立体几何.04线面、面面垂直的判定与性质(A级).学生版.doc

线面、面面垂直的判定与性质
高考要求

内容
要求层次
重难点
点、线、面位置关系
空间线、面的位置关系
B
1. 理解空间直线、平面位置关系的定义
2. 了解可以作为推理依据的公里和定理．
3. 能运用公里、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的命题

知识框架

知识内容

一、 线面垂直
1．线面垂直：若一条直线垂直于平面内所有直线（垂直于平面中的两条相交直线即可），则直线与平面垂直．
判定定理：若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，直线与平面垂直．
2．线面垂直的证明方法：
（1）判定定理；
（2）如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面；
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面；
（4）两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面;
（5）如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直;
（6）向量法．
3．直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
4．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
5．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．

6． 三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

7．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直

注意：（1）三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理．
（2）要考虑的位置，并注意两定理交替使用．

二、 面面垂直
1． 面面垂直：如果两个平面的所成的角为直角，则两个平面垂直．
2． 面面垂直的证明：
（1）计算二面角的平面角为；
（2）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直．
3．两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．

例题精讲

1. 线面垂直的判定及其应用
【例1】 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（　　）
A． 垂直 B． 平行 C． 相交不垂直 D ．不确定

【巩固】若直线与异面，则过且与垂直的平面（　　）
A． 有且只有一个 B． 可能有一个也可能不存在
C． 有无数多个 D． 一定不存在

【例2】 （2005•天津）设为平面，为直线，则的一个充分条件是（　　）
A． B．
C． D．

【巩固1】已知不重合的直线，和平面，则“”是“”的（　　）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

【巩固2】（2005•湖南）已知平面，和直线，给出条件：
①∥； ②； ③； ④； ⑤∥．
1) 当满足条件 时，有∥；
2) 当满足条件 时，有．（填所选条件的序号）

【巩固3】“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的（　　）
A． 充分条件 B． 必要条件 C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件

【例3】 设为两个不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若∥，，则；
②若，，∥，∥，则∥；
③若∥，，则；
④若、是异面直线，∥，∥，且，，则．
其中真命题的序号是（　　）
A． ①③④ B． ①②③ C． ①③ D． ②④

【例4】 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列条件能使成立的是（　　）
A． ， B． ∥，
C． ，∥ D． ∥，

【巩固1】若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是（　　）
A． B． ， ∥
C． D． ∥，

【巩固2】以下条件中，能判定直线垂直平面的是（　　）
A． 与平面内的一条直线垂直 B．与平面内的一个三角形的两边垂直
C． 与平面内的两条直线垂直 D．与平面内的无数条直线垂直

【巩固3】在空间中，设为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给定下列条件：
①且⊂； ②∥且；
③且∥； ④且∥．
其中可以判定的有（　　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

【例5】 如图，在正方体中，与垂直的面对角线有（　　）
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条

2. 线面垂直的性质及其应用
【例6】 已知直线和平面，且，，则与的位关系是 ．

【巩固1】经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有 个．

【例7】 （1）能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？
（2）能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？

【巩固】（2007•重庆）垂直于同一平面的两条直线（　　）
A． 平行 B． 垂直 C． 相交 D． 异面

【例8】 已知直线，，则直线与所成角的大小为 ．

【巩固】（2010•辽宁）已知，，，是球表面上的点，平面，， ， ，则球的表面积等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．

【例9】 下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；
其中错误的命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【巩固】设，为两条不同的直线，为一个平面，∥，则“ ”是“ ”的（　　）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

【例5】已知正方形所在的平面，垂足为，连接，，，， ，则互相垂直的平面有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8

【例10】 正方体中，、分别是棱和上的点，若是直角， ．

【例11】 （2011•浙江）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，
垂足落在线段上，已知，，，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【巩固1】（2006•浙江）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成的角．

【巩固2】如图，直角△所在的平面垂直于正△所在的平面，平面， ，、分别为、的中点，
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角．

【巩固3】如图，四棱锥的底面为菱形，底面，、分别是与的中点．
（1）求证：；
（2）求证：∥平面．

【巩固4】已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，底面，，求直线与底面所成角．

3. 面面垂直的判定、性质及其应用
【例12】 （2009•广东）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（　　）
A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ②和④

【例13】 ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（　　）
A． 平面PAB与平面PAD，PBC垂直
B． 它们都分别相交且互相垂直
C． 平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
D． 平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直

【例14】 （09年朝阳一模）如图，在直三棱柱的侧棱，底面三角形中，，，是的中点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求二面角的大小；

课堂总结

1. 线面垂直的证明方法：
（1）判定定理；
（2）如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面；
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面；
（4）两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面;
（5）如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直;
（6）向量法．
2. 面面垂直的证明方法：
（1）计算二面角的平面角为；
（2）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直．

课后检测

【习题1】 （09西城一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，， ，又，，，．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求与平面所成角的大小；
(Ⅲ)求二面角的大小．

【习题2】 （09海淀一模）如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，
且，，，．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值；
(Ⅲ)求点到平面的距离．

【习题3】 （09一模东城）如图，是边长为的正方形，是矩形，且二面角是直二面角，，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．

【习题4】 （09年崇文一模）在直四棱柱中，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的大小．

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