平面向量基本定理及坐标表示72847.doc

平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1、2，使a1e12e2,其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1,y1），b(x2,y2），则ab(x1x2，y1y2),ab（x1x2，y1y2），a(x1,y1），a。（2）向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标设A（x1，y1），B（x2,y2），则（x2x1，y2y1)，|。3平面向量共线的坐标表示设a（x1,y1),b（x2，y2），其中b0,a、b共线x1y2x2y10。选择题:设e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1,2使1e12e20,则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2（1，2为实数)C对实数1,2,1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1,2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是（）Ae1（0,0)，e2（1，2）Be1(1,2），e2（5，7）Ce1(3,5），e2（6，10)De1(2，3)，e2解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B。已知平面向量a（1,1）,b（1,1),则向量ab等于（）A（2,1） B（2，1）C(1，0) D(1，2）解析a（，）,b（,），故ab（1，2)已知a（1，1），b(1，1），c（1,2）,则c等于（)AabB。abCabDab解析设cab,(1,2)（1,1）（1，1)，cab。已知向量a（1,2)，b（1，0），c(3,4）若为实数,（ab）c，则等于(）A.B.C1D2解析ab(1，2），c（3,4)，且(ab）c,，已知a（5,2），b（4，3)，若a2b3c0，则c等于（）A。B.C。D。解析由已知3ca2b（5，2）（8,6）（13，4),c。已知向量（k,12），（4，5）,(k，10），且A,B,C三点共线，则k的值是（）A B. C. D。解析（4k,7）,(2k，2），A，B，C三点共线，共线,2（4k）7(2k）,解得k已知点A(1,3）,B(4,1）,则与向量A同方向的单位向量为（）A.B.C.D.解析AOO（4，1）（1，3）（3,4）,与A同方向的单位向量为。已知点A（1，5)和向量a（2，3），若3a，则点B的坐标为(）A(7,4) B（7，14）C(5，4) D（5,14)解析设点B的坐标为(x，y)，则（x1,y5）,由3a，得解得已知向量a（1，2）,b（3，m)，mR,则“m6”是“a（ab）”的（)A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析由题意得ab(2，2m),由a(ab）,得1（2m）22，m6,则“m6”是“a（ab）”的充要条件,故选A已知在ABCD中，(2，8)，（3，4），则（）A(1,12） B(1，12）C（1,12) D（1，12）解析四边形ABCD是平行四边形，（1，12）在ABC中,点D在BC边上,且2，rs，则rs等于（)A。B。C3D0解析2，（)，则rs0已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2，则向量（）A。B。C。D。解析如图，2，（)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点,若(4，3），(1，5)，则等于()A(2,7） B（6，21)C（2，7) D（6,21）解析33(2）63（6,30）（12,9)（6，21)在梯形ABCD中,ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则等于（）A。B。C。D.解析()22,，。填空题：已知平面向量a(1，2），b(2,m），且ab，则2a3b_。解析由a(1，2），b（2，m），且ab,得1m2（2），即m4.从而b（2，4)，那么2a3b2(1，2)3(2，4)（4，8）已知向量a(x，1)，b(2，y）,若ab(1，1),则xy_。解析（x，1）（2,y）（1，1)，解得xy3.已知向量a(1,2）,b（0,1），设uakb，v2ab,若uv，则实数k的值为()A1BC.D1解析u（1，2）k（0，1)(1,2k），v（2,4)(0，1)(2，3），又uv，132（2k)，得k已知向量a(1，2），b（x，1），ua2b,v2ab，且uv，则实数x的值为_解析a（1,2），b（x,1）,ua2b，v2ab，u（1，2）2(x，1）（2x1，4)，v2（1,2)（x,1）（2x，3)又uv，3（2x1)4（2x）0,即10x5,解得x。若三点A（1，5）,B(a，2），C(2,1）共线，则实数a的值为_解析(a1,3),（3，4)，根据题意，4（a1)3（3），即4a5,a在ABCD中，AC为一条对角线,(2，4)，(1，3），则向量的坐标为_解析，(1，1)，（3，5)已知ABCD的顶点A(1，2）,B(3,1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_解析设D（x，y）,则由，得（4，1）（5x，6y)，即解得已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2）,B（2，1)，C（4，2)，则点D的坐标为_解析在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2。设点D的坐标为(x，y），则（4，2)（x，y)（4x,2y),(2，1）（1，2）(1，1),（4x,2y）2（1，1），即(4x,2y）（2，2)，解得故点D的坐标为（2，4）如图,在ABC中，,P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析：设k，kR.kk（)k（）(1k),且m，1km，,解得k,m。在ABCD中，e1，e2,，则_（用e1，e2表示)解析如图，2(）e2(e2e1）e1e2如图,已知a，b，3，用a，b表示，则_解析()ab若三点A(2,2)，B（a，0)，C(0,b）（ab0)共线，则的值为_解析(a2，2）,(2，b2)，则（a2）(b2）40，即ab2a2b0，。设(2，4)，（a，2)，（b，0),a0，b0,O为坐标原点,若A，B，C三点共线，则的最小值为_解析由题意得（a2，2）,(b2，4),又,（a2，2）(b2,4），即整理得2ab2，(2ab)(）（3）(32)（当且仅当ba时，等号成立）已知A（7,1）,B（1，4），直线yax与线段AB交于点C，且2，则实数a_.解析设C（x，y）,则(x7，y1），（1x,4y），2，解得C（3，3）又C在直线yax上，3a3,a2。已知向量（1，3），（2，1）,(k1,k2），若A，B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是_解析若点A，B，C能构成三角形,则向量,不共线（2，1)（1,3)(1，2)，(k1，k2)（1，3)（k，k1），1(k1）2k0，解得k1。设0,向量a（sin2,cos),b（cos，1）,若ab，则tan_.解析ab，sin21cos20，2sincoscos20，0,cos0,2sincos,tan解答题：已知A（1,1），B(3,1），C(a，b)（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；（2）若2，求点C的坐标解析（1）由已知得(2,2），（a1，b1），A，B,C三点共线,，2（b1)2(a1）0,即ab2.(2）2，（a1，b1)2(2，2）解得点C的坐标为(5，3)已知点O为坐标原点，A(0，2），B(4，6）,t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;（2）求证:当t11时，不论t2为何实数，A，B,M三点共线(1）解t1t2t1(0,2）t2(4，4）（4t2,2t14t2）当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20。(2）证明当t11时，由（1）知（4t2，4t22）（4,4），(4t2,4t2）t2（4，4)t2，与共线,又有公共点A，A,B,M三点共线能力提升题组已知向量a(2，3）,b（1,2)，若(manb）（a2b)，则等于（）A2B2CD。解析由题意得manb（2mn，3m2n），a2b（4，1），（manb）（a2b)，（2mn）4(3m2n）0，已知|1,，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设mn(m,nR），则的值为(）A2 B.C3 D4解析0，,以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，（1，0)，（0，)，mn(m,n)tan 30，m3n，即3如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且B2P，则（）Ax，yBx,yCx，yDx，y解析由题意知OOB,又B2P，OOBO（OO）OO，x,y。已知点A（1,2),B（2,8),，则的坐标为_解析设点C,D的坐标分别为(x1，y1）,（x2，y2）由题意得(x11，y12）,（3，6），(1x2，2y2），（3，6)，,有和解得和点C，D的坐标分别为（0，4），(2，0），从而(2,4）已知向量a(1，1)，b（1，1),c(cos，sin）（R），实数m，n满足manbc，则(m3）2n2的最大值为_解析由manbc，可得故(mn)2(mn)22，即m2n21，故点M(m，n)在单位圆上，则点P（3，0）到点M的距离的最大值为|OP|1314，故（m3)2n2的最大值为4216。已知ABC和点M满足0。若存在实数m,使得m成立，则m_.解析0,M为ABC的重心如图所示，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点。又(),（),即3，m3。如图所示，A，B,C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn,则mn的取值范围是_解析由题意得，k（k0），又|k1，1k0。又B，A，D三点共线,（1），mnkk（1）,mk,nk（1)，mnk，从而mn（1，0）7