立体几何知识点总结典型方法总结.doc

数学必修（二）知识梳理与解题方法分析
第一章 《空间几何体》
一、本章总知识结构
二、各节内容分析
1。1空间几何体的结构
1。本节知识结构
1.2空间几何体三视图和直观图
1、本节知识结构
1。3 空间几何体的表面积与体积
1、本节知识结构
。
三、高考考点解析
本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容:
1.多面体的体积(表面积）问题;
2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题—“等体积代换法".
（一)多面体的体积（表面积）问题
1． 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60．
（1)求四棱锥P－ABCD的体积；
【解】（1）在四棱锥P—ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO，
于是,PO=BOtan60°=，
而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2。
2．如图,长方体ABCD—中，E、P分别是BC、的中点，M、N分别是AE、的中点,
（Ⅲ)求三棱锥P－DEN的体积。
【解】
（Ⅲ）
作，交于，由面得
∴面
∴在中，
∴。
（二）点到平面的距离问题-“等体积代换法”。
1 如图，四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点，
（III）求点E到平面ACD的距离。
【解】 （III） 设点E到平面ACD的距离为
，
∴
在中，
而
点E到平面ACD的距离为
2．如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1,是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。
（Ⅱ）求点到平面的距离。
【解】（Ⅱ）过在面内作直线
,为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，＝。故点到平面AMN的距离为1。
3 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2,E是OC的中点。
(1）求O点到面ABC的距离；
【解】（1）取BC的中点D，连AD、OD。
，则
∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，
则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。
，。
∴面OBC，则.
,在直角三角形OAD中,有
（另解：由知:)
第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》
一、本章的知识结构
二、各节内容分析
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系
1、本节知识结构
2.内容归纳总结
（1）四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：.
公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
三个推论:① ② ③
它给出了确定一个平面的依据.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：。
公理4:（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：.
(2)空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
已知两条异面直线，经过空间任意一点O作直线，我们把与所成的角（或直角）叫异面直线所成的夹角。（易知：夹角范围）
定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形)
2.位置关系:
(3）空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系有三种：
（4）空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种：
2。2 直线、平面平行的判定及其性质
1、本节知识结构
2.内容归纳总结
（1）四个定理
定理
定理内容
符号表示
分析解决问题的常用方法
直线与平面
平行的判定
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”
平面与平面
平行的判定
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行.即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题"
直线与平面
平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

平面与平面
平行的性质
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

（2）定理之间的关系及其转化
两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题"转化为“低维问题"，将“空间问题”转化为“平面问题"。
2。3 直线、平面平垂直的判定及其性质
1、本节知识结构
2.内容归纳总结
（一）基本概念
1。直线与平面垂直：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面垂直，记作。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直线与平面的公共点叫做垂足。
2. 直线与平面所成的角：
角的取值范围：。
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
二面角的记法:
二面角的取值范围:
两个平面垂直:直二面角。
(二）四个定理
定理
定理内容
符号表示
分析解决问题的常用方法
直线与平面
垂直的判定
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直"
平面与平面
垂直的判定
一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面垂直。
（满足条件与垂直的平面有无数个）
判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题"
直线与平面
垂直的性质
同垂直与一个平面的两条直线平行。

平面与平面
垂直的性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。

解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线
(三）定理之间的关系及其转化：
两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意从“高维”到“低维" 的转化,即“空间问题"到“平面问题”的转化。
三、高考考点解析
第一部分、三类角(异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角）的求解问题
(一)异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线
1．异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。
异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量，掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”，然后证明这个角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（简言之：①“转化角"、②“证明”、③“求角”）。以上三个步骤“转化角”是求解的关键，因为转化的过程往往就是求解的过程-—其目的就是将“空间问题"转化为“平面问题(角问题）".
1． 如图所示,、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直,。是的直径，
,.
(II)求直线与所成的角。
【解】(II)第一步：将“问题"转化为求“平面角”问题
根据定义和题设,我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线,此题我们只能从点D作符合条件的直线。
连结DO，则∠ODB即为所求的角。
第二步：证明∠ODB就是所求的角
在平面ADEF中，DE//AF，且DE=AF，所以四边形ODEF为平行四边形 所以DO//EF
所以根据定义，∠ODB就是所求的角。
第三步：求角
由题设可知：底面ABCD为正方形
∵ DA⊥平面ABCD 平面 ∴ DA⊥BC
又 ∵AF⊥BC ∴ BC⊥平面ADO
∴ DO⊥BC ∴ △DOB为直角三角形
∴ 在Rt△ODB，
∴ （或用反三角函数表示为：）
2．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．
（2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示)．
【解】（2）取AB的中点F，连接EF、DF。
由E是PB的中点,得EF∥PA,
∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,
于是，在等腰Rt△POA中，PA=,则EF=.
在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=. cos∠FED==
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos。
3． 如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点，
(II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
方法一：（II） 取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中,
是直角斜边AC上的中线,
异面直线AB与CD所成角的大小为
4． 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点.
（2）求异面直线BE与AC所成的角；
【解】（2)取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角.
求得：，
， ∴.
2。 异面直线的公垂线问题
异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一。
与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
1．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线;
【解】 （Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C,
又C1CB1B，所以EODB,EOBD为平行四边形,ED∥OB．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
F
∵AB＝BC，∴BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1， BO面ABC， 故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1， ED⊥AC1, ED⊥CC1,
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．
A
B
C
A1
V
B1
C1
2如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直,且∠ACB=90°,设
（Ⅰ）求证直线是异面直线与的公垂线；
【解】解法1：(Ⅰ)证明： ∵平面∥平面，
又∵平面⊥平面，平面∩平面,
∴⊥平面， ，
又，。 为与的公垂线。
(二） 直线与平面所成夹角
1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,
， 底面，且，分别为、的中点。
（Ⅱ)求与平面所成的角.
【解】 （II)取的中点，连结、，
则，
所以与平面所成的角和与平面所成的角相等。
因为平面,
所以是与平面所成的角.
在中,。
故与平面所成的角是.
图1
图2
2． 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1：2(如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P(如图2）
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
【解】不妨设正三角形的边长为3，则
(II)在图2中,∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP,
∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q,
则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q.
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。
又A1E⊥面BEP,∴A1B=A1P,∴Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，
∴在Rt△A1EQ中，，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。
（三) 二面角与二面角的平面角问题
1． 如图所示，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径,
,。
（I)求二面角的大小;
【解】（I）∵AD与两圆所在的平面均垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥AF，
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABFC是正方形,所以∠BAF＝450.
即二面角B—AD-F的大小为450；
2．如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。
【解】连结AD，则易知AD与BF的交点为O.
（II)设M为PB的中点，连结AM,MD。
斜线PB在平面ABC内的射影为OB,。
又
因此，为所求二面角的平面角。
在正六边形ABCDEF中，
在Rt
在Rt,则
在中，由余弦定理得
因此，所求二面角的大小为
3． 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面,且，点是的中点。
（Ⅲ）求二面角的大小.
【解】（Ⅲ）如图，取AD的中点F，连EF，FO,则EF是△PAD的中位线， \EFPA又平面， \EF^平面
同理FO是△ADC的中位线，\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角。 又FO＝AB＝PA＝EF。
\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补,
故所求二面角的大小为135°。
4． 如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为等腰梯形，
与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点,又。
(Ⅱ)求二面角的大小；
【解】 平面，
又，
由平面几何知识得：
(Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角
，
二面角的大小为
5． 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α， B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1, BB1=, 求:
（II）二面角A1－AB－B1的大小。
【解】 （Ⅱ）∵BB1⊥α， ∴平面ABB1⊥α。
在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B。过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角。
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°， ∴AB1=B1B=.
∴Rt△AA1B中，
A1B== = 。
由AA1·A1B=A1F·AB得
A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE = = ，
∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin。
第二部分 《空间直线、平面的平行问题》
将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想”
(一）“线线平行"与“线面平行"的转化问题
1 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中,,平面,且,点是的中点。
（Ⅱ）求证：平面；
【解】 证明本题的关键：在平面EAC中“找"一条与PB平行的直线，由于点E在平面PBD中,所以可以在平面PBD中过点E“找"（显然，要“找”的直线就是平面PBD与平面EAC的交线）.最终将“线面平行”问题转化为“线线平行"问题。
（Ⅱ)连接BD，与AC相交与O，连接EO,
ABCD是平行四边形 O是BD的中点
又E是PD的中点, EO//PB。
又PB平面AEC,EO平面AEC，
PB平面AEC。
2．如图,在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
(1）证明//平面；
（2）设，证明平面．
【解】分析通上题。
（Ⅰ)证明：取CD中点M，连结OM。
在矩形ABCD中. ，又，
则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
又平面CDE,且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE
（二） “线面平行"与“面面平行”的转化问题
2．如图，长方体ABCD—中,E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，
(Ⅰ）求证：；
【证明】本题如果利用“线线平行"找“线"比较复杂(不是不可以），所以我们可以考虑利用“面面平行"来将问题转化。关键是:考虑到点M、N都是中点，于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点K（OC的中点），将“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。
（Ⅰ）取的中点，连结
∵分别为的中点
∵
∴面,面
∴面面 ∴面
第三部分 《 空间直线、平面的垂直问题》
将“空间问题”转化为“平面问题”转化思想。
(一)“线线垂直”到“线面垂直”
1．如图，是正四棱柱。
（I）求证：BD⊥平面；
【解】 根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条相交的直线AC、A1A与BD垂直.
（Ⅰ)∵ 是正四棱柱，
∴ CC1⊥平面ABCD， ∴ BD⊥CC1，
∵ ABCD是正方形， ∴ BD⊥AC
又 ∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C，
∴ BD⊥平面。
2． 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I)求证：平面BCD；
【解】(I）证明：连结OC
在中，由已知可得
而
即
平面
3． 如图4， 已知两个正四棱锥的高分别为1和2， .
(I）证明： ；
【解】（Ⅰ)取AD的中点M，连接PM、QM.
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM,ADQM.
从而AD平面PQM。
又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
9． 图1
图2
在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB＝CF：FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1－EF－B成直二面角,连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP;
【解】
不妨设正三角形的边长为3，则
（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。
在图2中，A1E⊥EF,BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角,
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.
又BEEF=E,∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。
（二） “线面垂直” 到“线线垂直”
1．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明⊥；
（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小.
【解】连结AD,则易知AD与BF的交点为O.
(I）证法1：
又
证法2:
2．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,
, 底面，且,分别为、的中点。
（Ⅰ)求证：；
【解】 （I）因为是的中点，，所以.
因为平面，所以，
从而平面.因为平面，
所以。
3．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边,且AD＝，BD＝CD＝1,另一个侧面是正三角形
（1)求证：AD^BC；
【解】 (1)方法一:作AH^面BCD于H，连DH。
AB^BDÞHB^BD，又AD＝,BD＝1
\AB＝＝BC＝AC \BD^DC
又BD＝CD，则BHCD是正方形,则DH^ BC
\AD^BC
方法二：取BC的中点O,连AO、DO
则有AO^BC，DO^BC， \BC^面AOD
\BC^AD
4． 如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上,C在上,AM=MB=MN。
（Ⅰ）证明ACNB
【解】 （Ⅰ）
又AN为AC在平面ABN内的射影