(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明.doc
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1、正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法王彦文 青铜峡一中81掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明,或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题,且多以应用题的形式出现1正弦定理(1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 其中R是三角形外接圆的半径(2)正弦定理的其他形式:a2RsinA,b ,c ;sinA,sinB ,sinC ;abc_.2余弦定理(1
2、)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2 ,b2 ,c2 .若令C90,则c2 ,即为勾股定理(2)余弦定理的变形:cosA ,cosB ,cosC .若C为锐角,则cosC0,即a2b2_c2;若C为钝角,则cosC0,即a2b2_c2.故由a2b2与c2值的大小比较,可以判断C为锐角、钝角或直角(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_,余弦定理亦可以写成sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA,类似地,sin2B_;sin2C_.注意式中隐含条件ABC.3解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边,用_
3、定理只有一解(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角,用_定理,可能有_如在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如表:A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数 (3)已知三边,用_定理有解时,只有一解(4)已知两边及夹角,用_定理,必有一解4三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S _其中R,r分别为三角形外接圆、内切圆半径(2)ABC,则A_,_,从而sinA_,cosA_,tanA_;sin_,cos_,tan_.tanAtanBtanC_.(3)若三角形三边a,b,c成等差数列,则2b_2sinB_2sincos2coscostantan.【自查自纠】1
4、(1)2R(2)2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2(1)b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosCa2b2(2)B是sinAsinB的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解:因为在同一三角形中,角大则边大,边大则正弦大,反之也成立,故是充要条件故选C.在ABC中,已知b6,c10,B30,则解此三角形的结果有()A无解 B一解C两解 D一解或两解解:由正弦定理知sinC,又由cbcsinB知,C有两解也可依已知条件,画出ABC,由图知有两解故选C.()设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bco
5、sCccosBasinA, 则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解:由已知和正弦定理可得sinBcosCsinCcosBsinAsinA,即sin(BC)sinAsinA,亦即sinAsinAsinA.因为0A,所以sinA1,所以A.所以三角形为直角三角形故选B.()在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a2,B,c2,则b_解:由余弦定理知b2a2c22accosB222222cos4,b2.故填2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b2,sinBcosB,则角A的大小为_解:sinBcosB,sin,即sin1.又B(0
6、,),B,B.根据正弦定理,可得sinA.ab,AB.A.故填.类型一正弦定理的应用ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知AC90,acb,求C.解:由acb及正弦定理可得sinAsinCsinB.又由于AC90,B180(AC),故cosCsinCsinAsinCsin(AC)sin(902C)sin2(45C)sin(45C)2sin(45C)cos(45C),即cos(45C).又0C90,45C60,C15.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系,这是解此题的关键()在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A,bsincsina.(1)求证:BC;(2)若
7、a,求ABC的面积解:(1)证明:对bsincsina应用正弦定理得sinBsinsinCsinsinA,即sinBsinC,整理得sinBcosCsinCcosB1,即sin1.由于B,C,BC.(2)BCA,又由(1)知BC,B,C.a,A,由正弦定理知b2sin,c2sin.SABCbcsinA2sin2sinsinsincossinsin.类型二余弦定理的应用在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.(1)求B的大小;(2)若b,ac4,求ABC的面积解:(1)由余弦定理知,cosB,cosC,将上式代入得,整理得a2c2b2ac.cosB.B为三角形的内角,B.(2)将b,
8、ac4,B代入b2a2c22accosB,得13422ac2accos,解得ac3.SABCacsinB.【评析】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用若ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(ab)2c24,且C60,则ab的值为()A. B84 C1 D.解:由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2ab,代入(ab)2c24中得(ab)2(a2b2ab)4,即3ab4,ab.故选A.类型三正、余弦定理的综合应用()ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知abcos
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