2019届广州市普通高中毕业班综合测试(二)(文数)及答案.doc

2019届广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学（文科）

2019届广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）参考答案
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．

一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
A
A
B
D
B
D
C
B
C
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）因为，
所以．…………………………………1分
化简得．……………………………………2分
即．……………………………………………………………3分
因在中，，则．………………4分
从而．…………………………………………………………………5分
由正弦定理，得．
所以．…………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）知，且，所以．…………………………………………7分
因为，所以．…………………………9分
即．
所以．…………………………………………………………………………………10分
所以．
所以△的面积为．…………………………………………………………………12分

18．（1）证明：取的中点，连结，，，
因为底面为菱形，，
所以．…………………………………1分
因为为的中点，所以． ……………2分
在△中，，为的中点，
所以． ………………………………………3分
因为，所以平面．………4分
因为平面，所以．……………5分
（2）解法1：在△ 中，，所以．
因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………6分
在△中，，，，
因为，所以．……………………………………………………7分
【6-7分段另证：在△中，，为的中点，所以．
在△ 和△ 中，因为，，，所以△ △ ．
所以．所以．】
由（1）有，且，平面，平面，
所以平面．……………………………………………………………………8分
在△中，由（1）证得，且，所以．
因为，所以．……………………………………………………9分
在△中，，，
所以．……………………………………………10分
设点到平面的距离为，
因为，即．…………………………………………11分
所以．
所以点到平面的距离为．………………………………………………………12分
解法2：因为，平面，平面，
所以平面．
所以点到平面的距离等于点到平面的距离．………………………………6分
过点作于点．…………………………7分
由（1）证得平面，且，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，平面，平面，
所以平面．…………………………………8分
在△ 中，，所以．
因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………9分
在△中，，，，
因为，所以．………………………………………………10分
【9-10分段另证：在△中，，为的中点，所以．
在△ 和△ 中，因为，，，所以△ △ ．
所以．所以．】
在△中，根据等面积关系得．………………………………11分
所以．
所以点到平面的距离为．……………………………………………………12分

19．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：
（ⅰ）．……………………2分
（ⅱ）…………3分
…………………………………4分
．…………………………………………………………………………5分
因为，，
所以．……………………………………………………………………………………6分
由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………………7分
（2）因为回归方程为，即．
所以．
【或利用】………………10分
所以关于的线性回归方程为．
将代入线性回归方程得．……………………………11分
所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%．………………………12分
【结论没写%扣1分】

20．解：（1）设，，则点的坐标为．
因为，
所以，…………………………………………………………1分
即 …………………………………………………………………………………2分
因为点在抛物线上，
所以，即．…………………………………………………………3分
所以点的轨迹的方程为．……………………………………………4分
（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为，，
由得．
由韦达定理得=，=．………………………………………………5分
设点，则．…………………………………………6分
所以直线的方程为．
令，得点的坐标为．………………………………………………7分
同理可得点的坐标为．……………………………………………………8分
如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．……………9分
因为．
所以．…………………………………………………10分
即，解得或．………………………………………………11分
故以为直径的圆过轴上的定点和．…………………………………12分
解法2：直线与曲线的交点坐标为，，
若取，则，与直线的交点坐标为，，
所以以为直径的圆的方程为．
该圆与轴的交点坐标为和．
所以符合题意的定点只能是或．………………………………………6分
设直线与曲线的交点坐标为，，
由得．
由韦达定理得=，=．………………………………………………7分
设点，则．…………………………………………8分
所以直线的方程为．
令，得点的坐标为．…………………………………………………9分
同理可得点的坐标为．……………………………………………………10分
若点满足要求，则满足．
因为
．……11分
所以点满足题意．
同理可证点也满足题意．
故以为直径的圆过轴上的定点和．……………………………………12分
21．（1）解：当时，，
函数的定义域为，………………………………………………………………1分
且．…………………………………………………………………2分
设，
则．
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，………………………………3分
所以当时，（当且仅当时取等号）．…………………………4分
即当时，（当且仅当时取等号）．
所以函数在单调递增，至多有一个零点. ………………………………………5分
因为，是函数唯一的零点.
所以若，则函数的所有零点只有．………………………………………6分
（2）证法1：因为，
函数的定义域为，且．…………………………7分
当时，，………………………………………………………9分
由（1）知．……………………………………………………………10分
即当时，
所以在上单调递增．…………………………………………………………11分
所以不存在极值．……………………………………………………………………12分
证法2：因为，
函数的定义域为，且．……………………7分
设，
则．
设，则与同号．
当时，由，
解得，．…………………………………8分
可知当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．………………………………9分
由（1）知．………………………………………………………………10分
则．
所以，即在定义域上单调递增．………………………………11分
所以不存在极值．……………………………………………………………………12分

22．（1）解法1：因为直线的参数方程为（为参数），
当时，直线的直角坐标方程为．……………………………………………1分
当时，直线的直角坐标方程为．…………………………3分
因为，……………………………………………………………4分
因为，所以．
所以的直角坐标方程为．………………………………………5分
解法2：因为直线的参数方程为（为参数），
则有 ………………………………………………2分
所以直线的直角坐标方程为 ．…………3分
因为，……………………………………………………………4分
因为，所以．
所以的直角坐标方程为．……………………………………………5分
（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，
将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．……6分
因为，可设该方程的两个根为，，
则 ，．…………………………………………7分
所以
．………………………………………………8分
整理得，
故．………………………………………………………………………9分
因为，所以或，
解得或
综上所述，直线的倾斜角为或．………………………………………………10分
解法2：直线与圆交于，两点，且，
故圆心到直线的距离．………………………………6分
①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．………………………7分
②当时，直线的方程为．
所以，………………………………………………8分
整理得．
解得．………………………………………………………………………………9分
综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………10分

23．（1）解：当时，由，得．……………………………1分
当时，， 解得．
当时，，解得．…………………………………………4分
综上可知，不等式的解集为 ．………………………5分
（2）解法1：由，得．
则．……………………………………………………………………6分
令，
则问题等价于
因为…………………………………………………………9分
．
所以实数的取值范围为．…………………………………………………………10分
解法2：因为，………………………………………6分
即，则．……………………………………7分
所以，…………………………………8分
当且仅当时等号成立．……………………………………………………………………9分
所以．
所以实数的取值范围为．………………………………………………………………10分

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