初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题.doc
《初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题.doc(22页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、三角形中做辅助线的技巧口诀: 三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。一、 由角平分线想到的辅助线 口诀:图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种
2、。从角平分线上一点向两边作垂线;利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线(一)、截取构全等例1 如图1-2,AB/CD,BE平分BCD,CE平分BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。例2 已知:如图1-4,在ABC中,C=2B,AD平分BAC,求证:AB-AC=CD分析:此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证明。试试
3、看可否把短的延长来证明呢?(二)、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图2-1,已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证:ADC+B=180分析:可由C向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B之和为平角。例2 已知如图2-3,ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证:BAC的平分线也经过点P。分析:连接AP,证AP平分BAC即可,也就是证P到AB、AC的距离相等。练习:1如图2-4AOP=BOP=15,PC/OA,PDOA, 如果PC=4,则PD=( ) A 4 B 3 C 2 D 12.已知:如图2-
4、6,在正方形ABCD中,E为CD 的中点,F为BC 上的点,FAE=DAE。求证:AF=AD+CF。 3.已知:如图2-7,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AE平分CAB交CD于F,过F作FH/AB交BC于H。求证CF=BH。(三):作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。例1 已知:如图3-1,BAD=DAC,ABAC,CDAD于D,H是B
5、C中点。求证:DH=(AB-AC)分析:延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。例2.已知:如图3-2,AB=AC,BAC=90,AD为ABC的平分线,CEBE.求证:BD=2CE。分析:给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。例3已知:如图3-3在ABC中,AD、AE分别BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD,交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。求证:AM=ME。分析:由AD、AE是BAC内外角平分线,可得EAAF,从而有BF/AE,所以想到利用比例线段证相等。例3 已知:如图3-4,在ABC中,AD平分BAC
6、,AD=AB,CMAD交AD延长线于M。求证:AM=(AB+AC)分析:题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换,作ABD关于AD的对称AED,然后只需证DM=EC,另外由求证的结果AM=(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可尝试作ACM关于CM的对称FCM,然后只需证DF=CF即可。练习:1 已知:在ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中点,AE是BAC的平分线,且CEAE于E,连接DE,求DE。2 已知BE、BF分别是ABC的ABC的内角与外角的平分线,AFBF于F,AEBE于E,连接EF分别交AB、AC于M、N,求证MN=BC(四)、以角分线上一点做角的另一边的平行线
7、有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。BDCA例1 如图,BCBA,BD平分ABC,且AD=CD,求证:A+C=180。ABECD例2 如图,ABCD,AE、DE分别平分BAD各ADE,求证:AD=AB+CD。练习:1. 已知,如图,C=2A,AC=2BC。求证:ABC是直角三角形。ABCD2已知:如图,AB=2AC,1=2,DA=DB,求证:DCACAEBDCABDC12CAB 3已知CE、AD是ABC的角平分线,B=60,求证:AC=AE+CD4
8、已知:如图在ABC中,A=90,AB=AC,BD是ABC的平分线,求证:BC=AB+AD二、 由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:1、截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;2、补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长
9、某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:例1、 已知如图1-1:D、E为ABC内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理:例如:如图2-1:已知D为ABC内的任一点,求证:BDCBAC。分析:因为BDC与BAC不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使BDC处于在外角的位置,BAC处于在内角的位置;注意:利用三角形外角定理证明不等关
10、系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。三、 有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如:例如:如图3-1:已知AD为ABC的中线,且1=2,3=4,求证:BE+CFEF。分析:要证BE+CFEF,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF,EF移到同一个三角形中,而由已知1=2,3=4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN,EF移到同个三角形中。注意:当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。三、截长补短法作辅助线。例
11、如:已知如图6-1:在ABC中,ABAC,1=2,P为AD上任一点求证:AB-ACPB-PC。分析:要证:AB-ACPB-PC,想到利用三角形三边关系,定理证之,因为欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再连接PN,则PC=PN,又在PNB中,PB-PNPB-PC。例1如图,AC平分BAD,CEAB,且B+D=180,求证:AE=AD+BE。DAECB例2如图,在四边形ABCD中,AC平分BAD,CEAB于E,AD+AB=2AE,求证:ADC+B=180例3已知:如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,A=108,
12、BD平分ABC。DCBA求证:BC=AB+DC。MBDCA例4如图,已知RtABC中,ACB=90,AD是CAB的平分线,DMAB于M,且AM=MB。求证:CD=DB。【夯实基础】例:中,AD是的平分线,且BD=CD,求证AB=AC【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线 ABC中 方式1: 延长AD到E, AD是BC边中线 使DE=AD, 连接BE 方式2:间接倍长 作CFAD于F, 延长MD到N, 作BEAD的延长线于E 使DN=MD,连接BE 连接CD【经典例题】例1:ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围提示:画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边例2:已知在A
13、BC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:BD=CE方法1:过D作DGAE交BC于G,证明DGFCEF方法2:过E作EGAB交BC的延长线于G,证明EFGDFB方法3:过D作DGBC于G,过E作EHBC的延长线于H 证明BDGECH例3:已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF提示:倍长AD至G,连接BG,证明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形例4:已知:如图,在中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分提示:方法1:倍长AE至G,连结DG方法
14、2:倍长FE至H,连结CH例5:已知CD=AB,BDA=BAD,AE是ABD的中线,求证:C=BAE提示:倍长AE至F,连结DF 证明ABEFDE(SAS)进而证明ADFADC(SAS)【融会贯通】1、在四边形ABCD中,ABDC,E为BC边的中点,BAE=EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论提示:延长AE、DF交于G 证明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC2、如图,AD为的中线,DE平分交AB于E,DF平分交AC于F. 求证:提示:方法1:在DA上截取DG=BD,连结EG、FG证明BDEGDE DCFDGF 所以BE=EG、
15、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2:倍长ED至H,连结CH、FH证明FH=EF、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边3、已知:如图,DABC中,C=90,CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证:CT=BE.提示:过T作TNAB于N 证明BTNECD四、 由中点想到的辅助线 口诀:三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质(直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题的方法。
16、(一)、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1,AD是ABC的中线,则SABD=SACD=SABC(因为ABD与ACD是等底同高的)。例1如图2,ABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是DCE的中线。已知ABC的面积为2,求:CDF的面积。解:因为AD是ABC的中线,所以SACD=SABC=2=1,又因CD是ACE的中线,故SCDE=SACD=1,因DF是CDE的中线,所以SCDF=SCDE=1=。CDF的面积为。(二)、由中点应想到利用三角形的中位线例2如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 三角形 辅助线 技巧 典型 例题
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【精***】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【精***】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。