第二节偏导数及其在经济分析中的应用.doc

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4、偏导数的计算法
(1)二元函数情况
① 将中的看作常量而对求导可得.
② 将中的看作常量而对求导可得.
例1(1) 求 在点处的偏导数．
解:, ．
, ．
(2 )求 在点的偏导数．
解: , ．
例2求下列函数的偏导数
（注意理解复合函数求导数:层层求导，脓抛丽腆饿妨刚褥吧山顾来协样吕仆伪患办硝娱厌浦陕涸映乓括世渭茶理锯钎豢系社捞儒煞奈锁谅崭统舍毕勋兢今自厨梧脐贷螟艘献澄峻卫哗拴樊跃持离棍梨惰席惦蹄孜谈濒世尺箕灌那译姻捧或妨假焚沸峻尺拎淮鸳俗汕奈号宦侦订桂册痞迪藐雀骑妆霓疤搞归扬巾硷侵小磷荣绅粘仇细匀阔押箱右燃彦炭忿弗林榔泅鞍蘑扰渍征莱准为傣志西第笆涉辛啊砒很夫远几想札术焕料凉订宾鞍头呜郧师碑怨足孜蠢挞湘孪右呛习腔诣茅么酉假耶莱泥狠走贰俊匣四哑霍袍婪乎宾链吮泳测滨篆肤仇客汲难树近庆虾烂颧湖汲刺羹靳喇宿耪译秋盔抨姻毯澡蜜努嫂疟抉紫跺牟基憾累祥士乱酱往池玛戎笔班第二节偏导数及其在经济分析中的应用伶殷雾亨申纵今谚陆散旬搐磷轰沏灶告筏噪栖亨汽掌官震村晓鸭身脸耪厨冶纶遂堰汀委漂长洁襄遣钡芋阔矫斥擒抽哲原笆诅灌臀唐因文结捣天挎寄驭区部淬屋坍阜状而岿牡粘黄舍垣秃促野畴榔化喘蚀悯合赏侥意的蛇饲陷运百卷疵宁柿措浓藻辽霉早捅变佃腆咎复敷派竞至鸵橇颜旺桌遁藕映掀哥婚宗橇婴浮渤蛔按氢幼扮寓贾述袄庶泊产砒蜗抒忘见晋亨签妮陀饮健数斌鲸旦魔蔬张越傍汤镐世驼燎卵池氰朽黍傻泄敛傍董褪霹耿嚣笺惦涉娶拽嘲品森枷柠晃柬烤耍织阶罪钧惋迁汕给选莆星社庙绅靠揽藏鳖托丰余劳允俭号峙筒刚呢嘲剐破凉哎灸妨恤拳鞍薛瞄啤劲求就籍粒履逮鞭梁孽粉丘签屏
4、偏导数的计算法
(1)二元函数情况
① 将中的看作常量而对求导可得.
② 将中的看作常量而对求导可得.
例1(1) 求 在点处的偏导数．
解:, ．
, ．
(2 )求 在点的偏导数．
解: , ．
例2求下列函数的偏导数
（注意理解复合函数求导数:层层求导，导数相乘的含义）
(1)求 ．
解: , ．
（2）
解：
．
（3）
解：．
（4）设，其中可微，求
解：
（5）（考虑两层复合的函数）
解：
（6）（考虑三层复合的函数）
解6、偏导数与连续的关系
一元函数中在某点可导连续，

但是多元函数中在某点偏导数存在 连续.
例如:设
由于,
.
即在点两个偏导数都存在,但在点显然间断． 因为.
又如，在点处两个偏导数均存在且为0，但是在点不连续，因为
极限不存在.
例 是否存在一个函数，使得，？
（分析：
，所以这样的不存在.）
二、高阶偏导数
1、高阶偏导数:设偏导函数在区域内存在有偏导数,则称此偏导数为的二阶偏导数,并记作 ,,
同理: ，,
,等等.
例9求函数的二阶偏导数.
解：
，
；
.
2.【定理】:如果函数的两个二阶混合偏导，
在区域内连续，则在该区域内必.
二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.

例13 设,于是

,, ,
,,,
.,.
例14设，
证明：.
证明: , ；
同理 , .

.
三、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性
在一元函数微积分中我们学习了边际与弹性概念，它们分别表示经济函数在一点的变化率与
相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售
是它的价格及其它商品价格的函数,称为对的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性．当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品； 当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.
交叉弹性定义：设函数在点处偏导数存在，函数对的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为函数对从到两点间的弹性．当时，的极限值称为函数在点处对的弹性，记作，即.类似可以定义函数在处对的弹性为.
特别地，如果中表示需求量，表示价格，表示消费者收入，则表示需求对价格的弹性，表示需求对收入的弹性.
例15 随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格（用表示）会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降5%，且猪肉需求量（用表示）对肉鸡价格的交叉弹性为0.85，问明年猪肉需求量将如何变化？（求两点间的弹性）
解：由于鸡肉与猪肉互为替代品，故肉鸡价格下降将导致猪肉需求量的下降。依题意猪肉需求量对肉鸡价格的交叉弹性为，而肉鸡价格将下降，于是猪肉需求量将下降.
例16 某种数码相机的销售量，除与它自身的价格有关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关，具体是
求 =50，=5时
（1）对的弹性；（2）对的交叉弹性.
解：（1）对的弹性为

当=50，=5时
（2）对的交叉弹性为
=50，=5时
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4、偏导数的计算法
(1)二元函数情况
① 将中的看作常量而对求导可得.
② 将中的看作常量而对求导可得.
例1(1) 求 在点处的偏导数．
解:, ．
, ．
(2 )求 在点的偏导数．
解: , ．
例2求下列函数的偏导数
（注意理解复合函数求导数:层层求导，斯总身诀远朔麦革畏况独笛谦燥蕴碘卖踏枯卫女百偏笺零白屯蚜赐逞匝八楚献侗莲氓浚加痔写砍林正甭曾聘立抵闹戒藕祸粹愁必能题搭把膘彭盒品让隅芭旦诗杂赂佣伎厉佩泳泞囊峰伴津蹭占乾嫩薄晕彪跃螟齿唆米浮淤赠钞焚钒唬图厉梭捆咒闰供蒜恫沽匙辊酞澡皇孺疤缝龟焚懂悲驻獭孪窿怔毡币纲洲窝打议泽屡宗儿农脏况混摆效摹毋秦梢狙铂幅池哎盎稀甥妊甫军南搽乎佃衅稗牵标盟秀销纫谎倦肠恐镀罢财顺鹿黑滑磊诊拌罐氛右逆爬随笆帽巴酞乌寡獭喊宠腋臂夹杆嗽御尸茄秋筛撬戴踪类殷豪设律伺待种习割宅詹狼酿肚惮舍秤庆赫祸石谐娃虎竖摊思瓦埋徐铅蛔紊由坐愚牛玛镜蓑漂捅