的随机变量的总体或集合；也可以叫做样本函数的总体或集合。习惯用ξ(t)表示。
3 、随机过程的统计特性的描述
随机过程的统计特征是通过它的概率分布或数字特征加以表述的。
设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上，ξ(t1)是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性，可以用分布函数或概率密度函数去描述。
定义：
（1） 随机过程ξ(t)的一维概率分布函数
(式3-1)
（2）随机过程ξ(t)的一维概率密度函数
如果存在
(式3-2)
则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。
（3）随机过程ξ(t)的n维概率分布函数
无疑，在一般情况下用一维分布函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充分的，通常需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函数。ξ(t)的n维分布函数被定义为
(式3-3)
（4）随机过程ξ(t)的n维概率密度函数
如果存在
(式3-4)
则称其为ξ(t)的n维概率密度函数。
显然，n越大，用n维分布函数或n维概率密度函数去描述ξ(t)的统计特性就越充分。
4、随机过程的数字特征
在许多场合，除关心随机过程的n维分布外，还需要关心随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、方差及相关函数等。
1）数学期望
随机过程ξ(t)的数学期望被定义为
(式3-5)
并记为E[ξ(t)]=a(t)。这里，它本该在某一时刻t1上求得，因此数学期望与t1有关。然而，t1是任意取得，故可把t1直接写成t。所以，随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。
数学期望的物理意义：信号或噪声的直流功率。
2）方差
随机过程的方差定义为
(式3-6)
方差的物理意义：信号或噪声交流功率。
3）自协方差与自相关函数
衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。
（1） 自协方差函数
定义
(式3-7)
式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；
用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。
（2）自相关函数
定义
(式3-8)
用途：a 用来判断广义平稳；
b用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。
（3）自协方差与自相关函数之间的关系
显然，由式（3-7）及(3-8)可得到二者之间的关系式，
(式3-9)

§3.3 平稳随机过程
本节知识要点：平稳随机过程 各态历经性
1、 平稳随机过程
狭义平稳概念：所谓平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足
(式3-10)
则称ξ(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。
2、 广义平稳过程
广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。
通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。
3、各态历经的平稳随机过程
1）、问题的提出
按照我们所学过的求解平稳随机过程的统计特性(即数学期望，自相关函数等)，需要预先确定ξ(t)的一族样本函数和一维、 二维概率密度函数，这实际上是不易办到的。
我们自然希望通过对一个样本函数长时间的观测，以得到这个过程的数字特征，那么这种方式是否可行呢？事实已经证明：如果一个平稳随机过程，只要满足一些较宽的条件，其集平均(统计平均值和自相关函数等)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替，这就是各态历经性。
2）、各态历经性
概念：对于一个平稳的随机过程，如果统计平均＝时间平均，这个随机过程就叫做各态历经的平稳随机过程。
设x1(t)是ξ(t)的一个样本，若下列式子成立，
(式3-11)
就称之为具有"各态历经性"的平稳随机过程。
一般来说,在一个随机过程中,不同样本函数的时间平均值是不一定相同的,而集平均则是一定的。因此,一般的随机过程的时间平均≠集平均,只有平稳随机过程才有可能是各态历经的。
即各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定的条件才是各态历经的。

例：随机相位正弦波ξ(t)＝sin(ωot+θ)的功率谱密度，其中θ是 在(0～2π)内均匀分布的随机变量。
求：（1）ξ(t)是否广义平稳？
    （2）ξ(t)是否各态历经？
解：
(1)由判定广义平稳条件可知,如果a(t),为常数, 而R(t,t+τ)仅与τ有关,则ξ(t)广义平稳。

可见，满足广义条件，所以广义平稳。
(2)若集平均＝统计平均，则ξ(t)是各态历经的随机过程。

所以,随机相位的正弦波是一个各态历经的随机过程。
单元五（2学时）
§3.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度
本节知识要点：随机信号的自相关函数概念、功率谱密度概念及其计算 维纳-辛钦定理
确知信号的相关是衡量两个信号之间的关联程度，随机过程的相关是衡量随机过程中两个随机变量之间的关联程度，但讨论随机过程自相关函数的主要目的除了判定广义平稳之外，它还能够把时域和频域巧妙的结合起来，使我们更加方便和全面的了解随机过程。
1、自相关函数
我们已经知道，平稳随机过程的自相关函数和时间t无关，而只与时间间隔τ有关，即
R(τ)＝E{ξ(t)ξ(t+τ)} (式3-12)
2、自相关函数的性质
1)、 (式3-13)
R(0)为ξ(t)的均方值(平均功率)。
自相关函数在τ=0处的数值等于该过程的平均功率( 包括直流功率和交流功率)。
2)、对偶性 R(τ)＝R(－τ)
即自相关函数是τ的偶函数。
证明：

3）、当τ＝0时,自相关函数取最大值，即R(0)≥ R(τ)
证明:

4）、 (式3-14)
在时间间隔很大的时候,可将二者看成是相互独立的。
由该性质可知：利用R(τ)的图形就可以求出该过程的各种成份的功率(直流功率,交流功率,总功率)
有该性质可推出性质5
5）、 (式3-15)
3、功率谱密度
付氏变换沟通了确定信号时域和频域的关系，那么为什么随机过程在频率域中要讨论功率谱密度，而不讨论付氏变换呢？主要原因有二。
1)、对于随机过程来说，它由许许多多个样本函数来构成, 所以我们无法求其付氏变换，可以说,随机过程不存在付氏变换。
2)、随机过程属于功率信号而不属于能量信号，所以我们讨论功率谱密度。
对于任意的功率信号f(t)的功率谱为