初二上学期期末复习一学案.doc

期末复习一
通过对本节课的学习，你能够：
l 理解三角形、全等、轴对称的相关性质、判定
l 掌握几何部分特殊线段的定义、性质、判定、辅助图
l 会进行综合证明

概 述

适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
三角形的相关概念；与三角形有关的边；与三角形有关的角；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称：最短路径问题
学习目标
理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；
认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题
了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念；了解多边形的内角、外角等概念；能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
全等三角形及全等三角形的对应元素；全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定；应用角的平分线性质定理；
轴对称：最短路径问题
学习重点
三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质
多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的内角和与多边形的外角和公式；应用角的平分线性质定理．
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
轴对称：最短路径问题
学习难点
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角；
多边形的内角和定理的推导；应用角的平分线性质定理．等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
轴对称：最短路径问题

【知识导图】

教学过程

一、导入

复习预习
1、复习三角形的相关性质
2、复习三角形全等的几种证明方法
3、复习角平分线的相关性质及判定方法
4、复习轴对称图形的性质
5、复习等腰三角形，等边三角形的相关性质
6、复习最短路径问题

二、知识讲解

知识点1 三角形相关概念

【教学建议】通过前面的引导复习，形成基本框架，梳理填充。
1. 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形
2. 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点
3. 三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
4. 三角形的分类

5. 三角形三边的关系
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

知识点2 三角形的角

1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
用平行线的性质证明内角和180°
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。
证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
即：三角形的内角和等于180°。

2. 三角形外角的概念

∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角

三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角。
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、 ∠B的关系吗？

∵CM∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2，又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

知识点3 三角形内的重要线段

1. 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
再画出这个三角形AB 、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。
现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。
A
B
C
O
D
E
F

再画出一个直角三角形三边上的高，上面的结论还成立。
请画出下列三角形的高
（1）
（2）
（3）

2. 如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.
在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点。

三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。
请画出下列三角形的中线
（1）
（2）
（3）

3. 如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立。
请画出下列三角形的角平分线
（1）
（2）
（3）

角平分线性质及判定
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

知识点 4 多边形

1. 多边形概念
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。

2. 多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。
特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。
例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。

3. 多边形的内角和
从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。
A
B
C
D

观察下面的图形

五边形 六边形
从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边形分成三个三角形，五边形的内角和等于540°；
从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边形分成四个三角形，六边形的内角和等于720°；
从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们将n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和等于（n一2）·180°。
n边形的内角和等于（n一2）·180°．

知识点5 三角形全等

1. 全等三角形的判定
三角形全等的五种判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL
2. 判定三角形全等的基本思路：

……
3. 全等常见模型
（1）平移型全等：常见平移模型

（2）对称型全等：常见轴对称模型

(3)旋转型全等：旋转模型

4.全等辅助线
（1）倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．
示例剖析：
其中，延长使得，则．

（2）截长补短：
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
示例：在线段上截取

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
示例：延长，使得

知识点6 线段垂直平分线

1. 要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．
[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

已知：线段AB【如图（1）】．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
(2)．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．

2. 求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题
讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。

知识点 7 特殊三角形

1. 等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边
腰与底边的夹角叫做底角
两腰的夹角叫做顶角
2. 等腰三角形的特征
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴
等腰三角形的两个底角相等
3. 等边三角形
（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。
（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
4. 特殊直角三角形
（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：：2；
（2）等腰直角三角形各边长比为1：1：

三 、例题精析

类型一 三角形相关概念

例题1

【题干】如图所示，三角形的个数是（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

例题2

【教学建议】本题有一定难度，需要考虑等腰三角形边的分类。
【题干】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
类型二 三角形的高与中线

例题1

【题干】下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）
A． B．C． D．

例题2

【题干】BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，求△ABM与△BCM的周长之差

类型三 角平分线

例题1

【题干】如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则求∠AEC的度数？

例题2

【题干】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．
①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？
②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？
（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？

类型四 多边形

例题1

【题干】如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．

类型五 全等三角形

例题1

【题干】如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？

例题2

【题干】已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
求证：PD=PE．

类型六 轴对称与轴对称图形

例题1

下列图案属于轴对称图形的是（ ）

四 、课堂运用

基础

1. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是( ).
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
D
A
B
C
O
D’
A’
B’
C’
O’

2. 下列说法中：
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；
②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；
③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE
的值是（ ）
A．63 B．43 C．6 D．4

4. 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB得度数。

巩固

1. 如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的
有（ ）
A． AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确

2. 若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17

3. 如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC

拔高

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是______

2. 如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（　　）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°

3. 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

五 、课堂小结

1、本次课主要针对期末考试前学习的几何内容进行综合复习：
复习三角形的相关性质
复习三角形全等的几种证明方法
复习角平分线的相关性质及判定方法
复习轴对称图形的性质
复习等腰三角形，等边三角形的相关性质
复习最短路径问题
六 、课后作业

基础

1. 已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（　　）
A．与AB距离相等的点在MN上
B．与点A和点B距离相等的点在MN上
C．与MN距离相等的点在AB上
D．AB垂直平分MN

2. 如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；
③∠BDO=∠CEO，正确的是 ．

3. 等边三角形ABC中BD是中线且为6cm，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是
cm．

4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若
△DEB的周长为10cm，求斜边AB的长

巩固

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．1

2. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=

3. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．

拔高

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数
为

2. △ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则
∠BOC=_____.

3. 如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

七 、教学反思

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