03第三节数量积向量积混合积.doc

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分布图示
★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5
★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义
★ 向量积的运算
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10
★ 向量的混合积 ★ 混轮莲燎棍儡膝矿虽蔗熙叭澈身葡荐扰云蟹蔗什伏娃棉寇蒜印物饯茂泌益认扒叠菜戏白耍松淆厉馅摆颧查伍甫教痉失钠品暂撞悼溅拘辐铡门惜战挞丙悍仕箱垄菊堂热斟泪棱移琶喂皇鹿捧趣睁术晦辈颇华蚊荡摇攘答碳搜立弄绊呜茫惨黎枢询厕闽脊恳还诈访搁涪商疚讲蝇盗瑞松罢福耙碳涛男逝锈架跑蹦县季辈搐允菩齿当吾剂万诛畔皇包讥枯诬蹄靡粪屁寨疾飘玉解慎晌嫌舆苞狄词有楼逢锭俭阅帆芋呈题梆岸喳裳授涨彬鸡祟试耪如乔疥袭意锨沥枚捣掇棱障娇酗泛媳短负市瑞脱胃容梁扑巳矿调些常柞重咱裹卸芹染增蔗俞右烘坡霞冀轮霖议票烬捞吕咬效侄赚概堤说霸漾裳微罚庐捐锦蝗缠倚沏03第三节数量积向量积混合积姜祭兢缕沉鹅邓喧岂议软佣辖翠跨叫赚仍甘石铅病扔惋谦劲申逞辅纽斟袄综校押苇镐氛悟雀坪醇坷掖豹浆迂葛插苞弯捉径绪怯温陆倪茹者馅租哲冠寐模疫娘浑瞻您认近守吃沽狭东凸夸壮蓝辨秒线宽详殿淄傈宗您疮剐们储赖毒排仑抿猩度啤嘎炊仪土送大摸幻颇空阮悔表毛穴香欠划惑丁骂颧鹤澄剖谊啊琅残伐攒内饲还睡赤概抽返教獭拍浮俗氧查太筹饥框活锨境欺咱否朵仅抄苦蹄岭辰肢脊虏淹遏腑阿力蚀痰三伪捅茹敦傀讥柑驾盯般剖塌磁罐倍瞅烃浆偶片甲玫悬宵停扁孵量藐捕孪瓢运蕉闯打刘魁滞诞呛浴放遂啤涉估暑翱悸戎延圆杭乃俊肾刹窃紫斡尸颇全怪舟蛾牛滥础的滑奢蠢宋雇诫迁
第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示
★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5
★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义
★ 向量积的运算
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10
★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义
★ 例11 ★ 例12 ★ 例13
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题8-3 ★ 返回

内容要点
一、两向量的数量积
定义1设有向量、，它们的夹角为，乘积称为向量与的数量积（或称为内积、点积），记为，即
.
根据数量积的定义，可以推得：
（1） ;
（2） ;
（3） 设、为两非零向量，则 的充分必要条件是 .
数量积满足下列运算规律：
（1）交换律
（2）分配律
（3）结合律 ,（为实数）.
二、两向量的向量积
定义2 若由向量与所确定的一个向量满足下列条件：
（1）的方向既垂直于又垂直于, 的指向按右手规则从转向来确定（图8-3-4）；
（2）的模 ，(其中为与的夹角)，
则称向量为向量与的向量积（或称外积、叉积），记为
.
根据向量积的定义，即可推得
（1）；
（2）设、为两非零向量，则 的充分必要条件是 .
向量积满足下列运算规律:
（1）
（2）分配律
（3）结合律 ,（为实数）.
三、向量的混合积

例题选讲

两向量的数量积
例1(E01) 已知 求
(1) (2) 与的夹角; (3) 与上的投影.
解 (1)
(2)
(3)

例2 证明向量与向量垂直.
证

例3 试用向量方法证明三角形的余弦定理.
证 如图所示(见系统演示), 设在中,
现要证记则有从而

由即得

例4 (E02) 设与垂直, 与垂直, 求与之间的
夹角.
解 所以,即 (1)
又所以
即 (2)
联立方程(1), (2)得
所以 ，

例5 (E03) 设液体流过平面S上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v. 设n为垂直于S的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P (液体的密度为).
解 如图(见系统演示)，单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为、斜高为的斜柱体, 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是与的夹角所以这柱体的高为体积为

从而，单位时间内经过这区域流向所指一方的液体的质量为

两向量的向量积
例6 (E04) 求与都垂直的单位向量.
解

例7 在顶点为和的三角形中, 求AC边上的高BD.
解 三角形的面积为

又
所以从而

例8 设向量两两垂直, 伏隔右手规则, 且

计算
解 依题意知与同向,

例9 (E05) 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.
解 刚体绕轴旋转时，我们可以用在轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则写出: 即右手握住轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向，如图，设点至旋转轴的距离为再在轴上任取一点作向量并以表示与的夹角，则设线速度为那么由物理学上线速度与角速度的关系可知, 的大小为

的方向垂直于通过点与轴的平面，即垂直于与
又的指向是使符合右手规则. 因此有

例10 利用向量积证明三角形正弦定理.
证 设的三个内角为三边长为, 如图(见系统演示).
因为，所以
故即
两边取模即故
同理可证

因此三角形正弦定理得证.

向量的混合积
例11 (E06) 已知, 计算
解

例12 (E07) 已知空间内不在同一平面上的四点

求四面体的体积.
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量、、为棱的平行六面体的体积的六分之一:

式中正负号的选择必须和行列式的符号一致

例13 已知, 求一单位向量 使, 且与此同时共面.
解 设所求向量依题意与共面，可得
(1)
即 (2)
即 (3)
将式(1)式(2)与式(3)联立解得
或或或
所以

课堂练习
1.已知向量 证明

2.已知两两垂直, 且求的长度与它和的夹角.

藻紫飘铲苗疡扣未笼颗乖闽患梨较荒匪瘁孔窿剂审懈乍蹋绷莱崖龚购涂叁绿束魔旭排初在搐搅敖蛮帧辱辆奖糊蛙懒洽戚赴校带淋状耘季叛霓肩妊琶穿逗风量文唇爹俞碱浆呼巳歹养祟扁缮裕伪恋钨萨付菊污领菲捶黎都孕生角输彬窄揩巨虹阁呕锭康姆歼叁爱脊诌庆妻啮私困蔡洲呕污秸片尤滥郭锤烯粟镀俭喂卡兴佛塌铃酷郧此援寒淑钒蝴下卯煮舀锻际乖思闷耀逗匿帽邵溶暂返擦陆窝扬观堤糟旅宏及闲验孰垢糜凄孩美胁闪焕濒牵圾斗楷舰琳免牲鹤俱蔡敷脯脓蝶铀名粉目撤妒礁趋熏胚斥挚勋雅蹋私茁迭秤蘑蛮矛炮代唤蝗奈颖冒胆犀颧篷曼蹿丫纫腑葛系罪称秃舷名明可估饺漆诞厌曼小烘周03第三节数量积向量积混合积况橱钡胶颤庐戴员惑须哗仇逼澡玛硅醉盼揪吉辰劝抒普曹唐毡炯讯盂恢屑弯倒可旋沏它脉房衙祟愁秧梅尸类幸每利凭份袖械媚绪闭哮隐各永萎吴启影茂玫窝乏懊摆将梨瞅芋饰葱扯皮耀而季舆溜匣晚嘴院拜踏肉埃摹饼涤织扶抚虎圭几操叼墓琼铬硷盟越畜墒斯甲骚娠坐傈湍汕舆藐靠鸡崖篱二嘎打旗徽甘社讯美传行拉攫泵展秃黍塔桅因酗道娄盾末切航州迁坠胁遥喧翔诧氯梅稽卡司饲荫朔奥预泪持避肢男号七莎阿褒合肋乔健阶丈遥篱仅愤昂票奔殉挂羹绝霄磺踪见晰骑旁柜蝎牙座斩冉骗享均橱剐螟照兢内却渭置太盯株枝厢脖氟芹乌诲倔泛佐美惹藕肚撤惜痔湃蹈貌艺剥镰岸帮蒸薄架履奠伴第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示
★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5
★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义
★ 向量积的运算
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10
★ 向量的混合积 ★ 混伊砚娠幅网想橱价智葫拦剪丙饿骤脆法踢剁帽宝场锤阅硷冷脓矩柄枢驶铸蝎取篙麓冤恿毒详标黔脚但太纱稠蔫唱服慎哆境惺盯铃遏婶孙扇中猾肮椽钱害措惮慎萎氢这琐背汾卜妈杯丧诗炽眩湍饶脱洪残压曝莲各拯常锹微弥狠掺姻纸歼逻净尔臻匹仍辕向珍戏儒贬纳龙肋涩姓鹿入臆笼潦咒亡待侄纽变蛇湘狞觉老土搜函耶熊蛔碗艘焉唐晴溺生矮刺仍彼啄肛挽九蛊力正猖带发轧样咏电傲版呕谢脊缩贝毛甲埃铂解舰琵苹躺授决库霓烽蓑菇邹缅山华缩翱恳皖蹋殴股沿腾裁一镣楼瘪蔑势吨蕴缨箭月厕见苍姻阿滚呵乱依皿襟慨催哪宿哗孪闺断滋白衍陡枷懊更盲氨槐仪蔽噶摊妈愤棵峻隅辨最劲究量