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导数练习题(精编)

1．已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若，且恒成立，求实数的取值范围.
2．已知函数，，，令.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
3．已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，.
4．已知函数.
（1）若，求函数的极小值；
（2）设，证明：.
5．已知函数，其中且，为自然常数.
（1）讨论的单调性和极值；
（2）当时，求使不等式恒成立的实数的取值范围.
6．已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）证明：函数的图象在直线的图象下方.
7．已知函数.
（1）函数在点处的切线与直线平行，求函数的单调区间；
（2）设函数的导函数为，对任意的，若恒成立，求的取
值范围.

8．设函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当时，证明：．
9．（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
10．（本题满分14分）设函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当时．证明：．

参考答案
1．（1）函数极小值为，无极大值；（2）.
【解析】
试题分析：（1）当时，，通过二次求导可知函数在上单调递增，且，所以当时，当时，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的极小值点为，无极大值点；（2）对函数求导可得，分和讨论，显然时，，函数在上单调递增，研究图象可知一定存在某个，使得在区间上函数的图象在函数的图象的下方，即不恒成立，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，解得.
试题解析：（1）函数的定义域是,当时，,易知函数的定义域是上单调递增函数，且,所以令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数极小值为，无极大值.
（2），则.
①当时，恒成立，所以函数在上单调递增，
且数形结合易知，一定存在某个，使得在区间上，
函数的图象在函数的图象的下方，即满足的图象即.
所以不恒成立，故当时，不符合题意，舍去；
②当时，令，得；，得；
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以函数定义域上的最小值为.
若恒成立，则需满足，即，
即，即.
又因为，所以，解得，所以.
综上，实数的取值范围是.
考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值.
【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数学思想，属于难题.本题第一问研究函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明的单调性，来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把恒成立转化为求函数的最小值，按照的符号进行讨论，来判断的单调性，当时，单调递增，通过找反例排除，当时，求出函数零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解.
2．（1）；（2）最小值为．
【解析】
试题分析：（1）当时,对求导求其单调增区间；（2）先化简为,恒成立问题,转化为求的最大值来求解.
试题解析：（1），，，（）.
由得又，所以，所以的单增区间为.
（2）令.
所以
当时，因为，所以所以在上是递增函数，
又因为.
所以关于的不等于不能恒成立.
当时，.
令得，所以当时，；当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数.
故函数的最大值为.
令，因为，.
又因为在上是减函数，所以当时，，
所以整数的最小值为2.
考点：1.导数与单调性；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．
【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题,只需按求函数单调性的方法来求解就可以.第二问是恒成立问题,我们一般都需要对已知条件进行化简,如本题我们就化简为,化简后右边为零,我们就可以转化为求的最大值来求解. 借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解.
3．（1）函数在上为减函数；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）对函数求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数的单调性；（2）对任意的，等价于对任意的，,再构造函数,求导,利用导数,求出的最大值小于零.
试题解析：解：（1）当时，，，
，
∵当时，，∴.
∴在上为减函数.
（2）设，，，
令，，则，
当时，，有，
∴在上是减函数，即在上是减函数，
又∵，，
∴存在唯一的，使得，
∴当时，，在区间单调递增；
当时，，在区间单调递减，
因此在区间上，
∵，∴，将其代入上式得
，
令，，则，即有，，
∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，
∴，
即任意，，
∴，因此任意，.
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.导数的综合应用.
【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,导数的综合应用等知识点,是压轴题.在（2）中,注意等价转换,对任意的，等价于对任意的，,再构造函数,利用单调性,求出函数的最大值, 即,把看成一个整体,就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化,难度大,综合性强.
4．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）当时，得其零点，判断在上的单调性，可知有极小值；（2）把函数放缩，构造函数，利用导数研究函数的单调性，并求出其最小值的范围即可证得结论.
试题解析：（1），所以，
观察得，而在上单调递增，所以当时，当时；所以在单调递减，在单调递增，故有极小值．
证明：（2）因为，所以，
令，则，易知在单调递增，
，，所以设，则；当时，，当时，；所以在上单调递减，上单调递增，
所以，又因为，故，
所以，
所以
当且仅当，即时等号成立，而，所以，即，所以，即．
考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思想的应用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题（1）中导函数的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点；解答的难点是（2）证明不等式，可利用函数的单调性进行放缩，转化为研究不含参数的函数的最小值，这是本题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提下可以设出极值点，表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧.
5．（1）当时，，在上单调递减，在上单调递增，有极小值；当时，，，所以在上单调递增，无极值；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值．
试题解析：（1）因为，
所以当时，的定义域为；
当，的定义域为.
又，，
故当时，，在上单调递减，在上单调递增，
有极小值；
当时，，，所以在上单调递增，无极值.
（2）解法一：
当时，，由（1）知当且仅当时，，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
当且仅当时，.
当时，由于，所以恒成立；
当时，，
要使不等式恒成立，只需，
即.
综上得所求实数的取值范围为.
解法二：
当时，所以，
故
令，则.
由（1）可知，
所以当时，，当时，，
所以.
故当时，不等式恒成立.
考点：1.导数在研究函数中的应用；2.导数在研究不等式恒成立问题中的应用．
【方法点睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究不等式恒成立中的应用，综合性较强，属于难题；利用导数处理不等式恒成立问题，往往优先考虑分离参数，利用恒成立转化为求函数的最值问题，再利用导数求最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强的运算化简能力.
6．（1） ； （2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）求导，由求出即可；（2）“函数的图象在直线的下方”等价于，构造函数，，求导，研究函数的单调性与最值，证即可.
试题解析：对求导，得，，，
所以
（2）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于即要证， 所以只要证. ， ，趋于0时，，存在一个极值 使得 等价于所以
故函数的图象在直线的下方. 2
考点：1.导数的运算法则；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与不等式.
7．（1）的单调区间为，单调减区间为；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据在点处的切线与直线平行，可得，据此可求得，研究的符号变化即得函数的单调区间；（2）若对任意的，若恒成立，则有，分别求出和的最大值即可求得的取值范围.
试题解析：（1），
即，令，解得或，
所以函数的单调区间为，单调减区间为；
（2），令
函数的单调为，单调减区间为.
当时，，又，
恒成立，.
考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的最值等.
【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及给定区间山的最值问题，属于中档题. 利用导数的几何意义求曲线上某点的切线是导数中最常见的问题之一，关键是把好审题关，判断给出的点是否是切点，利用导数研究函数的单调性常用列表或串根法判断导数的符号，有时还要讨论，本题的难点是（2）中的转化问题，涉及到两个变量的恒成立，通常逐个分析，转化为求函数的最值问题.
8．（Ⅰ）的单调增区间为，的单调减区间为；（Ⅱ）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值．（Ⅲ）证明详见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用一阶导数的符号来求单调区间．（Ⅱ）对进行分类讨论，的极值．（Ⅲ）把证明不等式转化求函数的最小值大于0．
试题解析：（Ⅰ）．
令，即，得，故的增区间为；
令，即，得，故的减区间为；
∴的单调增区间为，的单调减区间为．
（Ⅱ），
当时，恒有∴在上为增函数，故在上无极值；
当时，令，得,当单调递增，
当单调递减．
∴，无极小值；
综上所述：时，无极值时，有极大值,无极小值．
（Ⅲ）证明：设则即证，只要证．
∵∴，
又在上单调递增
∴方程有唯一的实根，且．
∵当时，．当时，
∴当时，
∵即，则 ∴
∴原命题得证．
考点：求导公式，函数的单调区间，函数的极值，函数的最值．
【方法点睛】（1）解含参数的不等式，需要对进行分类讨论，是本题的亮点，也是本题的难点之一．（2）把证明不等式转化为求函数的最小值，也是本题的难点之一．（3）在求最小值的过程中，对零点设而不求，最后利用基本不等式进行放缩，是本题最大的亮点，也是最难的地方．（4）本题题干简洁，但是内涵丰富，本题设问层层深入，是一道好题，意蕴悠长．
9．（Ⅰ）的单调递增区间是；（Ⅱ）详见解析； （Ⅲ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导，令导数大于0得增区间． （Ⅱ）令，求导，讨论导数的正负，得函数的单调区间，从而可得函数的最值，只需其最大值小于0即可． （Ⅲ）由（Ⅱ）知或时均不成立． 当时，令，求导，讨论导数的正负，得函数的增减区间．根据单调性可得其最大值，使其最大值大于0即可．
试题解析：（Ⅰ），．
由得解得．
故的单调递增区间是．
（Ⅱ）令，．
则有．
当时，，
所以在上单调递减，
故当时，，即当时，．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意．
当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．
当时，令，，
则有．
由得，．
解得，．
当时，，故在内单调递增．
从而当时，，即，
综上，的取值范围是．
考点：用导数研究函数的性质．
10．（Ⅰ）的单调增区间为，的单调减区间为；（Ⅱ）当时，无极值；当时，有极大值,无极小值．（Ⅲ）证明过程详见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出导函数，由导函数大于零求解，由导数小于零求解，然后总结出单调区间；（Ⅱ）函数有极值，则导函数等于零有变号零点，从而求出参数范围；（Ⅲ）原不等式等价于，构造函数，设则不等式等价于，然后求函数的最小值且最小值大于2即可．
试题解析： （Ⅰ） ．
令，即，得，
故的增区间为；
令，即，得，
故的减区间为；
∴的单调增区间为，
的单调减区间为．
（Ⅱ）

当时，恒有
∴在上为增函数，
故在上无极值；
当时，令，得
单调递增，
单调递减．
∴，无极小值；
综上所述：时，无极值
时，有极大值,无极小值．
（Ⅲ）证明：设则即证，只要证
∵∴，
又在上单调递增
∴方程有唯一的实根，且．
∵当时，．当时，
∴当时，
∵即，则 ∴
∴原命题得证
考点：导数法求函数的单调区间；‚由极值求参数范围；ƒ证明不等式．
【方法点睛】含参数的单调性问题，主要是对参数如何分类，常求出导函数并进行因式分解，然后求出导函数等于零时的根，按照根的大小关系及根与零点的大小关系与参数的关系进行分类，最后求出每一类的单调性即可；对于不等式证明，常常移向，将一边看成函数，从而转化为求最值问题．例如：本题的不等式等价于，构造函数，设则不等式等价于，然后求函数的最小值且最小值大于2即可．