平面向量基本定理及坐标表示72847.doc

平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2,其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1,y1），b＝(x2,y2），则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2),a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝(λx1,λy1），｜a｜＝。
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标．
②设A（x1，y1），B（x2,y2），则＝（x2－x1，y2－y1)，｜|＝。
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1,y1),b＝（x2，y2），其中b≠0,a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0。
选择题:
设e1，e2是平面内一组基底，那么()
A．若实数λ1,λ2使λ1e1＋λ2e2＝0,则λ1＝λ2＝0
B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2（λ1，λ2为实数)
C．对实数λ1,λ2,λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A．e1＝（0,0)，e2＝（1，－2）B．e1＝(－1,2），e2＝（5，7）
C．e1＝(3,5），e2＝（6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B。
已知平面向量a＝（1,1）,b＝（1,－1),则向量a－b等于（）
A．（－2,－1） B．（－2，1）C．(－1，0) D．(－1，2）
解析　a＝（，）,b＝（,－），故a－b＝（－1，2)．
已知a＝（1，1），b＝(1，－1），c＝（－1,2）,则c等于（)
A．－a＋bB。a－bC．－a－bD．－a＋b
解析　设c＝λa＋μb,∴(－1,2)＝λ（1,1）＋μ（1，－1)，∴∴∴c＝a－b。
已知向量a＝（1,2)，b＝（1，0），c＝(3,4）．若λ为实数,（a＋λb）∥c，则λ等于(）
A.B.C．1D．2
解析　∵a＋λb＝(1＋λ，2），c＝（3,4)，且(a＋λb）∥c,∴＝，∴λ＝
已知a＝（5,－2），b＝（－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于（）
A。B.C。D。
解析　由已知3c＝－a＋2b＝（－5，2）＋（－8,－6）＝（－13，－4),∴c＝。
已知向量＝（k,12），＝（4，5）,＝(－k，10），且A,B,C三点共线，则k的值是（）
A．－ B. C. D。
解析＝－＝（4－k,－7）,＝－＝(－2k，－2），∵A，B，C三点共线，∴，共线,∴－2×（4－k）＝－7×(－2k）,解得k＝－
已知点A(1,3）,B(4,－1）,则与向量A同方向的单位向量为（）
A.B.C.D.
解析　A＝O－O＝（4，－1）－（1，3）＝（3,－4）,∴与A同方向的单位向量为＝。
已知点A（－1，5)和向量a＝（2，3），若＝3a，则点B的坐标为(）
A．(7,4) B．（7，14）C．(5，4) D．（5,14)
解析　设点B的坐标为(x，y)，则＝（x＋1,y－5）,由＝3a，得解得
已知向量a＝（－1，2）,b＝（3，m)，m∈R,则“m＝－6”是“a∥（a＋b）”的（)
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析　由题意得a＋b＝(2，2＋m),由a∥(a＋b）,得－1×（2＋m）＝2×2，∴m＝－6,则“m＝－6”是“a∥（a＋b）”的充要条件,故选A
已知在□ABCD中，＝(2，8)，＝（－3，4），则＝（）
A．(－1,－12） B．(－1，12）C．（1,－12) D．（1，12）
解析　∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＋＝（－1，12）
在△ABC中,点D在BC边上,且＝2，＝r＋s，则r＋s等于（)
A。B。C．－3D．0
解析　∵＝2，∴＝＝（－)＝－，则r＋s＝＋＝0
已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝（）
A。＋B。＋C。＋D。＋
解析　如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋（－)＝＋
在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点,若＝(4，3），＝(1，5)，则等于()
A．(－2,7） B．（－6，21)C．（2，－7) D．（6,－21）
解析　＝3＝3(2－）＝6－3＝（6,30）－（12,9)＝（－6，21)．
在梯形ABCD中,AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于（）
A。B。C。D.
解析　∵＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－,
∴＝－，∴λ＋μ＝。
填空题：
已知平面向量a＝(1，2），b＝(－2,m），且a∥b，则2a＋3b＝________。
解析　由a＝(1，2），b＝（－2，m），且a∥b,得1×m＝2×（－2），即m＝－4.
从而b＝（－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝（－4，－8）．
已知向量a＝(x，1)，b＝(2，y）,若a＋b＝(1，－1),则x＋y＝________。
解析　∵（x，1）＋（2,y）＝（1，－1)，∴解得∴x＋y＝－3.
已知向量a＝(1,2）,b＝（0,1），设u＝a＋kb，v＝2a－b,若u∥v，则实数k的值为()
A．－1B．－C.D．1
解析　∵u＝（1，2）＋k（0，1)＝(1,2＋k），v＝（2,4)－(0，1)＝(2，3），又u∥v，∴1×3＝2（2＋k)，得k＝－
已知向量a＝(1，2），b＝（x，1），u＝a＋2b,v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
解析∵a＝（1,2），b＝（x,1）,u＝a＋2b，v＝2a－b，∴u＝（1，2）＋2(x，1）＝（2x＋1，4)，v＝2（1,2)－（x,1）＝（2－x，3)．又∵u∥v，∴3（2x＋1)－4（2－x）＝0,即10x＝5,解得x＝。
若三点A（1，－5）,B(a，－2），C(－2,－1）共线，则实数a的值为________
解析　＝(a－1,3),＝（－3，4)，根据题意∥，∴4（a－1)＝3×（－3），即4a＝－5,∴a＝－
在□ABCD中，AC为一条对角线,＝(2，4)，＝(1，3），则向量的坐标为__________．
解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝－＝（－3，－5)．
已知□ABCD的顶点A(－1，－2）,B(3,－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________
解析　设D（x，y）,则由＝，得（4，1）＝（5－x，6－y)，即解得
已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2）,B（2，1)，C（4，2)，则点D的坐标为_______
解析　∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴＝2。
设点D的坐标为(x，y），则＝（4，2)－（x，y)＝（4－x,2－y),＝(2，1）－（1，2）＝(1，－1),
∴（4－x,2－y）＝2（1，－1），即(4－x,2－y）＝（2，－2)，
∴解得故点D的坐标为（2，4）．
如图,在△ABC中，＝,P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：设＝k，k∈R.
∵＝＋＝＋k＝＋k（－)＝＋k（－）＝(1－k)＋,
且＝m＋，∴1－k＝m，＝,解得k＝,m＝。
在□ABCD中，＝e1，＝e2,＝,＝，则＝________（用e1，e2表示)
解析　如图，＝－＝＋2＝＋
＝－＋(－）＝－e2＋(e2－e1）＝－e1＋e2
如图,已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝____________
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b
若三点A(2,2)，B（a，0)，C(0,b）（ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析　＝(a－2，－2）,＝(－2，b－2)，则（a－2）(b－2）－4＝0，即ab－2a－2b＝0，∴＋＝。
设＝(－2，4)，＝（－a，2)，＝（b，0),a〉0，b〉0,O为坐标原点,若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________
解析　由题意得＝（－a＋2，－2）,＝(b＋2，－4),
又∥,∴（－a＋2，－2）＝λ(b＋2,－4），即整理得2a＋b＝2，
∴＋＝(2a＋b)(＋）＝（3＋＋）≥(3＋2)＝（当且仅当b＝a时，等号成立）．
已知A（7,1）,B（1，4），直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a＝________.
解析　设C（x，y）,则＝(x－7，y－1），＝（1－x,4－y），
∵＝2，∴解得∴C（3，3）．
又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a·3,∴a＝2。
已知向量＝（1，－3），＝（2，－1）,＝(k＋1,k－2），若A，B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________
解析　若点A，B，C能构成三角形,则向量,不共线．∵＝－＝（2，－1)－（1,－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－（1，－3)＝（k，k＋1），
∴1×(k＋1）－2k≠0，解得k≠1。
设0＜θ＜,向量a＝（sin2θ,cosθ),b＝（cosθ，1）,若a∥b，则tanθ＝________.
解析　∵a∥b，∴sin2θ×1－cos2θ＝0，∴2sinθcosθ－cos2θ＝0，
∵0＜θ＜,∴cosθ＞0,∴2sinθ＝cosθ,∴tanθ＝
解答题：
已知A（1,1），B(3,－1），C(a，b)．
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
（2）若＝2，求点C的坐标．
解析（1）由已知得＝(2,－2），＝（a－1，b－1），
∵A，B,C三点共线,∴∥，∴2（b－1)＋2(a－1）＝0,即a＋b＝2.
(2）∵＝2，∴（a－1，b－1)＝2(2，－2）．
∴解得∴点C的坐标为(5，－3)．
已知点O为坐标原点，A(0，2），B(4，6）,＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;
（2）求证:当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B,M三点共线．
(1）解　＝t1＋t2＝t1(0,2）＋t2(4，4）＝（4t2,2t1＋4t2）．
当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0。
(2）证明　当t1＝1时，由（1）知＝（4t2，4t2＋2）．
∵＝－＝（4,4），＝－＝(4t2,4t2）＝t2（4，4)＝t2，
∴与共线,又有公共点A，∴A,B,M三点共线．
能力提升题组
已知向量a＝(2，3）,b＝（－1,2)，若(ma＋nb）∥（a－2b)，则等于（）
A．－2B．2C．－D。
解析　由题意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝（4，－1），
∵（ma＋nb）∥（a－2b)，∴－（2m－n）－4(3m＋2n）＝0，∴＝－
已知｜|＝1,｜｜＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m,n∈R），则的值为(）
A．2 B.C．3 D．4
解析　∵·＝0，∴⊥,以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，
＝（1，0)，＝（0，)，＝m＋n＝(m,n)．∵tan 30°＝＝，∴m＝3n，即＝3
如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且B＝2P，则（）
A．x＝，y＝B．x＝,y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝
解析　由题意知O＝O＋B,又B＝2P，∴O＝O＋B＝O＋（O－O）＝O＋O，∴x＝,y＝。
已知点A（－1,2),B（2,8),＝，＝－，则的坐标为________
解析　设点C,D的坐标分别为(x1，y1）,（x2，y2）．
由题意得＝(x1＋1，y1－2）,＝（3，6），＝(－1－x2，2－y2），＝（－3，－6)．
∵＝，＝－,∴有和
解得和∴点C，D的坐标分别为（0，4），(－2，0），从而＝(－2,－4）．
已知向量a＝(1，1)，b＝（1，－1),c＝(cosα，sinα）（α∈R），实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3）2＋n2的最大值为________
解析　由ma＋nb＝c，可得
故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故点M(m，n)在单位圆上，则点P（3，0）到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，故（m－3)2＋n2的最大值为42＝16。
已知△ABC和点M满足＋＋＝0。若存在实数m,使得＋＝m成立，则m＝________.
解析∵＋＋＝0,∴M为△ABC的重心．
如图所示，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点．
∴＝。
又＝(＋),∴＝（＋),
即＋＝3，∴m＝3。
如图所示，A，B,C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n,则m＋n的取值范围是________
解析　由题意得，＝k（k＜0），
又|k｜＝＜1，∴－1＜k＜0。
又∵B，A，D三点共线,∴＝λ＋（1－λ），
∴m＋n＝kλ＋k（1－λ）,
∴m＝kλ,n＝k（1－λ)，
∴m＋n＝k，从而m＋n∈（－1，0）．
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