2019届松江高三一模数学Word版(附解析).doc

上海市松江区2018届高三一模数学试卷
2018.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设集合，，则
2. 若复数满足，则
3. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点
在函数的图像上，则实数
4. 已知等差数列的前项和为，则
5. 若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数的值为
6. 已知双曲线标准方程为，则其焦点到渐近线的距离为
7. 若向量，满足，且，，则向量与夹角为
8. 在△中，内角、、所对的边分别是、、，若，，
则△的面积
9. 若，则图像上关于原点对称的点共有 对
10. 已知、、是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值
是
11. 已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，
当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分
别为、，对于下列命题：
① 线段、的中点的广义坐标为；
② A、两点间的距离为；
③ 向量平行于向量的充要条件是；
④ 向量垂直于向量的充要条件是.
其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）
12. 已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当时，的值域为，则当时，函数的值域为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
14. 若，，则是的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
15. 将函数的图像向下平移个单位，得到的图像，若
，其中，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
16. 对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该
值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集
所表示的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知向量，.
（1）若∥，求的值；
（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.

18. 已知函数（常数）
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求的最大值.

19. 某科技创新公司投资万元研发了一款网络产品，产品上线第个月的收入为万
元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长，同时，该产品第
个月的维护费支出为万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加万元.
（1）分别求出第个月该产品的收入和维护费支出，并判断第个月该产品的收入是否足
够支付第个月的维护费支出？
（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？
（总支出包括维护费支出和研发投资支出）

20. 已知曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为，直线交曲线于、两点，为坐标原点.
（1）求曲线的方程；
（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（3）若，求△面积的取值范围.

21. 对于给定数列，若数列满足：对任意，都有，则称数列是数列的“相伴数列”.
（1）若，且数列是的“相伴数列”，试写出的一个通项公式，并说明理由；
（2）设，证明：不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列”；
（3）设，（其中），若是的“相伴数列”，试分析实数、的取值应满足的条件.

参考答案

一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. ①③ 12.

二. 选择题
13. A 14. B 15. A 16. D

三. 解答题
17.（1）；（2），，最大值为.
18.（1）时，奇函数，时，非奇非偶函数；（2）最大值.
19.（1），不够；（2）第10个月起.
20.（1）；（2）；（3）.
21.（1），答案不唯一；（2）不存在，证明略；（3）或，.