立体几何知识点总结(全).doc

必修2 第一章 空间几何体知识点总结
一.空间几何体的三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度
三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
二.空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系，使=450（或1350）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
直观图与原图形的面积关系：
三.空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积； ⑵圆锥侧面积：

⑶圆台侧面积：

球的表面积和体积 .
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 　
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结
一. 平面基本性质即三条公理

公理1
公理2
公理3
图形语言

文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言

作用
判断线在面内
确定一个平面
证明多点共线
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二．直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α
相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A
平行——没有公共点 符号 a∥α
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。 符号：
2．直线和平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行，则线线平行. 符号:
3．直线与平面垂直
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

简记为：线线垂直，则线面垂直.
符号：
4.直线与平面垂直
性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号：

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行

符号：

推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
符号语言：a∥b, a⊥α，⇒b⊥α
四．平面与平面的位置关系：
平行——没有公共点： 符号 α∥β
相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a
1．平面与平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行. 符号：
2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简记为：面面平行，则线线平行. 符号：
补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；
两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
3．平面与平面垂直的判定
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：

推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。

4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
简记为：面面垂直，则线面垂直.

证明线线平行的方法
①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性
⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行；
证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质
③利用勾股定理证明两相交直线垂直；
④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
五：三种成角
1.异面直线成角
步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解
注意：取值范围：（0。,90。].

2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。,90。].

如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形

取值范围：（0。,180。）

六.点到平面的距离：定义法和等体积法

空间向量与立体几何知识点总结
一．向量基本运算：设，
1． 2.
3. 4.
一、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
1.若两直线l1、l2的方向向量分别是、，则有l1// l2//，l1⊥l2⊥．
2.若两平面α、β的法向量分别是、，则有α//β//，α⊥β⊥．
3.若直线l的方向向量是，平面的法向量是，则有l//α⊥，l⊥α//
二、空间角的计算
1.两条异面直线所成角的求法
设直线a、b的方向向量为、，其夹角为，则有
2.直线和平面所成角的求法
设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为，则有
3.二面角的求法
设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．
三． 点P到平面α的距离
如果令平面α的法向量为，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为